4
BAB II LANDASAN TEORI
2.1 Pengantar Teori Peluang Definisi 2.1.1 Percobaan Acak
Ross 1996
Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan yang biasanya dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat
diketahui, namun hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diketahui dengan tepat. Percobaan seperti ini, yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, disebut
percobaan acak.
Definisi 2.1.2 Ruang Contoh dan Kejadian Ghahramani 2005
Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut Ruang contoh dan dinotasikan dengan
Ω. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari Ω.
Definisi 2.1.3 Medan-
σ
Ghahramani 2005 Medan-
σ
adalah himpunan yang anggotanya merupakan himpunan bagian dari Ω
yang memenuhi: 1
; 2 Jika
, , maka
∞
; 3 Jika
maka .
Definisi 2.1.4 Ukuran Peluang Ghahramani 2005
Misalkan adalah medan-
σ
dari ruang contoh Ω. Ukuran Peluang adalah suatu
fungsi :
,1 pada Ω, yang memenuhi: 1
, ;
2 Jika
; 1
, =
Ω = P
P
φ
3 Jika , ,
adalah himpunan yang saling lepas yaitu φ
= ∩
j i
A A
untuk setiap pasangan
j i
≠
, maka
∑
∞ =
∞ =
= ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛
1 1
i i
i i
A P
A P
U
. Pasangan Ω, , disebut ruang
peluang.
Definisi 2.1.5 Kejadian Saling Bebas Grimmet dan Stirzaker 2001
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika
. B
P A
P B
A P
= ∩
Secara umum, himpunan kejadian
{ }
I i
A
i
∈ :
dikatakan saling bebas jika
∏
∈ ∈
= ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛
J i
i J
i i
A P
A P
I
untuk setiap himpunan bagian berhingga dari J dari I.
Definisi 2.1.6 Peluang Bersyarat
Ghahramani 2005 Misalkan
Ω, , adalah ruang peluang dan , maka peluang
A dengan syarat
B didefinisikan sebagai |
.
Definisi 2.1.7 Peubah Acak Grimmet dan Stirzaker 2001
Misalkan Ω adalah ruang contoh dan adalah medan-
σ
dari Ω. Suatu peubah acak X
adalah fungsi
: Ω dengan
{ }
∈ ∈
Ω ∈
A X
:
ω ω
untuk setiap .
Definisi 2.1.8 Peubah Acak Diskret Grimmet dan Stirzaker 2001
Peubah acak X dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian tercacah
dari .
Definisi 2.1.9 Fungsi Sebaran Grimmet dan Stirzaker 2001
Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X adalah
: ,1 , yang didefinisikan
oleh .
Definisi 2.1.10 Fungsi Kerapatan Peluang
Grimmet dan Stirzaker 2001 Misalkan
Ω, , adalah ruang peluang. Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret
X adalah suatu fungsi
[ ]
1 ,
: →
S p
yang didefinisikan oleh x
X P
x p
X
= =
untuk setiap .
S x
∈
Definisi 2.1.11 Fungsi Kerapatan Peluang Bersama Dua Peubah Acak diskret dan Marginal
Grimmet dan Stirzaker 2001 Misalkan
Ω, , adalah ruang peluang. Fungsi kerapatan peluang bersama dari peubah acak diskret
X dan Y adalah suatu fungsi
[ ]
1 ,
: →
× S S
p yang didefinisikan
oleh ,
, y
Y x
X P
y x
p
XY
= =
= untuk setiap
. ,
S y
x ∈
Fungsi kerapatan peluang marginal dari peubah acak X dan Y adalah berturut-turut
∑ ,
∑ , .
Definisi 2.1.12 Fungsi Kerapatan Peluang Bersyarat
Ross 1996 Jika
X dan Y merupakan peubah acak diskret, maka fungsi kerapatan peluang bersyarat dari
X jika diberikan Y=y, terdefinisi untuk setiap y sedemikian sehingga PY=y0 adalah
|
|
,
.
Definisi 2.1.13 Bebas Stokastik Identik Hogg
et al.2005 Misalkan
n
X X
X ,...,
,
2 1
adalah n peubah acak yang memiliki fungsi kerapatan yang
sama yaitu sehingga
M
dan fungsi kerapatan bersamanya adalah ,
. Peubah acak
n
X X
X ,
, ,
2 1
K disebut bebas
stokastik identik.
Definisi 2.1.14 Nilai Harapan Peubah Acak Diskret Ghahramani 2005
Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang
x X
P x
p
X
= =
maka nilai harapan dari X adalah
∑
=
x X
x xp
X E
] [
.
