3 |
| | , , skalar;
4 Jika ≥
X , maka
| ;
5 Jika Y terukur- maka |
| .
Definisi 2.1.27. Kontinu Absolut Billingsley 1986
Jika P dan
_
P adalah dua ukuran peluang pada
Ω, . Ukuran peluang P dikatakan kontinu absolut ke ukuran peluang
_
P jika untuk setiap
, =
∈ A
P F
A
mengakibatkan
_
P
, =
A
dinotasikan
_
P P
. Jika
_
P P
dan P
P
_
maka kedua ukuran dikatakan ekuivalen dan dinotasikan
.
_
P P
≡
Definisi 2.1.28 Radon-Nikodym Billingsley 1986
Jika P dan
_
P adalah dua ukuran peluang pada Ω, sedemikian sehingga
,
_
P P
maka terdapat peubah acak tak negatif Λ sehingga
_
P
∫
Λ =
A
dP A
untuk semua dinotasikan
= Λ.
2.2 Rantai Markov
Definisi 2.2.1 Ruang State
Grimmet dan Stirzaker 2001
Misalkan S adalah himpunan nilai dari barisan peubah acak, maka S disebut ruang state.
Definisi 2.2.2 Proses Stokastik Ross 1996
Proses stokastik X = ;
terdefinisi pada ruang peluang Ω, , adalah
suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan ruang contoh Ω ke ruang state S.
Definisi 2.2.3 Rantai Markov dengan Waktu diskret Grimmet dan Stirzaker
2001 Misalkan
Ω, , adalah ruang peluang dan S adalah ruang state. Proses stokastik ;
dengan ruang state S, disebut rantai Markov dengan waktu diskret jika untuk setiap k = {0,1,2,…}, berlaku:
| ,
, |
untuk semua kemungkinan nilai dari S
i i
i i
k k
∈
+1 1
, ,...,
, .
Definisi 2.2.4 Matriks Peluang Transisi Grimmet dan Stirzaker 2001
Misalkan X = ;
adalah rantai Markov dengan state S berukuran N. matriks transisi
, dengan |
untuk
S i
j ∈
,
adalah matriks peluang transisi dari X.
Definisi 2.2.5 Rantai Markov Homogen
Grimmet dan Stirzaker 2001 Misalkan X =
; adalah rantai Markov dengan ruang State S, dikatakan
homogen jika |
| untuk
. ,
S i
j ∈
Definisi 2.2.6 Peluang Transisi n-step
n ji
a
Ross 1996 Misalkan X =
adalah rantai Markov dengan ruang state S. Peluang transisi n-step dari X adalah peluang proses berpindah dari state i ke state j dengan n
langkah yang didefinisikan oleh: |
, , , S.
Definisi 2.2.7 Accessible
Ross 1996 Suatu state j disebut terakses accessible dari suatu state i, ditulis
, j
i →
jika ada sebuah bilangan
≥ k
sehingga
. ≥
k ji
a
Definisi 2.2.8 Communicate
Ross 1996 Dua state i dan j disebut berkomunikasi communicate, ditulis
, j
i ↔
jika state i
dapat diakses dari state j dan state j dapat diakses dari state i.
Definisi 2.2.9 Kelas State
Ross 1996 Himpunan tak kosong S disebut kelas state apabila semua pasangan state yang
merupakan anggota dari S berkomunikasi satu dengan yang lainnya, serta tidak ada state yang merupakan anggota S yang berkomunikasi dengan suatu state yang bukan
anggota dari S.
Definisi 2.2.10 Irreducible
Ross 1996 Rantai Markov disebut tak tereduksi irreducible jika hanya terdapat satu kelas state,
yaitu jika semua state-nya berkomunikasi satu dengan yang lainnya.
Definisi 2.2.11 Recurrent
Ross 1996 Peluang bahwa suatu proses yang dimulai dari state i akan bertransisi ke state j
didefinisikan sebagai ∑
∞
. State i berulang recurrent jika 1.
Teorema 2.2.12 Recurrent
Ross 1996 State i berulang recurrent jika
∑
∞ =
∞ =
n n
ii
a .
Definisi 2.2.13 Ross 1996
1 Suatu state i disebut memiliki periode d jika d adalah persekutuan pembagi
terbesar bagi n sehingga
n ii
a ;
2 Suatu state dengan periode = 1 disebut aperiodic, sedangkan state dengan
periode ≥2 disebut periodic;
3 Suatu state disebut berulang positif jika state tersebut berulang serta berlaku: jika
proses dimulai dari state i, maka nilai harapan dari waktu sampai proses tersebut kembali ke state i adalah bilangan berhingga;
4 Rantai Markov dengan state berulang positif dan aperiodic disebut ergodic.
Teorema 2.2.14 Nilai Harapan Rantai Markov Homogen
Ross 1996 Misalkan
; adalah rantai Markov yang ergodic dengan ruang state
S berukuran N dan misalkan A merupakan matriks peluang transisi berukuran N
N ×
dengan
ji
a A
= dan
| maka nilai harapan dari X
dinotasikan dengan π
= ]
[ X E
yang memenuhi: π
π = A
dan .
1
1
∑
=
=
N j
j
π
2.3 Ruang Hasil Kali Dalam
