BAHAN AJAR MODEL SIMULASI.docx

BAHAN KULIAH

TEKNIK SIMULASI DAN PEMODELAN

KODE/SKS : INFMKK36/3 SKS

Oleh:

Ellbert Hutabri, M.Kom

Dosen : Program Studi Pendidikan Informatika STKIP PGRI SUMBAR

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN INFORMATIKA

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

STKIP PGRI SUMATERA BARAT

PADANG

PENDAHULUAN

Teknik simulasi dan pemodelan dalam Kurukulum merupakan matakuliah inti yang dilaksanakan pada Program Studi Pendidikan Informatika STKIP PGRI Sumatera Barat Padang, dimana mata kuliah ini mengkaji konsep, prinsip dan tahapan serta implementasi dalam melakukan pemodelan dan simulasi. Dalam mata kuliah ini juga akan dibahas berbagai model dan metode juga akan dibahas yaitu antara lain metode Monte Carlo, Model antrian, model dalam men-generate bilangan random.

1.1. Konsep dan Pengertian Simulasi

Simulasi merupakan tiruan dari sebuah sistem dinamis dengan menggunakan model komputer yang digunakan untuk melakukan evaluasi dan meningkatkan kinerja sistem.

Simulasi adalah suatu prosedur kuantitatif, yang menggambarkan sebuah sistem, dengan mengembangkan sebuah model dari sistem tersebut dan melakukan sederetan uji coba untuk memperkirakan perilaku sistem pada kurun waktu tertentu.

(Banks (Banks 1998)). Simulasi adalah tiruan dari proses dunia nyata atau sistem. Simulasi menyangkut pembangkitan proses serta penga- matan dari proses untuk menarik kesimpulan dari sistem yang diwakili.

Simulasi adalah imitasi dari suatu sistem dinamis menggunakan model komputer dalam rangka untuk melakukan evaluasi dan meningkatkan unjuk kerja sistem (Harrell, Gosh & Bowden, 2000).

1.2. Defenisi Pemodelan

Model adalah representasi dari suatu objek, benda, atau ide-ide dalam bentuk yang disederhanakan. Model berisi informasi-informasi tentang suatu sistem yang dibuat dengan tujuan untuk mempelajari sistem yang sebenarnya.

Model dapat merupakan tiruan dari suatu benda, sistem atau kejadian yang sesungguhnya yang hanya berisi informasi-informasi yang dianggap penting untuk

ditelaah. Tujuan dari studi pemodelan adalah menentukan informasi-informasi yang dianggap penting untuk dikumpulkan, sehingga tidak ada model yang unik.

1.3. Defenisi Sistem

Menurut Henry Prat Fairchild dan Eric Kohler Pengertian Sistem adalah sebuah rangkaian yang saling kait mengkait antar beberapa bagian sampai kepada bagian yang paling kecil, bila suatu bagian atau sub bagian terganggu maka bagian yang lain juga ikut merasakan ketergangguan tersebut.

Pengertian Sistem Menurut Pamudji ialah suatu kebulatan dan keseluruhan yang komplek atau terorganisir, dimana suatu himpunan atau perpaduan hal-hal atau bagian-bagian yang membentuk suatu kebulatan atau keseluruhan yang komplek atau utuh.

Menurut Prajudi Pengertian sistem merupakan suatu jaringan daripada prosedur-prosedur yang berhubungan satu sama lain menurut skema atau pola yang bulat untuk menggerakkan suatu fungsi yang utama dari suatu usaha atau urusan.

Pengertian Sistem Menurut Poerwadarminta yaitu sekelompok bagian-bagian (alat dan sebagainya), yang berkerja bersama-sama untuk melakukan sesuatu maksud. Apabila salah satu bagian saja rusak atau tidak dapat menjalankan tugasnya maka maksud yang hendak dicapai tidak dapat menjalankan tugasnya maka maksud yang hendak dicapai tidak akan terpenuhi atau setidak-tidaknya sistem yang sudah terwujud akan mendapatkan gangguan.

1.4. Tujuan Pemodelan dan Simulasi

Secara umum ada tiga tujuan dari pemodan dan simulasi adalah antara lain untuk pelatihan (training), studi perilaku (behavior), dan hiburan/permainan (game). Seorang pilot baru sebelum diperbolehkan menerbangkan pesawat yang sebenarnya terlebih dahulu harus latihan terbang di simulator dengan berbagai kondisi dan manuver terbang.

Simulasi sistem merupakan konsekwensi dari tiga hal berikut. Pertama, kebutuhan terhadap suatu studi biaya rendah atau perancangan sistem yang

mempunyai sifat alamiah kompleks sebagai pembuka kearah pengembangan dalam suatu eksperimen laboratorium atau sebagai suatu model skala. Kedua, kebituhan untuk memverifikasi bahwa suatu sistem persamaan matematika pemodelan yang digunakan dalam suatu sistem kendali adalah valid. Ketiga, kebutuhan untuk meramal (forecast) tanggapan sustu sistem terhadap kebijakan atau kendali kompleks sebagai suatu alat evaluasi konsekwensi alternatif kebijakan atau kendali tertentu yang dipilih.

Dalam pandangan sistem, pemodelan dan simulasi dapat digunakan untuk tujuan berikut:

a. Studi perilaku sistem kompleks, yaitu sistem dimana suatu solusi analitik tidak dapat dilakukan.

b. Membandingkan alternatif rancangan untuk suatu sistem yang tidak atau belum ada.

c. Studi pengaruh perubahan terhadap sistem yang ada dengan tanpa merubah sistem. d. Memperkuat atau memverifikasi suatu solusi analitik.

1.5. Penggunaan Simulasi

simulasi cocok digunkan pada :

a. Mempelajari interaksi internal (sub)-sistem yang kompleks.

b. Mengamati sifat model dan hasil keluaran akibat perubahan lingkuan- gan luar atau variabel internal.

c. Meningkata kinerja sistem melalui pembangunan/pembentukan model. d. Eksperimen desain dan aturan baru sebelum diimplementasikan. e. Memahami dan memverikasi solusi analitik.

f. Mengidentifkasi dan menetapkan p ersyaratan-persyaratan.

g. Alat bantu pelatihan dan pembelajaran dengan biaya lebih rendah. h. Visualisasi operasi melalui anuimasi.

i. Masalahnya sulit, memakan waktu, atau tidak mungkin diselesaikan melalui metode analitik atau numerik konvensional.

Simulasi tidak cocok digunakan pada :

a. Jika masalah dapat diselesaikan dengan metode sederhana. b. Jika masalah dapat diselesaikan secara analitik.

c. Jika eksperimen langsung lebih mudah dilakukan. d. Jika biaya terlalu mahal.

f. Jika tidak ada data yang tersedia.

g. Jika verifikasi dan validasi tidak dapat dilakukan. h. Jikadaya melebihi kapasitas

i. Jika sistem terlalu komoleks atau tidak dapat didefenisikan,

1.6. Kelebihan dan kekurangan simulasi

a. Kelebihan

 Tidak semua sistem dapat di prepresentasikan dlm model matematis, simulasi merupakan alternatif tepat.

 Dapat bereksperimen tanpada adanya resiko pada sistem nyata.

 Simulasi dapat mengestimasi kinerja sistem pada kondisi tertentu dan dapat sistem pada kondisi tertentu dan dapat memberikan alternatif desain

 Dapat menggunakan input data alternatifDapat menggunakan input data alternatif

b. Kekurangan

 Kualitas dan analisis model tergantung si pembuat model

 Hanya mengestimasi karakteristik sistem berdasarkan masukan tertentu

BAB II

TIPE DAN PROSES PEMODELAN DAN SIMULASI

a. Model Ikonik: model yang mengandung karakteristik dan properti nyata dari suatu sistem yang dimodelkan.

Contoh: bentuk pilot plant dari suatu pabrik.

b. Model Analog: model sebagai analogi dari keadaan nyata.

Contoh model histogram dimana panjang batang adalah representasi dari frekuensi. c. Model simbolik/matematis: menggunakan simbol sebagai properti dari sistem yang

dimodelkan.

Contoh persamaan s = v . t. d. Model Sistematis

Terbagi dua yaitu:

- Model matematis deskriptis: model yang mendeskripsikan perilaku dari sistem. - Model matematis normatif: Model untuk pengambilan keputusan. Contoh model

tata letak sebuah pabrik tekstil.

2.2. Tahapan dalam Pengembangan Model

Proses membuat suatu model adalah proses yang tidak dapat dijabarkan perumusannya secara pasti, lebih merupakan seni (art). Yang dapat diberikan sebagai pegangan dalam membuat suatu model hanya petunjuk-petunjuk garis besarnya saja.

Proses tahapan dalam pengembangan model dan simulasi model secara umum sebagai berikut:

a. Memahami sistem yang akan disimulasikan.

Jika pengembang model tidak atau belum mengetahui cara kerja sistem yang akan dimodel simulasikan maka pengembang perlu meminta bantuan seorang ahli (pakar) dibidang sistem yang bersangkutan.

Misalnya sistem ekonomi perlu seorang ahli ekonomi, sistem pesawat terbang perlu seorang insinyur penerbangan (aeronautika). Hasil dari pemahaman sistem dapat berupa kata-kata, atau diagram konteks (context diagram) yang menjelaskan hubungan antara sistem dengan lingkungannya. Di sini, data masukan, keluaran, variabel dan parameter masih dalam bentuk symbol-simbol verbal (kata-kata).

Apabila pengembang sudah mengetahui cara kerja sistem yang bersangkutan, maka tahap berikutnya adalah memformulasikan model matematika dari sistem. Model matematika bisa dalam bentuk persamaan diferensial, persamaan aljabar linear, permasaan logika diskret, persamaan variabel keadaan, dan lain-lain disesuaikan dengan karakteristik sistem dan tujuandari permodelan. Kadang-kadang model matematika libuh mudah dipahami dengan digabung dengan model diagram seperti diagram alir data (data

flow diagram). Dalam hal ini data masukan, keluaran, variabel, parameter dan konstanta

sudah dalam bentuk symbol-simbol matematika, misalnya: waktu t, ketinggian h, kecepatan v, bunga bank, dan lain-lain.

c. Mengembangkan model matematika untuk simulasi. d. Membuat program (software) komputer.

e. Menguji, memverifikasi dan memvalidasi keluaran simulasi. f. Mengeksekusi program simulasi untuk tujuan tertentu.