Definisi 2.1.15 Nilai Harapan Bersyarat Ghahramani 2005
Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang bersyarat dari X dengan syarat Y=y adalah
|
| , maka nilai harapan bersyarat dari X dengan syarat Y=y adalah
| ∑
|
| .
Definisi 2.1.16 Fungsi Indikator Cassela dan Berger 1990
Misalkan A adalah suatu kejadian pada ruang peluang Ω, , . Fungsi indikator dari
A adalah suatu fungsi I ]
1 ,
[ :
→ Ω
A
, yang didefinisikan
1, jika , jika
.
Definisi 2.1.17 Himpunan P-Null
Grimmet dan Stirzaker 2001 Misalkan
Ω, , adalah ruang peluang. Himpunan P-Null didefinisikan sebagai Ω:
A, ,
.
Definisi 2.1.18 Ruang Peluang Lengkap Billingsley 1986
Ruang peluang Ω, , disebut lengkap, jika
∈ ⊂
B B
A ,
, dan
= B
P
maka .
Definisi 2.1.19 Filtrasi Grimmet dan Stirzaker 2001
Misalkan adalah medan-
σ
dan , ,
merupakan barisan submedan- dari , disebut filtrasi jika
untuk semua ∈
k .
Definisi 2.1.20 Filtrasi Lengkap Protter 1995
Misalkan Ω, , adalah ruang peluang lengkap. Misalkan =
; adalah
sebuah filtrasi. Jika memuat semua himpunan P-Null di maka disebut filtrasi
lengkap.
Definisi 2.1.21 Terukur Measurable
Grimmet dan Stirzaker 2001 Misalkan X adalah peubah acak diskret yang terdefinisi pada ruang peluang
Ω, , dan S adalah ruang state X. Jika
{ }
∈ ∈
Ω ∈
A X
;
ω ω
untuk setiap
, S
A ⊂
maka X dikatakan terukur-
.
Definisi 2.1.22 Adapted
Grimmet dan Stirzaker 2001 Misalkan
Ω, , adalah ruang peluang. Barisan peubah acak ;
dikatakan adapted terhadap filtrasi { jika
terukur- untuk setiap
.
Definisi 2.1.23 Predictable
Grimmet dan Stirzaker 2001 Misalkan
adalah filtrasi. Barisan peubah acak ;
dikatakan predictable terduga, jika
terukur- untuk setiap k.
Definisi 2.1.24 Nilai Harapan Bersyarat Shreve 2004
Misalkan Ω, , adalah ruang peluang dan adalah submedan-
σ
dari . Misalkan X adalah peubah acak yang terintegralkan pada
Ω, , . Maka |
disebut nilai harapan bersyarat dari X jika diketahui , didefinisikan sebagai sebarang peubah acak Y yang memenuhi:
1 Y terukur- ;
2 ∈
∀ =
∫ ∫
A XdP
YdP
A A
, ;
Persamaan |
dapat ditulis |
.
Teorema 2.1.25 Nilai Harapan Bersyarat Billingsley 1986
Misalkan X terintegralkan, dan adalah dua medan-
σ
yang memenuhi ,
maka berlaku: |
| | |
| .
Teorema 2.1.26. Sifat-sifat Nilai Harapan Bersyarat
Shreve 2004 Misalkan X,Y, dan XY terintegralkan, maka berlaku:
1 |
; 2 Jika X terukur- , maka
| ;
3 |
| | , , skalar;
4 Jika ≥
X , maka
| ;
5 Jika Y terukur- maka |
| .
Definisi 2.1.27. Kontinu Absolut Billingsley 1986
Jika P dan
_
P adalah dua ukuran peluang pada
Ω, . Ukuran peluang P dikatakan kontinu absolut ke ukuran peluang
_
P jika untuk setiap
, =
∈ A
P F
A
mengakibatkan
_
P
, =
A
dinotasikan
_
P P
. Jika
_
P P
dan P
P
_
maka kedua ukuran dikatakan ekuivalen dan dinotasikan
.
_
P P
≡
Definisi 2.1.28 Radon-Nikodym Billingsley 1986
Jika P dan
_
P adalah dua ukuran peluang pada Ω, sedemikian sehingga
,
_
P P
maka terdapat peubah acak tak negatif Λ sehingga
_
P
∫
Λ =
A
dP A
untuk semua dinotasikan
= Λ.
2.2 Rantai Markov