149
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Tujuan: Memahami sifat-sifat yang berlaku pada komposisi fungsi.
Permasalahan: Sifat-sifat apakah yang berlaku pada komposisi fungsi?
Langkah-Langkah: Jawablah soal-soal berikut.
1. Misalkan fungsi f dan g pada himpunan bilangan real
didefinisikan oleh fx = 3x + 2 dan gx = x – 3. Tentukan a.
g º fx; b.
f º gx; c.
Apakah g º f = f º g? 2.
Misalkan fungsi-fungsi f, g, dan h pada bilangan real didefinisikan oleh fx = x
2
, gx = 2x – 2, dan hx = 3x. a.
Tentukan f º gx, f º g º hx, g º hx, dan f º g º hx.
b. Apakah f º g º hx = f º g º hx?
3. Misalkan f dan I adalah fungsi pada himpunan bilangan
real yang didefinisikan fx = x
2
+ 3x – 4 dan Ix = x. a.
Tentukan f º Ix dan I º fx. b.
Apakah f º Ix = I º fx?
Kesimpulan: Dari langkah-langkah di atas, dapat ditemukan sifat-sifat
komposisi fungsi.
Dari kegiatan di atas, diperoleh beberapa sifat komposisi fungsi sebagai berikut.
Sifat-sifat komposisi fungsi a.
Komposisi fungsi pada umumnya tidak bersifat komutatif: f º gx
g º fx. b.
Komposisi fungsi bersifat asosiatif: f º g º hx = f º g º hx.
c. Terdapat fungsi identitas Ix = x sehingga
f º Ix = I º fx = fx.
3. Sifat-Sifat Komposisi Fungsi
Untuk dapat mengetahui sifat-sifat dari komposisi fungsi, lakukan kegiatan berikut.
Kegiatan
Kerjakan di buku tugas
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas NFungsi f : R
A
R. Diketahui fx = 2 – 3
dan gx = x
2
+ 2x – 3. Nilai dari f º g2 = ....
a. 0 d. 8
b. 1 e. 11
c. 7
Soal Ebtanas SMA, 1990
Di unduh dari : Bukupaket.com Sumber buku : bse.kemdikbud.go.id
150
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
Gambar 3.5
Dari gambar di samping, yaitu f : A A
B dan g
: B A
C tampak bahwa f
a
1
= b
1
dan gb
1
= c
1
sehingga g º fa
1
= c
1
; f
a
2
= b
1
dan gb
1
= c
1
sehingga g º fa
2
= c
1
; f
a
3
= b
3
dan gb
3
= c
3
sehingga g º fa
3
= c
3
; f
a
4
= b
3
dan gb
3
= c
3
sehingga g º fa
4
= c
3
; f
a
5
= b
4
dan gb
4
= c
4
sehingga g º fa
5
= c
4
. Dengan demikian, disimpulkan bahwa
g º f: A A
C merupakan sebuah fungsi atau
fungsi komposisi.
Gambar 3.4
A B
C g
f a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
b
1
b
2
b
3
b
4
c
1
c
2
c
3
c
4
Dari gambar tersebut, terlihat bahwa g
adalah fungsi dengan domain himpunan B
, sedangkan f adalah fungsi dengan daerah kawan himpunan B. Range f adalah
{b
1
, b
3
, b
4
} sehingga range f merupakan himpunan bagian dari himpunan B.
Dengan kata lain, range f merupakan himpunan bagian dari domain g. Sekarang,
perhatikan fungsi f dan g yang didefinisi- kan seperti Gambar 3.5.
Pada gambar tersebut, fungsi f: A A
B dan fungsi g: D
A C
dengan D
B. Jika dibuat komposisi fungsi g º f, komposisi fungsi tersebut bukan merupakan sebuah fungsi karena fa
3
= b
3
bukan anggota domain g sehingga b
3
oleh g tidak dipetakan. Jika kita perhatikan, ternyata domain g merupakan himpunan bagian
dari range f. Oleh karena itu, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut.
Fungsi g dapat dikomposisikan dengan fungsi f sehingga komposisi fungsi g º f merupakan sebuah fungsi apabila
range f merupakan himpunan bagian dari domain g atau dapat ditulis R
f
D
g
.
5. Komposisi dari Dua Fungsi atau Lebih
Suatu fungsi komposisi dapat tersusun atas dua fungsi atau lebih. Jika komposisi fungsi terdiri atas 3 fungsi atau lebih,
pengerjaannya harus dilakukan secara berurutan atau tidak boleh terbalik ingat: komposisi fungsi pada umumnya bersifat
komutatif. Perhatikan contoh berikut.
a
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
c
1
c
2
c
3
A f
B g
C D
4. Syarat agar Dua Fungsi Dapat Dikomposisikan