2.3. Model yang dibuat dapat berfungsi sebagai :

1. Pembantu untuk berfikir.

Model menyajikan deskripsi yang sistematis tentang suatu sistem sehingga dapat mempermudah dalam mempelajarari sistem tersebut.

2. Pembantu untuk berkomunikasi

Model dibuat untuk mempermudah tentang menjelaskan tentang suatu sistem kepada orang lain.

3. Alat dan latihan

Model-model yang berfungsi sebagai alat latihan dibuat untuk melatih keterampilan dari orang-orang yang berhubungan dengan sistem sebenarnya yang dimodelkan.

Contoh:

Seorang pilot yang dalam tahap belajar, belum boleh menerbangkan pesawat yang sesungguhnya, tetapi belajar mengengemudikan suatu model yang mewakili pesawat dan juga mengoperasikan model tersebut terhadap suatu model lapangan terbang, udara, lingkungan terbang dan sebagainya. Contoh lain adalah permainan (game) bisnis bagi orang-orang yang bergerak dibidang manajemen. Model-model semacam ini disebut simulator.

Berdasarkan model, dapat ditentukan perilaku sistem pada waktu yang akan dating, yaitu pengaruh-pengaruh yang ingin diketahui jika ada perbahan sistem atau operasinya. Caranya adalah dengan merubah besaran-besaran variable dan parameter terhaadap model dan mempelajari pengaruh-pengaruh (masukan dan keluaran) nya.

5. Pembantu dalam percobaan

Dalam hal ini eksperimen langsung tidak mungkin diadakan karena tidak praktis, sangat mahal atau membahayakan, mepakaian model akan dapat mengatasi keterbatasan tersebut.

Untuk menilai apakah suatu model anggap baik cukup sulit, tetapi pada garis besarnya dapat disebutkan criteria suatu model yang baik antara lalin:

1. Mudah dimengerti pemakaiannnya. 2. Harus mempunyai tujuan yang jelas. 3. Dinyatakan secara jelas dan lengkap.

4. Mudah dikontrol dan dimanipulasi oleh pemakai. 5. Mengandung pemecahan masalah.

6. Mudah diubah, mempunyai prosedur modifikasi. 7. Dapat bekembang dari sederhana menuju kompleks.

2.4. Hubungan antara model dan sistem nyata (Real)

Gambar berikut memperlihatkan hubungan antara model dan sistem nyata (realitas) yang akan dimodelkan. Sistem nyata (realitas) adalah sistem yang sedang berlangsung dakam kehidupan, sustem yang dijadikan titik perhatian dan dipermasalahkan. Dengan demikian pemodelan adalah proses membangun atau membentuk sebuah model dari suatu sistem nyata dalam bahasa formal tertentu. Hasil analisis sistem nyata dengan asumsi tertentu adalah berua model konsep yang berisi spesifikasi, variable dan parameter tertentu. Asumsi yang dibuat sangat tergantung dari kacamata (visi, wawasan) pemodel dalam sistem nyata (realitas) yang dipengaruhi oleh tiga factor, yaitu: tata nilai yang dianut, ilmu pengetahuan yang dimmiliki, dan pengalaman hidup dari pemodel.

Model konsep yang berupa persamaan matematika atau diagram (DFD, Flowchart) kemudian diimplementasi menggunakan bahasa pemograman komputer tertentu menjadi model komputer (kode sumber-source code). Model komputer harus sesuai dengan model konsep asalnya, proses penyesuaian antara model komputer (kode sumber) dengan model konsep (DFD) disebut dengan verifikasi model. Kode sumber kemudian dieksekusi (run) pada perangkat keras kompoter (hardware) merupakan proses simulasi untuk tujuan tertentu. Penyesuaian antara hasil simulasi dengan data realitas disebut validasi model. Hasil validasi model biasanya dalam bentuk grafik POM (Proof of Match), yaitu kurva overlay antara hasil keluaran simulasi dan data hasil pengukuran dari sistem nyata (realitas). Simulasi dianggap bagus (diterima) jika beda overlay kurang dari 5%. Agar simulasi dapat menirukan seperti realitas, maka model perlu dipeprbaiki secara terus-menerus menjadi sesuatu proses siklus hidup (life cycle process).

Model dapat direpresentasikan dalam berbagai cara, tergantung tujuan dari studi. Beberapa jenis model dapat dikelopokkan sebagai berikut.

a. Model Skala : adalah model yang dibuat biasanya dengan memperkecil skala dari aslinya. Misalnya: model mobil, model peswat terbang untuk uji terowongan angin (wind tunel).

b. Model Piktorial (Visual Grafis): model yang dibuat dengan menggambar rancangan yang sebenarnya sebelum ada. Misalnya: designer menggambar model baju. Arsitek menggambar rumah.

c. Model verbal: model yang penjelasannya dengan kata-kata. Misalnya: proses inflasi tergantung dari beberapa factor ekonomi makro, dijelaskaan dengan kata-kata baru dibuat diagram skematis.

d. Model Skematis: model yang melukiskan unsur-unsur sistem dalam bentuk skema, petak-petak dan arus barang atau informasi. Model dapat berupa diagram, seperti: diagram blok, DFD (Data flow Diagram), Petri Net, Flowchart, PERT (Program

Evaluation and Review Technique). Model dalam bentuk skema static, seperti: tabel,

bagan Gantt (Gantt chart).

e. Model Simbolik (Matematika): model dalam bentuk persamaan matematika, seperti: persamaan diferensial, persamaan deferens, persamaan aljabar, persamaan logika, dan lain-lain.

f. Model Komputer: model dalam bentuk program komputer (source code) yang ditulis menggunakan bahasa komputer tertentu, seperti VB, PHP, Pascal, dll.

2.6. Tahapan-tahapan dalam pengembangan model

Proses tahapan dalam pengembangan model dan simulasi komputer secara umum sebagai berikut:

a. Memahami sistem yang disimulasikan

Jika pegembang model tidak atau belum mengetahui cara kerja sistem yang akan dimodel- simulasikan maka pengembang perlu meminta bantuan seorang ahli (pakar) dibidang sistem yang bersangkutan.

b. Mengembangankan model matematika dari sistem

Apabila pengembang sudah mengetahui cara kerja sistem yang bersangkutan, maka tahap berikutya adalah memformulasikan model matematika dari sistem. Model

matematika bisa dalam bentuk persamaan diferensial, persamaan aljabar nilear, persamaan logika diskret, persamaan variabel keadaan, dan lain-lain disesuaikan dengan karakteristik sistem dan tujuan dan tujuan dari pemodelan. Kadang-kadang model matematika mudah dipahami dengan digabung dengan model diagram seperti seeperti diagram alir data (data flow diagram). Dalam tahap ini data masukan dan data keluaran, variabel, parameter dan konstanta sudah dalam bentuk simbol-simbol matematika. Misalnya: waktu t, ketinggian h, dll.

c. Mengembangkan model matematika untuk simulasi

Kadang-kadang model matematika yang dihasilkan pada taham b terlalu rumit (kompleks), sehingga tergantung dari tujuan simulasi, model matematika perlu disederhanakan. Di sini diperlukan beberapa asumsi dan penyederhanaan model, misalnya model nonlinear disederhanakan menjadi model time invariant, model tersebar (distributed) disederhanakan model terkumpul (lumped). Sebagai contoh, model persamaan gerak pesawat terbang untuk tujuan autopilot biasanya dibuat dalam bentuk model linear. Diagram alir data pada tahap b dirinci lebih lanjut sehingga menghasilkan beberapa chart air (flow chart).

d. Membuat program (software) komputer

Beberapa flow chart hasil dari tahap c di implementasikan lebih lanjut menjadi program (software) komputer. Ada beberapa bahasa komputer (compiler) yang cocok untuk simulasi komputer, ini tergantung fasilitas apa saja yang tersedia pada compiler yang bersangkutan yang mendukung simulasi.

Beberapa contoh bahasa komputer yang bisa digunakan untuk simulasi, antara lain: C, C++, Java, Simulink.

e. Menguji,memverifikasi dan memvalidasi keluaran simulasi.

Simulasi pada dasasrnya adalah menirukan sistem nyata (realitas), sehingga tolok ukur baik tidaknya simulasi adalah aasejauh mana kemiripan hasil simulasi dibandingan dengan sistem nyata (realitas). Pengujian dilakukan pada tingkat modul program, untuk menguji fungsi subsistem. Verifikasi dilakukan untuk membuktikan bahwa hasil implementasi program komputer sudah sesuai dengan rancangan model konsep dari sistem yang bersangkutan. Validasi dilakukan dengan membandingkan hasil keluaran simulasidengan data yang diambil dari sistem nyata.

Eksekusi program komputer dapat dilakukan secara waktu nyata (real-time) atau waktu tidak nyata (offline) tergantung dari tujuan simulasi.

Gambar berikut memperlihatkan proses tahapan dalam pemodelan dan simulasi sistem.

Gambar Tahapan-tahapan pemodelan dan simulasi

Rumusan Persoalan (Sistem) dan Rencanakan Studi

Kumpulkan Data dan Defenisikan Model

Model Konsep

Valid?

Susun program Simulasi Komputer dan Verifikasikan

Ujji Program Simulasi Komputer

Model Konsep

Valid?

Rancangan Eksperimen

Eksekusi Program Simulasi Komputer

Analisis Data Keluaran

Tidak

Ya

Tidak

2.7. Jenis-jenis Simulasi

A. Simulasi Menurut Sifat dan Waktu 1. Simulasi Statis

Simulasi model yang menggambarkan suatu proses yang tidak dipengaruhi oleh waktu/ suatu proses yang terjadi pada suatu waktu tertentu saja.

Contoh :

Simulasi gempa untuk menguji struktur bangunan. 2. Simulasi Dinamis

Simulasi model yang menggambarkan suatu proses yang dipengaruhi oleh waktu / berlangsung pada suatu rentang waktu.

Contoh:

- Simulasi gerakan roket

- Simulasi kedatangan mobil ke jalan tol B. Menurut Ada Tidaknya Peubah Acak

1. Simulasi Deterministik

Simulasi yang menggambarkan suatu proses yang pasti terjadi (tidak mengandung ketidak tentuan).

Contoh:

- Percobaan reaksi kimia di lab. 2. Simulasi Stikastik/ Probabilistik

Simulasi yang menggambarkan suatu proses yang mengandung sifat ketidak pastian /probabilistic/ random.

C. Menurut Peubah Acaknya 1. Simulasi Deskret

Simulasi yang komponen-komponen sistemnya bersifat diskret Contoh:

- Simlasi tabungan

- Simulasi kedatangan pembeli

2. Simulasi Kontinu

Simulasi yang komponen sistemnya bersifat continue Contoh:

- Simulasi gerakan roket - Simulasi suhu udara 3. Simulasi Campuran

Simulasi yang komponen sistemnya ada yang bersifat diskret dan ada yang bersifat kontinu.

- Simulasi proses indusrtri (penggunaan bahan baku bersifat kontinu sedangkan penambahan bahan baku bersifat diskret)

4. Simulasi Monte Carlo

Monte Carlo adalah algoritma komputasi untuk mensimulasikan berbagai perilaku sistem fisika dan matematika. Penggunaan klasik metode ini adalah untuk mengevaluasi integral definit, terutama integral multidimensi dengan syarat dan batasan yang rumit. Simulasi Monte Carlo sangat penting dalam fisika komputasi dan bidang terapan lainnya, dan memiliki aplikasi yang beragam mulai dari penghitungan termodinamika kuantum esoterik hingga perancangan aerodinamika. Metode ini terbukti efisien dalam memecahkan persamaan diferensial integral medan radian, sehingga metode ini digunakan dalam penghitungan iluminasi global yang menghasilkan gambar-gambar fotorealistik model tiga dimensi, dimana diterapkan dalam video games, arsitektur, perancangan, film yang dihasilkan oleh komputer, efek-efek khusus dalam film, bisnis, ekonomi, dan bidang lainnya.

BAB III

SIMULASI DENGAN MATLAB 3.1. Pengenalan Matlab

Matlab merupakan bahasa pemrograman dengan kemampuan tinggi dalam bidang komputasi. Matlab memiliki kemampuan mengintegrasikan komputasi, visualisasi, dan pemrograman. Oleh karenanya, matlab banyak digunakan dalam bidang riset-riset yang memerlukan kommputasi numerik yang kompleks.

Penggunaan Matlab meliputi bidang–bidang:

 Matematika dan Komputasi

 Akusisi Data

 Pemodelan, simulasi, dan pembuatan prototype

 Analisa data, explorasi, dan visualisasi

 Grafik Keilmuan dan bidang Rekayasa

Matlab merupakan kepanjangan dari Matrix Laboratory. Sesuai dengan namanya, struktur data yang terdapat dalam Matlab menggunakan matriks atau array berdimensi dua (double). Oleh karenanya penguasaan teori matriks mutlak diperlukan bagi pengguna pemula.

3.2. Lingkungan Kerja Matlab

3.2.1. Beberapa Bagian dari Window Matlab 1. Current Directory

Window ini menampilkan isi dari direktori kerja saat menggunakan matlab. Kita dapat mengganti direktori ini sesuai dengan tempat direktori kerja yang diinginkan. Default dari alamat direktori berada dalam folder works tempat program files Matlab berada.

2.Command History

Window ini berfungsi untuk menyimpan perintah-perintah apa saja yang sebelumnya dilakukan oleh pengguna terhadap matlab.

3. Command Window

Window ini adalah window utama dari Matlab. Disini adalah tempat untuk menjalankan fungsi, mendeklarasikan variable, menjalankan proses-proses , serta melihat isi variable.

Workspace berfungsi untuk menampilkan seluruh variabel-variabel yang sedang aktif pada

saat pemakaian matlab. Apabila variabel berupa data matriks berukuran besar maka user dapat melihat isi dari seluruh data dengan melakukan double klik pada variabel tersebut. Matlab secara otomatis akan menampilkan window “array editor” yang berisikan data pada setiap variabel yang dipilih user.

Gambar berikut menampilkan tampilan antar muka dari matlab versi 7.0

3.2.2. Getting Help

Matlab menyediakan fungsi help yang tidak berisikan tutorial lengkap mengenai Matlab dan segala keunggulannya. User dapat menjalankan fungsi ini dengan menekan tombol pada toolbar atau menulis perintah ‘helpwin’ pada command window. Matlab juga menyediakan fungsi demos yang berisikan video tutorial matlab serta contoh-contoh program yang bisa dibuat dengan matlab.

3.2.3. Interupting dan Terminating dalam Matlab

Untuk menghentikan proses yang sedang berjalan pada matlab dapat dilakukan dengan menekan tombol Ctrl-C. Sedangkan untuk keluar dari matlab dapat dilakukan

dengan menuliskan perintah exit atau quit pada comamnd window atau dengan menekan menu exit pada bagian menu file dari menu bar.

3.3. Variabel Pada Matlab

Matlab hanya memiliki dua jenis tipe data yaitu Numeric dan String. Dalam matlab setiap variabel akan disimpan dalam bentuk matrik. User dapat langsung menuliskan variabel baru tanpa harus mendeklarasikannya terlebih dahulu pada command window. Contoh pembuatan variabel pada matlab:

Penamaan variabel pada matlab bersifat caseSensitif karena itu perlu diperhatikan penggunaan huruf besar dan kecil pada penamaan variabel. Apabila terdapat variabel lama dengan nama yang sama maka matlab secara otomatis akan me-replace variabel lama tersebut dengan variabel baru yang dibuat user.

3.1 Matriks

Dapat diasumsikan bahwa didalam matlab setiap data akan disimpan dalam bentuk matriks. Dalam membuat suatu data matriks pada matlab, setiap isi data harus dimulai dari kurung siku ‘[‘ dan diakhiri dengan kurung siku tutup ‘]’. Untuk membuat variabel dengan data yang terdiri beberapa baris, gunakan tanda ‘titik koma’ (;) untuk memisahkan data tiap barisnya.

Matlab menyediakan beberapa fungsi yang dapat kita gunakan untuk menghasilkan bentuk-bentuk matriks yang diinginkan. Fungsi-fungsi tersebut antara lain:

 zeros : untuk membuat matriks yang semua datanya bernilai 0

 ones : matriks yang semua datanya bernilai 1

 rand : matriks dengan data random dengan menggunakan distribusi uniform

 randn : matris dengan data random dengan menggunakan distribusi normal

 eye : untuk menghasilkan matriks identitas

3.4. Operator

Beberapa penggunaan operator aritmatika antara dua operand (A dan B) ditunjukkan pada tabel berikut ini :

3.5. Fungsi Matematika lainnya

Beberapa fungsi matematika lainnya yang dapat kita gunakan untuk operasi matematika antara lain sebagai berikut:

• abs(x) : fungsi untuk menghasilkan nilai absolut dari x

• sign(x) : fungsi untuk menghasilkan nilai -1 jika x<0, 0 jika x=0 dan 1 jika x>1 • exp(x) : untuk menghasilkan nilai eksponensian natural, e

• log(x) : untuk menghasilkan nilai logaritma natural x, ln x

• log10(x) : untuk menghasilkan nilai logaritma dengan basis 10, x log • sqrt(x) : untuk menghasilkan akar dari nilai x,

√

x

3.6. M File

Di dalam matlab, kita dapat menyimpan semua script yang akan digunakan dalam file pada

matlab dengan ekstensi .M. M-File dapat dipanggil dengan memilih menu file->new->M-File.

3.6.1 Fungsi

Di dalam M File, kita dapat menuliskan fungsi-fungsi yang berisikan berbagai operasi sehingga menghasilkan data yang diinginkan.

BAB IV

BILANGAN RANDOM

4.1. Sekilas Tentang Bilangan Random

Bilangan acak adalah bilangan sembarang tetapi tidak sembarangan. Kriteria yang harus dipenuhi, yaitu :

 Bilangan acak harus mempunyai distribusi serba sama (uniform)

Beberapa bilangan acak yang diambil harus mempunyai peluang terambil sama besar.

Bilangan acak ini disimbolkan dengan U, dan nilainya dari 0 sampai dengan 1, maka dinyatakan dalam U(0,1). Berbagai cara untuk mendapatkan bilangan acak, bisa dengan tabel bilangan acak, komputer (misal dengan Ms. Excel) atau menggunakan metode bilangan acak.

4.2. Metode untuk mendapatkan bilangan acak

1. Metode Kongruen Campuran

Rumus : Zi = (aZi-1 + c) mod m Dengan

a : konstanta pengali ( a < m ) c : konstanta pergeseran ( c < m ) m : konstanta modulus ( > 0 )

Z0 : bilangan awal ( bilangan bulat ≥ 0 , Z0 < m ) Ui : bilangan acak ke i dan Ui(0,1) = Zi / m

Kita lihat pada tabel , U17 mempunyai nilai yang sama dengan U1. Jika kita menginginkan bilangan acak dalam jumlah yang banyak, maka nilai m hendaknya sebesar 2b _{dengan b adalah jumlah bit pada komputer yang akan digunakan.}

2. Metode Multiplikatif

Rumus : Zi = (aZi-1 ) mod m Dengan

a : konstanta pengali m : konstanta modulus Z0 : bilangan awal

Ui : bilangan acak ke i dan Ui(0,1) = Zi / m

4.3. Pembangkit Bilangan Random

Bilangan Acak yang akan dipergunakan dalam simulasi, harus mempunyai pola yang sama dengan pola data pengamatan. Dikarenakan hal diatas, maka dari bilangan acak yang didapat harus dibangkitkan bilangan acak yang sesuai pola distribusi.

Distribusi Diskrit

a. Distribusi prob uniform diskrit Algoritma

1. Bangkitkan U(0,1)

2. Dapatkan X = a+(b-a+1)*U

Contoh

Sebuah perusahaan bakery membuat suatu kelompok jenis donat yang dijual ke toko-toko dengan distribusi diskrit uniform dengan kebutuhan harian maksimum 100 unit dan minimum 40 unit.

Tentukan bilangan acak dari distribusi diskrit uniform dengan a = 77 z0 = 12357 dan m = 128

b. Distribusi Poisson Algoritma

1. Hitung a=

e

−λ , b =1 dan i =0 2. Bangkitkan Ui+1= U(0,1)

3. Ganti b = bUi+1

4. Jika b<a maka dapatkan X = i dan jika tidak lanjutkan ke langkah 5 5. Ganti i = i+1 kembali ke langkah 2

Contoh:

Suatu kejadian berdistribusi poisson dengan rata-rata 3 kejadian perjam dan terjadi selama periode waktu 1,4 jam.

Tentukan bilangan acak dari distribusi poisson dengan a = 17 z0 = 12357 dan m = 1237

c. Distribusi Binomial

Metode transformasi dari distribusi binomial

f

(

k

)=

(

n

k

)

p

k

₍

₁

₋

_p

₎

n−k

, k = 0,1, 2 .. n

F(x) = k

∑

=0

x

f(k)

Contoh

Dari suatu distribusi binomial, diketahui p =0,5 dan n =2.

Tentukan bilangan acak dari distribusi binomial dengan a = 77 z0 = 12357 dan m = 127.

d. Distribusi Geometri Algoritma

1. Bangkitkan U(0,1)

2. Dapatkan X = ln(U)/ln(1-p) Contoh

Pada seleksi karyawan baru sebuah perusahaan terdapat 30 % pelamar yang sudah mempunyai keahlian komputer tingkat advance dalam pembuatan program. Para pelamar diinterview secara insentif dan diseleksi secara acak.

Tentukan bilangan acak dengan a = 43, m = 1237 dan z0 = 12357.

Distribusi Kontinu

a. Distr probabilitas uniform kontinu Algoritma

1. Bangkitkan U(0,1) 2. Dapatkan X = a+(b-a)*U

Contoh

Pada suatu sentra telpon ternyata distribusi pelayanan telponnya berdistribusi uniform kontinu dengan minimal waktu 3 menit dan maksimal 5 menit. Tentukan bilangan dengan a = 173 z0 = 12357 dan m = 1237.

b. Distribusi Eksponensial Algoritma

1. Bangkitkan U(0,1)

2. Dapatkan X =

−

β

ln

(

U

)

Dengan

β

rata-rata dengan nilai > 0 Contoh

Pada suatu sentra telpon ternyata distribusi penerimaan telponnya berdistribusi eksponensial dengan mean = 0,1 menit. Tentukan bilangan 10 acak dengan a = 173 z0 = 12357 dan m = 1237.

c. Distribusi Normal Algoritma

1. Bangkitkan U1,U2= U(0,1) 2. Hitung V1= 2U1-1 dan V2= 2U2-1 3. Hitung W = V12 + V22

4. Jika W > 1 maka kembali ke langkah 1 dan jika tidak lanjutkan ke langkah 5 5. Hitung

Y

=

√

(−

2*ln

(

W

)/

W

6. Dapatkan X1= V1Y dan X2=V2Y 7.

X

=

μ

+

X

i

σ

Contoh

Sebuah rumah sakit berniat mempelajari penggunaan suatu alat pada ruang emergency. Jika diketahui bahwa lamanya seorang pasien yang di’treat’ menggunakan alat tsb berdistribusi normal dgn mean 0.8 jam dan standard deviasi 0.2 jam, tentukan bilangan acak yang mewakili lamanya penggunaan alat tersebut oleh 6 orang pasien.

d. Distribusi Gamma Algoritma

1. b=(e+α)/e

2. Bangkitkan U1= U(0,1) 3. Hitung P= bU1

4. Jika P > 1 maka lanjut ke langkah 7 dan jika tidak lanjutkan ke langkah 4 5. Hitung Y = P

1

α

6. Bangkitkan U2= U(0,1)

7. Jika U ≤

e

−Y maka X=Y dan jika tidak kembali ke langkah 1 8. Hitung Y = - ln[(b-p)/α]

9. Bangkitkan U2= U(0,1) 10. Jika U2 ≤

Y

1−α

BAB V

SIMULASI MONTE CARLO

5.1. Sejarah Metode Monte Carlo

Istilah monte carlo dalam simulasi diperkenalkan oleh Compte de Buffon pada tahun 1977 dan pemakaiannya pada sistem nyata dimulai selama perang dunia II, diperkenalkan oleh S. Ulam dan J. Von Neumann pada Los Alamos Scientific Laboratory. Untuk merancang pelindung nuklir mereka membutuhkan data-data tentang jarak yang dapat ditembus oleh neutron pada berbagai material. Masalah ini sangat sulit untuk dipecahkan secara analitis dan terlalu rumit untuk dipecahkan dengan eksperimen. Mereka menyelesaikan persoalan tersebut denagn komputer, dengan mempergunakan bilangan random. Metode ini dinamakan Monte Carlo, karena dasarnya seperti permainan judi roulette sedangkan monte carlo adalah kota judi terbesar di dunia.

Metode Monte Carlo digunakan dengan istilah sampling statistik. Penggunaan nama

Monte Carlo, yang dipopulerkan oleh para pioner bidang tersebut (termasuk Stanislaw Marcin Ulam, Enrico Fermi, John von Neumann dan Nicholas Metropolis), merupakan

mirip dengan aktivitas yang dilakukan pada sebuah kasino. Dalam autobiografinya

Adventures of a Mathematician, Stanislaw Marcin Ulam menyatakan bahwa metode tersebut

dinamakan untuk menghormati pamannya yang seorang penjudi, atas saran Metropolis. Penggunaannya yang cukup dikenal adalah oleh Enrico Fermi pada tahun 1930, ketika ia menggunakan metode acak untuk menghitung sifat-sifat neutron yang waktu itu baru saja ditemukan. Metode Monte Carlo merupakan simulasi inti yang digunakan dalam

Manhattan Project, meski waktu itu masih menggunakan oleh peralatan komputasi yang

sangat sederhana. Sejak digunakannya komputer elektronik pada tahun 1945, Monte Carlo mulai dipelajari secara mendalam. Pada tahun 1950-an, metode ini digunakan di Laboratorium Nasional Los Alamos untuk penelitian awal pengembangan bom hidrogen, dan kemudian sangat populer dalam bidang fisika dan riset operasi. Rand Corporation]]an

Angkatan Udara AS merupakan dua institusi utama yang bertanggung jawab dalam pendanaan dan penyebaran informasi mengenai Monte Carlo waktu itu, dan mereka mulai menemukan aplikasinya dalam berbagai bidang.

Penggunaan metode Monte Carlo memerlukan sejumlah besar bilangan acak, dan hal tersebut semakin mudah dengan perkembangan pembangkit bilangan pseudoacak, yang jauh lebih cepat dan praktis dibandingkan dengan metode sebelumnya yang menggunakan tabel bilangan acak untuk sampling statistik.

5.2. Metode Monte Carlo

Metode Monte Carlo adalah algoritma komputasi untuk mensimulasikan berbagai perilaku sistem fisika dan matematika. Penggunaan klasik metode ini adalah untuk mengevaluasi integral definit, terutama integral multidimensi dengan syarat dan batasan yang rumit.

Metode Monte Carlo sangat penting dalam fisika komputasi dan bidang terapan lainnya, dan memiliki aplikasi yang beragam mulai dari perhitungan kromodinamika kuantum esoterik hingga perancangan aerodinamika. Metode ini terbukti efisien dalam memecahkan persamaan diferensial integral medan radians, sehingga metode ini digunakan dalam perhitungan iluminasi global yang menghasilkan gambar-gambar fotorealistik model

tiga dimensi, dimana diterapkan dalam video games, arsitektur, perancangan, film yang dihasilkan oleh komputer, efek-efek khusus dalam film, bisnis, ekonomi, dan bidang lainnya. Karena algoritma ini memerlukan pengulangan (repetisi) dan perhitungan yang amat kompleks, metode Monte Carlo pada umumnya dilakukan menggunakan komputer, dan memakai berbagai teknik simulasi komputer.

Algoritma Monte Carlo adalah metode Monte Carlo numerik yang digunakan untuk menemukan solusi problem matematis (yang dapat terdiri dari banyak variabel) yang susah dipecahkan, misalnya dengan kalkulus integral, atau metode numerik lainnya.

5.3. Penerapan Metode Monte Carlo Paada Beberapa Bidang

Metode Monte Carlo memiliki banyak penerapan di berbagai bidang. Penerapan metode Monte Carlo antara lain dalam bidang:

1. Biologi.

Mempelajari jaringan biologi. 2. Keuangan

Dalam bidang ini, Monte Carlo digunakan untuk menilai dan menganalisis model-model finansial.

3. Fisika.

Cabang-cabang fisika yang menggunakan antara lain fisika statistik dan partikel. Dalam fisika partikel,digunakan untuk eksperimen. Dalam ilmu nuklir metode ini juga banyak diterapkan

4. Ilmu probabilitas dan statistik.

Digunakan untuk mensimulasikan dan memahami efek keberagaman. 5. Ilmu komputer.

Misalnya Algoritma Las Vegas dan berbagai permainan komputer. 6. Kimia.

Digunakan untuk simulasi yang melibatkan kluster-kluster atomik. 7. Ilmu lingkungan.

Metode ini digunakan untuk memahami perilaku kontaminan. 8. Grafis.

Digunakan untuk penjejakan sinar.

Langkah-langkah utama dalam simulasi Monte Carlo: 1. Membuat distribusi kemungkinan untuk variabel penting

2. Mendefinisikan distribusi probabilitas yang diketahui secara pasti dari data yang didapatkan dari pengumpulan data di masa lalu. Variabel yang digunakan dalam distribusi harus disusun distribusi probabilitasnya.

3. Mengkonversikan distribusi probabilitas ke dalam bentuk frekuensi kumulatif. Distribusi probabilitas kumulatif ini akan digunakan sebagai dasar pengelompokan batas interval dari batasan acak.

4. Menjalankan proses simulasi dengan menggunakan bilangan acak. Faktor-faktor yang sifatnya tidak pasti sering sekali menggunakan bilangan acak untuk menggambarkan kondisi yang acak akan memberikan gambaran dari variasi yang sebenarnya.

5. Analisis yang dilakukan dari keluaran simulasi sebagai masukan bagi alternatif pemecahan permasalahan dan pengambilan kebijakan. Pihak manajemen dapat melakukan evaluasi terhadap kondisi yang sedang terjadi dengan hasil simulasi.

Penjelasan dari ke 5 tahapan tersebut adalah sebagai berikut:

1. Membuat distribusi kemungkinan untuk variabel penting

Gagasan dasar dari simulasi monte carlo adalah membuat nilai dari tiap variabel yang merupakan bagian dari model yang dipelajari. Banyak variabel di dunia nyata yang secara alami mempunyai berbagai kemungkinan yang mungkin ingin kita simulasikan.

Salah satu cara umum untuk membuat distribusi kemungkinan untuk suatun variabel adalah memperhitungkan hasil di masa lalu. Kemungkinan atau frekuensi relative untuk tiap kemungkinan hasil dari tiap variabel ditentukan dengan membagi frekuensi observasi dengan jumlah total observasi Contoh: Permintaan akan ban di toko ban “Benjol” selama 200 hari kebelakang terlihat di tabel berikut:

Kita dapat merubah keadaan tersebut diatas menjadi distribusi kemungkinan (bila kita asumsikan tingkat penjuala dimasa lalu akan tetap bertahan sampai ke masa depan) dengan membagi tiap permintaan dengan total permintaan. Seperti pada tabel berikut:

2. Membangun distribusi kemungkinan kumulatif untuk tiap‐tiap variabel di tahap pertama

Konversi dari distribusi kemungkinan biasa, seperti pada kolom kanan tabel 2 menjadi distribusi kumulatif dilakukan dengan menjumlahkan tiap angka kemungkinan dengan jumlah sebelumnya seperti pada tabel 3.

Probabilitas kumulatif terlihat pada gambar dibawah, digunakan pada tahap ke 3 untuk membantu menempatkan nilai random.

3. Menentukan interval angka random untuk tiap variabel

Setelah kita menentukan probabilitas kumulatif untuk tiap variabel yan termasuk dalam simulasi, kita harus menentukan batas angka yang mewakili tiap

kemungkinan hasil. hal tersebut ditujukan pada interval angka random. Penentuan interval didasari oleh kemungkinan kumulatif

Tabel 4. Interval Angka Random

Permintaan Kemungkinan Kemungkinan Kumulatif

Interval Angka Random

0 0.05 0.05 01 s/d 05

1 0.10 0.15 06 s/d 15

2 0.20 0.35 16 s/d 35

3 0.30 0.65 36 s/d 65

4 0.20 0.85 66 s/d 85

5 0.15 1.00 86 /d 100

4. Membuat angka random

Untuk membuat angka random kita bisa menggunakan software Microsoft Excel dengan menggunakan perintah Randbetween, misal untuk angka random dari 1‐100, kita tuliskan perintah: =randbetween(1,100) dan diulangi sejumlah baris yang diperlukan

5. Membuat simulasi dari rangkaian percobaan

Kita bisa membuat simulasi dari sebuah eksperimen dengan mengambil angka random dari gambar diatas, misal kita akan membuat simulasi untuk 10 hari, kita ambil Kolom A1‐ A10. Cara penentuan permintaan adalah dengan ditentukan oleh angka random. Contohnya bila angka random adalah 56, angka itu terletak pada interval 36 s/d 65 yang berarti permintaan 3 buah ban.

Total permintaan untuk 10 hari adalah 28 ban, rata‐rata permintaan per hari adalah 2,8 ban.

BAB VI MODEL ANTRIAN

6.1. Sekilas Tentang Antrian

Antrian adalah suatu kejadian yang biasa dalam kehidupan sehari–hari. Menunggu di depan loket untuk mendapatkan tiket kereta api atau tiket bioskop, pada pintu jalan tol, pada bank, pada kasir supermarket, dan situasi–situasi yang lain merupakan kejadian yang sering ditemui. Studi tentang antrian bukan merupakan hal yang baru.

Dalam dunia nyata kita tidak suka menunggu, maka tak heran bila kita punya pendapat bahwa menunggu adalah pekerjaan yang paling menyebalkan. Di bawah ini diberikan contoh beberapa situasi dimana antrian sangat penting.

1. Contoh Supermarket. Berapa lama pelanggan harus menunggu di kasir ? apa yang terjadi dengan waktu tunggu selama puncak kesibukan ? apakah jumlah kasir cukup ?

2. Contoh Sistem Produksi Sebuah mesin menghasilkan jenis produk yang berbeda. Berapa waktu pasti dari suatu pesanan? Apa yang mengurangi waktu pasti jika kita memiliki sebuah mesin ekstra? Haruskah kita membuat prioritas dari pesanan?

3. Contoh Kantor Pos. Dalam suatu kantor pos ada konter-konter khusus didalamnya seperti stempel, packaging, ternsaksi keuangan dll. Apakah konternya sudah cukup? Bisakah Antrian terpisah atau antrian umum di depan konter dengan spesialisasi yang sama? 4. Contoh Komunikasi Data Di dalam paket jaringan komunikasi standar komputer yang

disebut sel ditransmisikan di dalam link dari satu switch ke yang lainnya. Pada setiap switch sel yang masuk dapat dibuffer ketika permintaan yang datang melebihi kapasitas link. Ketika buffer penuh cel yang masuk akan hilang. Apa yang menunda sel didalam switch? Pecahan sel yang mana yang akan hilang? Berapa ukuran buffer yang baik? 5. Contoh Tempat Parkir Mereka akan mendirikan suatu area parkir baru di depan suatu

supermarket. Seberapa besar seharusnya ?

6. Contoh Perakitan Papan Sirkuit Printer Memasang komponen secara vertikal di atas papan printer dilakukan dalam suatu pusat perakitan yang terdiri dari sejumlah mesin penyisipan yang paralel. Masing-masing mesin mempunyai sebuah magazine untuk menyimpan komponen. Berapa waktu pasti yang dibutuhkan untuk produksi papan sirkuit itu? Bagaimana seharusnya pembagian komponen yang diperlukan untuk perakitan papan sirkuit printer disetiap mesin?

7. Contoh Call Center dari suatu perusahaan asuransi ? Pertanyaan melalui telepon, mengenai kondisi-kondisi asuransi, ditangani oleh sebuah call center. Dimana masing-masing regu membantu nasabah dari masing-masing-masing-masing daerah tertentu. Berapa lama pelanggan menunggu sebelum sampai operator bersedia? Apakah jumlah telefon yang masuk cukup? Apakah operatornya cukup? Regu polling?

8. Contoh Main Frame Komputer Banyak cashomat dihubungkan pada sebuah main frame komputer yang besar yang dapat menangani semua teransaksi finansial. Apakah kapasitas komputer mainframe cukup? Apa yang terjadi jika penggunaan cashomat meningkat?

9. Contoh Gardu Tol Pengendara motor harus membayar bea masuk untuk melewati sebuah jembatan. Apakah gardu tol cukup? Contoh Rambu Lalu Lintas Bagaimana kita harus mengatur rambu lalu lintas agar waktu tunggu dapat diterima?

Antrian timbul disebabkan oleh kebutuhan akan layanan melebihi kemampuan (kapasitas) pelayanan atau fasilitas layanan, sehingga pengguna fasilitas yang tiba tidak bisa segera mendapat layanan disebabkan kesibukan layanan. Pada banyak hal, tambahan fasilitas pelayanan dapat diberikan untuk mengurangi antrian atau untuk mencegah timbulnya antrian. Akan tetapi biaya karena memberikan pelayanan tambahan, akan menimbulkan pengurangan keuntungan mungkin sampai di bawah tingkat yang dapat diterima. Sebaliknya, sering timbulnya antrian yang panjang akan mengakibatkan hilangnya pelanggan / nasabah. Pengurangan waktu menunggu umumnya membutuhkan investasi yang ekstra. Untuk memutuskan ya atau tidak untuk investasi adalah penting mengetahui efek dari investasi untuk waktu antrian. Maka kita memerlukan model dan tehnik untuk menganalisis situasi seperti ini. Di dalam buku ini kita akan memerlukan beberapa model dasar teori antrian. Perhatian ditekankan pada metode untuk menganalisis model ini, dan juga aplikasi dari Antrian model. Area penting dari aplikasi model antrian adalah sistem produksi, transportasi dan sistem persediaan barang, sistem komunikasi, dan sistem pengolahan informasi. Antrian model bermanfaat untuk perancangan sistem dalam kaitannya dengan tata ruang, kapasitas dan kendali. Di dalam kuliah ini perhatian kami terbatas pada model dengan satu antrian. Situasi dengan lebih dari satu antrian diperlukan dalam kursus antrian jaringan. Merupakan tehnik lanjutan untuk bilangan eksak, aproksimasi dan analisis numerik dari antrian model akan menjadi pokok bahasan\ metode algoritma teori antrian.

Salah satu model yang sangat berkembang sekarang ini ialah model matematika. Umumnya, solusi untuk model matematika dapat dijabarkan berdasarkan dua macam prosedur, yaitu : analitis dan simulasi. Pada model simulasi, solusi tidak dijabarkan secara deduktif. Sebaliknya, model dicoba terhadap harga – harga khusus variabel jawab berdasarkan syarat – syarat tertentu (sudah diperhitungkan terlebih dahulu), kemudian diselidiki pengaruhnya terhadap variabel kriteria. Karena itu, model simulasi pada hakikatnya mempunyai sifat induktif. Misalnya dalam persoalan antrian, dapat dicoba pengaruh bermacam – macam bentuk sistem pembayaran sehingga diperoleh solusi untuk situasi atau syarat kedatangan yang mana pun.

6.2. Konsep Teori Antrian

Antrian yang sangat panjang dan terlalu lama untuk memperoleh giliran pelayanan sangatlah menjengkelkan. Rata – rata lamanya waktu menunggu (waiting time) sangat tergantung kepada rata – rata tingkat kecepatan pelayanan (rate of services). Teori tentang antrian diketemukan dan dikembangkan oleh A. K. Erlang, seorang insinyur dari Denmark yang bekerja pada perusahaan telepon di Kopenhagen pada tahun 1910. Erlang melakukan eksperimen tentang fluktuasi permintaan fasilitas telepon yang berhubungan dengan automatic dialing equipment, yaitu peralatan penyambungan telepon secara otomatis.

Dalam waktu – waktu yang sibuk operator sangat kewalahan untuk melayani para penelepon secepatnya, sehingga para penelepon harus antri menunggu giliran, mungkin

(delay) dari seorang operator, kemudian pada tahun 1917 penelitian dilanjutkan untuk menghitung kesibukan beberapa operator. Dalam periode ini Erlang menerbitkan bukunya yang terkenal berjudul Solution of some problems in the theory of probabilities of significance in Automatic Telephone Exhange. Baru setelah perang dunia kedua, hasil penelitian Erlang diperluas penggunaannya antara lain dalam teori antrian (Supranto, 1987). Menurut Siagian (1987), antrian ialah suatu garis tunggu dari nasabah (satuan) yang memerlukan layanan dari satu atau lebih pelayan (fasilitas layanan). Pada umumnya, sistem antrian dapat diklasifikasikan menjadi system yang berbeda – beda di mana teori antrian dan simulasi sering diterapkan secara luas. Klasifikasi menurut Hillier dan Lieberman adalah sebagai berikut

1. Sistem pelayanan komersial 2. Sistem pelayanan bisnis – industry 3. Sistem pelayanan transportasi 4. Sistem pelayanan social

Sistem pelayanan komersial merupakan aplikasi yang sangat luas dari model – model antrian, seperti restoran, kafetaria, toko, salon, butik, supermarket, dan sebagainya. Sistem pelayanan bisnis – industri mencakup lini produksi, sistem material – handling, sistem pergudangan, dan sistem – sistem informasi komputer. Sistem pelayanan sosial merupakan sistem – sistem pelayanan yang dikelola oleh kantor – kantor dan jawatan – jawatan lokal maupun nasional, seperti kantor registrasi SIM dan STNK, kantor pos, rumah sakit, puskesmas, dan lain – lain (Subagyo, 2000).

6.3. Sistem Antrian

Ada tiga komponen dalam sistim antrian yaitu :

1. Populasi dan cara kedatangan pelanggan datang ke dalam sistem 2. Sistem pelayanan

3. kondisi pelanggan saat keluar sistem

Gambar : Antrian 1. Populasi dan Cara Kedatangan Pelanggan

Populasi yang akan Dilayani (calling population) Setiap masalah antrian melibatkan kedatangan, misalnya orang, mobil, panggilan telepon untuk dilayani, dan lain – lain. Unsur ini sering dinamakan proses input. Proses input meliputi sumber kedatangan atau biasa dinamakan calling population, dan cara terjadinya kedatangan yang umumnya merupakan variabel acak. Menurut Levin, dkk (2002), variable acak adalah suatu variabel yang nilainya bisa berapa saja sebagai hasil dari percobaan acak. Variabel acak dapat berupa diskrit atau kontinu. Bila variabel acak hanya dimungkinkan memiliki beberapa nilai saja, maka ia merupakan variabel acak diskrit. Sebaliknya bila nilainya dimungkinkan bervariasi pada rentang tertentu, ia dikenal sebagai variabel acak kontinu.

Karakteristik dari populasi yang akan dilayani (calling population) dapat dilihat menurut ukurannya, pola kedatangan, serta perilaku dari populasi yang akan dilayani. Menurut ukurannya, populasi yang akan dilayani bisa terbatas (finite) bisa juga tidak terbatas (infinite). Sebagai contoh jumlah mahasiswa yang antri untuk registrasi di sebuah perguruan tinggi sudah diketahui jumlahnya (finite), sedangkan jumlah nasabah bank yang antri untuk setor, menarik tabungan, maupun membuka rekening baru, bisa tak terbatas (infinte).

b) Distribusi Kedatangan

Secara umum, formula garis tunggu antrian memerlukan informasi tingkat kedatangan unit per periode waktu (arrival rate). distribusi kedatangan bisa teratur - tetap dalam satu periode. Artinya kedatangan unit/ pelanggan dalam antrian dengan unit/ pelanggan berikutnya memiliki periode waktu yang sama. Kedatangan yang seperti ini biasanya hanya ada di sistem produksi dimana antrian dikendalikan oleh mesin. Kedatangan yang teratur sering kita jumpai pada proses pembuatan/ pengemasan produk yang sudah distandardisasi. Pada proses semacam ini, kedatangan produk untuk diproses pada bagian selanjutnya biasanya sudah ditentukan waktunya, misalnya setiap 30 detik.

Pada banyak kasus dalam praktek, kedatangan unit/ pelanggan dalam antrian dengan unit/ pelanggan berikutnya bersifat variabel atau acak (random).Kedatangan yang sifatnya acak (random) banyak kita jumpai misalnya kedatangan nasabah di bank. Pola kedatangan yang sifatnya acak dapat digambarkan dengan distribusi statistik dan dapat ditentukan dua cara yaitu

 Dengan cara menganalisa kedatangan per satuan waktu untuk melihat apakah waktu kedatangan unit/ pelanggan dalam antrian mengikuti pola distribusi statistik tertentu. Biasanya kita mengasumsikan bahwa waktu kedatangan unit/ pelanggan dalam antrian dengan unit/ pelanggan berikutnya berdistribusi eksponensial.

 Dengan cara menetapkan lama waktu (T) dan mencoba menentukan berapa banyak unit/ pelanggan yang datang ke dalam sistem dalam kurun waktu T. Secara spesifik biasanya diasumsikan bahwa jumlah kedatangan per satuan waktu mengikuti pola distribusi Poisson.

Contoh : Kedatangan digambarkan dalam jumlah satu waktu, dan bila kedatangan terjadi secara acak, informasi yang penting adalah Probabilitas n kedatangan dalam periode waktu

yang konstan dan bebas satu sama lain disebut distribusi probabilitas Poisson Ahli matematika dan fisika, Simeon Poisson (1781 – 1840), menemukan sejumlah aplikasi manajerial, seperti kedatangan pasien di RS, sambungan telepon melalui central switching system, kedatangan kendaraan di pintu toll, dll. Semua kedatangan tersebut digambarkan dengan variabel acak yang terputus-putus dan nonnegative integer (0, 1, 2, 3, 4, 5, dst). Selama 10 menit mobil yang antri di pintu toll bisa 3, 5, 8, dst. Ciri distribusi poisson: i) rata-rata jumlah kedatangan setiap interval bisa diestimasi dari data sebelumnya, ii). bila interval waktu diperkecil misalnya dari 10 menit menjadi 5 menit, maka pernyataan ini benar

 Probabilita bahwa seorang pasien datang merupakan angka yang sangat kecil dan konstan untuk setiap interval

 Probabilita bahwa 2 atau lebih pasien akan datang dalam waktu interval sangat kecil sehingga probabilita untuk 2 atau lebih dikatakan nol (0).

 Jumlah pasien yang yang datang pada interval waktu bersifat independent

 Jumlah pasien yang datang pada satu interval tidak tergantung pada interval yang lain.

Probabilitas n kedatangan dalam waktu T ditentukan dengan rumus

Jika kedatangan mengikuti Distribusi Poisson dapat ditunjukkan secara matematis bahwa waktu antar kedatangan akan terdistribusi sesuai dengan distribusi eksponensial .

Suatu faktor yang mempengaruhi penilaian distribusi kedatangan adalah ukuran populasi panggilan . Contoh : jika seorang tukang reparasi sedang memperbaiki enam buah mesin, populasi panggilan dibatasi sampai dengan enam buah mesin. Dalam hal ini tidak mungkin bahwa kedatangan mengikuti distribusi Poisson sebab tingkat kecepatan kerusakan tidak konstan. Jika lima buah mesin telah rusak, tingkat kedatangan lebih rendah daripada bila seluruh mesin dalam keadaan operasi.

Populasi yang akan dilayani mempunyai perilaku yang berbeda-beda dalam membentuk antrian. Ada tiga jenis perilaku: reneging, balking, dan jockeying. Reneging menggambarkan situasi dimana seseorang masuk dalam antrian, namun belum memperoleh pelayanan, kemudian meninggalkan antrian tersebut. Balking menggambarkan orang yang tidak masuk dalam antrian dan langsung meninggalkan tempat antrian. Jockeying menggambarkan orang yang pindah-pindah antrian.

c) Pola Kedatangan

Kedatangan unit/ pelanggan dalam sistem antrian, untuk beberapa kasus, dapat dikendalikan. Misalnya kedatangan dikendalikan dengan cara memberikan potongan pada hari-hari tertentu yang sepi dengan maksud menggiring pelanggan untuk datang pada jam sepi, memberikan harga tinggi pada sesi-sesi padat agar pelanggan tergiring datang pada hari lain yang lebih murah. Namun demikian, dalam beberapa kasus yang lain, kedatangan unit/ pelanggan dalam antrian tidak dapat dikendalikan misalnya permintaan bantuan imergensi di rumah sakit, atau pemadam kebakaran atau kantor polisi.

d) Jumlah Unit/ Pelanggan yang Datang

Kedatangan tunggal atau dengan kata lain satu kali kedatangan bisa saja hanya terdiri dari satu uni atau satu pelanggan. Namun demikian bisa saja dalam satu kali kedatangan terdiri dari banyak unit yang disebut batch arrivals, misalnya kedatangan undangan di lima acara pesta di sebuah restoran.

e) Tingkat Kesabaran

Tingkat kesabaran pelanggan dalam antrian dikelompokkan menjadi dua, yakni

 Kedatangan yang sabar. Yaitu seseorang yang bersedia menunggu hingga dilayani terlepas apakah mereka menunjukkan perilaku tidak sabar seperti menggerutu atau mengomel tetapi tetap menunggu dalam antrian.

 Kedatangan yang tidak sabar. Kedatangan yang tidak sabar dikelompokkan menjadi dua kategori. Kategori yang pertama adalah orang yang datang, melihat-lihat fasilitas layanan dan panjang antrian, lalu memutuskan meninggalkan sistem. Kategori yang kedua adalah orang yang datang, melihat fasilitas layanan, bergabung dalam antrian dan untuk beberapa lama kemudian meninggalkan sistem.

2.Sistem Pelayanan Antrian

Sistem Pelayanan Antrian meliputi beberapa hal yakni garis antrian/ baris tunggu dan ketersediaan fasilitas.

a) Garis antrian/ baris tunggu.

Faktor-faktor yang terkait dengan garis antrian meliputi panjang antrian, jumlah baris antrian dan disiplin antrian.

 Panjang Kapasitas Antrian

Dalam pengertian praktis, panjang kapasitas antrian dapat dikelompokkan menjadu dua yakni 1) panjang kapasitas antrian yang potensial tak terbatas, misalnya panjang antrian di jembatan penyeberangan, atau antrian membeli tiket bioskop. 2) panjang kapasitas antrian yang terbatas baik karena ketentuan peraturan atau karena keterbatasan karakteristik ruang fisik, misalnya tempat parkir.

 Jumlah Antrian.

Jumlah antrian dalam sistem antrian dikelompokkan menjadi dua yakni antrian tunggal. Artinya hanya ada satu fasilitas layanan untuk melayani antrian. 2) Antrian berganda/ multi. Artinya ada beberapa fasilitas layanan di depan baris antrian.

 Disiplin Antrian

Disiplin antrian dikelompokkan menjadi dua, yaitu preemptive dan non preemptive. Disiplin preemptive menggambarkan situasi dimana pelayan sedang melayani seseorang, kemudian beralih melayani orang yang diprioritaskan meskipun belum selesai melayani orang sebelumnya. Sementara disiplin non preemptive menggambarkan situasi dimana pelayan akan menyelesaikan pelayanannya baru kemudian beralih melayani orang yang diprioritaskan. Sedangkan disiplin first come first serve menggambarkan bahwa orang yang lebih dahulu datang akan dilayani terlebih dahulu. Dalam kenyataannya sering dijumpai kombinasi dari tersebut. Yaitu prioritas dan first come first serve. Sebagai contoh, para pembeli yang akan melakukan pembayaran di kasir untuk pembelian kurang dari sepuluh jenis barang (dengan keranjang) di super market disediakan counter tersendiri.

Disiplin antri adalah aturan keputusan yang menjelaskan cara melayani pengantri. Menurut Siagian (1987), ada 5 bentuk disiplin pelayanan yang biasa digunakan, yaitu :

1. FirstCome FirstServed (FCFS) atau FirstIn FirstOut (FIFO) artinya, lebih dulu datang (sampai), lebih dulu dilayani (keluar). Misalnya, antrian pada loket pembelian tiket bioskop.

2. LastCome FirstServed (LCFS) atau LastIn FirstOut (LIFO) artinya, yang tiba terakhir yang lebih dulu keluar. Misalnya, sistem antrian dalam elevator untuk lantai yang sama. 3. Service In Random Order (SIRO) artinya, panggilan didasarkan pada

4. peluang secara random, tidak soal siapa yang lebih dulu tiba.

5. Priority Service (PS) artinya, prioritas pelayanan diberikan kepada pelanggan yang mempunyai prioritas lebih tinggi dibandingkan dengan pelanggan yang mempunyai prioritas lebih rendah, meskipun yang terakhir ini kemungkinan sudah lebih dahulu tiba dalam garis tunggu. Kejadian seperti ini kemungkinan disebabkan oleh beberapa hal, misalnya seseorang yang dalam keadaan penyakit lebih berat dibanding dengan orang lain dalam suatu tempat praktek dokter.

Dalam hal di atas telah dinyatakan bahwa entitas yang berada dalam garis tunggu tetap tinggal di sana sampai dilayani. Hal ini bisa saja tidak terjadi. Misalnya, seorang pembeli bisa menjadi tidak sabar menunggu antrian dan meninggalkan antrian. Untuk entitas yang meninggalkan antrian sebelum dilayani digunakan istilah pengingkaran (reneging). Pengingkaran dapat bergantung pada panjang garis tunggu atau lama waktu tunggu. Istilah penolakan (balking) dipakai untuk menjelaskan entitas yang menolak untuk bergabung dalam garis tunggu (Setiawan, 1991).

 Struktur Antrian

Dalam mengelompokkan model-model antrian yang berbeda-beda, akan digunakan suatu notasi yang disebut Kendall’s Notation. Notasi ini sering dipergunakan karena beberapa alasan. Pertama, karena notasi tersebut merupakan alat yang efisien untuk mengidentifikasi tidak hanya model-model antrian, tetapi juga asumsi-asumsi yang harus dipenuhi. Kedua, hampir semua buku yang membahas teori antrian menggunakan notasi ini.

Bentuk Model Umum : 1/ 2/ 3/ 4

1 = Tingkat kedatangan 2 = Tingkat Pelayanan

3 = Jumlah fasilitas pelayanan 4 = Besarnya populasi

Notasi yang sering dipakai adalah : Singkatan Penjelasan

M Tingkat kedatangan dan/atau pelayanan Poisson

D Tingkat kedatangan dan/atau pelayanan Deterministik (diketahui konstan) K Distribusi Erlang waktu antar kedatangan atau pelayanan

S Jumlah fasilitas pelayanan

I Sumber populasi atau kepanjangan antrian tak-terbatas (infinite) F Sumber populasi atau kepanjangan antrian terbatas (finite)

Tanda pertama notasi selalu menunjukkan distribusi tingkat kedatangan. Dalam hal ini, M menunjukkan tingkat kedatangan mengikuti distribusi probabilitas Poisson. Tanda kedua menunjukkan distribusi tingkat pelayanan. Tanda ketiga menunjukkan jumlah fasilitas pelayanan dalam sistem. Tanda keempat dan kelima ditambahkan untuk menunjukkan apakah sumber populasi dan kepanjangan antrian adalah tak-terbatas (I) atau terbatas (F).

Ada 4 model struktur antrian dasar yang umum terjadi dalam seluruh sistem antrian : 1. Single Channel – Single Phase

Single Channel berarti hanya ada satu jalur yang memasuki system pelayanan atau ada satu fasilitas pelayanan. Single Phase berarti hanya ada satu pelayanan.

2. Single Channel – Multi Phase

Istilah Multi Phase menunjukkan ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakan secara berurutan (dalam phasephase). Sebagai contoh : pencucian mobil.

3. Multi Channel – Single Phase

Sistem Multi Channel – Single Phase terjadi kapan saja di mana ada dua atau lebih fasilitas pelayanan dialiri oleh antrian tunggal, sebagai contoh model ini adalah antrian pada teller sebuah bank.

4. Multi Channel – Multi Phase

Sistem Multi Channel – Multi Phase Sebagai contoh, herregistrasi para mahasiswa di universitas, pelayanan kepada pasien di rumah sakit mulai dari pendaftaran, diagnosa, penyembuhan sampai pembayaran. Setiap sistem – sistem ini mempunyai beberapa fasilitas pelayanan pada setiap tahapnya (Subagyo, 2000).

b) Ketersediaan Pelayanan

Ada 3 aspek yang harus diperhatikan dalam mekanisme pelayanan, yaitu :

 Tersedianya pelayanan

Mekanisme pelayanan tidak selalu tersedia untuk setiap saat. Misalnya dalam pertunjukan bioskop, loket penjualan karcis masuk hanya dibuka pada waktu tertentu

antara satu pertunjukan dengan pertunjukan berikutnya. Sehingga pada saat loket ditutup, mekanisme pelayanan terhenti dan petugas pelayanan (pelayan) istirahat.

 Kapasitas pelayanan

Kapasitas dari mekanisme pelayanan diukur berdasarkan jumlah langganan yang dapat dilayani secara bersama – sama. Kapasitas pelayanan tidak selalu sama untuk setiap saat; ada yang tetap, tapi ada juga yang berubah – ubah. Karena itu, fasilitas pelayan atau mekanisme pelayanan dapat terdiri dari satu atau lebih pelayan, atau satu atau lebih fasilitas pelayanan. Tiap – tiap fasilitas pelayanan kadang – kadang disebut sebagai saluran (channel) (Schroeder, 1997). Contohnya, jalan tol dapat memiliki beberapa pintu tol. Mekanisme pelayanan dapat hanya terdiri dari satu pelayan dalam satu fasilitas pelayanan yang ditemui pada loket seperti pada penjualan tiket di gedung bioskop.Fasilitas yang mempunyai satu saluran disebut saluran tunggal atau sistem pelayanan tunggal dan fasilitas yang mempunyai lebih dari satu saluran disebut saluran ganda atau pelayanan ganda.

 Karakteristik Waktu Pelayanan/ Lamanya pelayanan

Lamanya pelayanan adalah waktu yang dibutuhkan untuk melayani seorang langganan atau satu – satuan. Ini harus dinyatakan secara pasti. Oleh karena itu, waktu pelayanan boleh tetap dari waktu ke waktu untuk semua langganan atau boleh juga berupa variabel acak. Umumnya dan untuk keperluan analisis, waktu pelayanan dianggap sebagai variabel acak yang terpencar secara bebas dan sama serta tidak tergantung pada waktu kedatangan (Siagian, 1987) dan diasumsikan mengikuti distribusi eksponensial.

3. Exit

Setelah pelanggan dilayani, ada dua kemungkinan kondisi pelanggan itu keluar sistem: 1) pelanggan mungkin kembali ke populasi sumber dan mengantri lagi, Misalnya, sebuah mesin setelah mendapat perawatan servis dan dioperasikan lagi, namun ternyata mesin tersebut rusak lagi.atau 2) pelanggan hanya kemungkinan kecil untuk mendapat pelayanan ulang. Misalnya sebuah mesin mendapat perbaikan menyeluruh atau modifikasi sehingga kemungkinan kecil mesin tersebut dalam waktu dekat untuk rusak lagi.

6.4. Perilaku Biaya Antrian

Ada dua jenis biaya yang timbul. Yaitu biaya karena orang mengantri, dan di sisi lain biaya karena menambah fasilitas layanan. Biaya yang terjadi karena orang mengantri, antara lain berupa waktu yang hilang karena menunggu. Sementara biaya menambah fasilitas layanan berupa penambahan fasilitas layanan serta gaji tenaga kerja yang memberi pelayanan. Tujuan dari sistem antrian adalah meminimalkan biaya total, yaitu biaya karena mengantri dan biaya karena menambah fasilitas layanan.

6.5. Mengelola Antrian Pendekatan Kualitatif

Berikut ini beberapa saran yang dapat diaplikasikan dalam mengelola antrian sebelum memutuskan menambah fasilitas:

Menentukan waktu tunggu yang masih dapat diterima oleh pelanggan. Susun tujuan operasional didasarkan pada apa yang dapat diterima oleh pelanggan

1. Mencoba mengalihkan perhatian pelanggan ketika menunggu, misalnya dengan menyediakan TV, Bacaan, pemutaran film atau yang lain untuk membantu pelanggan tidak terfokus pada kenyataan bahwa mereka menunggu lama.

2. Menginformasikan kepada pelanggan tentang apa yang sedang terjadi dan apa yang sedang diupayakan oleh manajemen untuk solusi. Hal ini perlu dilakukan khususnya ketika waktu tunggu lebih lama dari normal karena pelanggan yang sudah menunggu lama dan tidak mengerti apa yang sedang terjadi akan membuat mereka gelisah. 3. Menjaga agar karyawan tidak terlihat oleh pelanggan sedang menganggur atau

mengerjakan pekerjaan lain atau bekerja lambat. Bagaimanapun, tidak ada yang membuat pelanggan menajdi begitu frustasi ketika mereka sedang mengantri lama dan di sisi lain mereka melihat para karyawan malah duduk-duduk santai atau terlihat kurang gesit.

4. Mensegmentasi pelanggan. Misalnya bila ada sekelompok pelanggan yang membutuhkan sesuatu yang dapat dilayani dengan cepat, maka ada baikn ya buat antrian khusus untuk mereka sehingga mereka tidak mengantri lama hanya karena beberapa konsumen yang lain membutuhkan pelayanan yang lama.

mengendalikan perasaan negatif selama menunggu. Akan lebih baik bila diberi arahan yang spesifik dari pada sekedar meminta mereka bersikap friendly, misalnya dengan meminta mereka tersenyum saat memberi salam kepada pelanggan.

6. Mendorong pelanggan untuk datang pada saat waktu longgar/ sepi. Berikan informasi yang lengkap kepada pelanggan tentang saat-saat yang biasanya luang sehingga mereka bisa datang dan tidak perlu mengantri.Beri tahu kapan saat-saat padat pelanggan dan kapan saat sepi pelanggan.

7. Mengupayakan pemecahan jangka panjang dalam mengatasi masalah antrian. Perlu mengembangkan rencana cara laternatif untuk melayani pelanggan misalnya dengan mempersingkat prosedur, mengembangkan metode kerja yang lebih cepat dan lain-lain. (Hendra Poerwanto G)

Disiplin antri adalah aturan keputusan yang menjelaskan cara melayani pengantri. Menurut Siagian (1987), ada 5 bentuk disiplin pelayanan yang biasa digunakan, yaitu :

1. FirstCome FirstServed (FCFS) atau FirstIn FirstOut (FIFO) artinya, lebih dulu datang (sampai), lebih dulu dilayani (keluar). Misalnya, antrian pada loket pembelian tiket bioskop.

2. LastCome FirstServed (LCFS) atau LastIn FirstOut (LIFO) artinya, yang tiba terakhir yang lebih dulu keluar. Misalnya, sistem antrian dalam elevator untuk lantai yang sama. 3. Service In Random Order (SIRO) artinya, panggilan didasarkan pada

4. peluang secara random, tidak soal siapa yang lebih dulu tiba.

5. Priority Service (PS) artinya, prioritas pelayanan diberikan kepada pelanggan yang mempunyai prioritas lebih tinggi dibandingkan dengan pelanggan yang mempunyai prioritas lebih rendah, meskipun yang terakhir ini kemungkinan sudah lebih dahulu tiba dalam garis tunggu. Kejadian seperti ini kemungkinan disebabkan oleh beberapa hal, misalnya seseorang yang dalam keadaan penyakit lebih berat dibanding dengan orang lain dalam suatu tempat praktek dokter.

Dalam hal di atas telah dinyatakan bahwa entitas yang berada dalam garis tunggu tetap tinggal di sana sampai dilayani. Hal ini bisa saja tidak terjadi. Misalnya, seorang pembeli bisa menjadi tidak sabar menunggu antrian dan meninggalkan antrian. Untuk entitas yang meninggalkan antrian sebelum dilayani digunakan istilah pengingkaran (reneging). Pengingkaran dapat bergantung pada panjang garis tunggu atau lama waktu tunggu. Istilah penolakan (balking) dipakai untuk menjelaskan entitas yang menolak untuk bergabung dalam garis tunggu (Setiawan, 1991).

 Struktur Antrian

Dalam mengelompokkan model-model antrian yang berbeda-beda, akan digunakan suatu notasi yang disebut Kendall’s Notation. Notasi ini sering dipergunakan karena beberapa alasan. Pertama, karena notasi tersebut merupakan alat yang efisien untuk mengidentifikasi tidak hanya model-model antrian, tetapi juga asumsi-asumsi yang harus dipenuhi. Kedua, hampir semua buku yang membahas teori antrian menggunakan notasi ini.

Bentuk Model Umum : 1/ 2/ 3/ 4

1 = Tingkat kedatangan 2 = Tingkat Pelayanan

3 = Jumlah fasilitas pelayanan 4 = Besarnya populasi

Notasi yang sering dipakai adalah : Singkatan Penjelasan

M Tingkat kedatangan dan/atau pelayanan Poisson

D Tingkat kedatangan dan/atau pelayanan Deterministik (diketahui konstan) K Distribusi Erlang waktu antar kedatangan atau pelayanan

S Jumlah fasilitas pelayanan

I Sumber populasi atau kepanjangan antrian tak-terbatas (infinite) F Sumber populasi atau kepanjangan antrian terbatas (finite)

Tanda pertama notasi selalu menunjukkan distribusi tingkat kedatangan. Dalam hal ini, M menunjukkan tingkat kedatangan mengikuti distribusi probabilitas Poisson. Tanda kedua menunjukkan distribusi tingkat pelayanan. Tanda ketiga menunjukkan jumlah fasilitas pelayanan dalam sistem. Tanda keempat dan kelima ditambahkan untuk menunjukkan apakah sumber populasi dan kepanjangan antrian adalah tak-terbatas (I) atau terbatas (F).

Ada 4 model struktur antrian dasar yang umum terjadi dalam seluruh sistem antrian : 1. Single Channel – Single Phase

Single Channel berarti hanya ada satu jalur yang memasuki system pelayanan atau ada satu fasilitas pelayanan. Single Phase berarti hanya ada satu pelayanan.

2. Single Channel – Multi Phase

Istilah Multi Phase menunjukkan ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakan secara berurutan (dalam phasephase). Sebagai contoh : pencucian mobil.

3. Multi Channel – Single Phase

Sistem Multi Channel – Single Phase terjadi kapan saja di mana ada dua atau lebih fasilitas pelayanan dialiri oleh antrian tunggal, sebagai contoh model ini adalah antrian pada teller sebuah bank.

4. Multi Channel – Multi Phase

Sistem Multi Channel – Multi Phase Sebagai contoh, herregistrasi para mahasiswa di universitas, pelayanan kepada pasien di rumah sakit mulai dari pendaftaran, diagnosa, penyembuhan sampai pembayaran. Setiap sistem – sistem ini mempunyai beberapa fasilitas pelayanan pada setiap tahapnya (Subagyo, 2000).

antara satu pertunjukan dengan pertunjukan berikutnya. Sehingga pada saat loket ditutup, mekanisme pelayanan terhenti dan petugas pelayanan (pelayan) istirahat.

 Kapasitas pelayanan

Kapasitas dari mekanisme pelayanan diukur berdasarkan jumlah langganan yang dapat dilayani secara bersama – sama. Kapasitas pelayanan tidak selalu sama untuk setiap saat; ada yang tetap, tapi ada juga yang berubah – ubah. Karena itu, fasilitas pelayan atau mekanisme pelayanan dapat terdiri dari satu atau lebih pelayan, atau satu atau lebih fasilitas pelayanan. Tiap – tiap fasilitas pelayanan kadang – kadang disebut sebagai saluran (channel) (Schroeder, 1997). Contohnya, jalan tol dapat memiliki beberapa pintu tol. Mekanisme pelayanan dapat hanya terdiri dari satu pelayan dalam satu fasilitas pelayanan yang ditemui pada loket seperti pada penjualan tiket di gedung bioskop.Fasilitas yang mempunyai satu saluran disebut saluran tunggal atau sistem pelayanan tunggal dan fasilitas yang mempunyai lebih dari satu saluran disebut saluran ganda atau pelayanan ganda.

 Karakteristik Waktu Pelayanan/ Lamanya pelayanan

Lamanya pelayanan adalah waktu yang dibutuhkan untuk melayani seorang langganan atau satu – satuan. Ini harus dinyatakan secara pasti. Oleh karena itu, waktu pelayanan boleh tetap dari waktu ke waktu untuk semua langganan atau boleh juga berupa variabel acak. Umumnya dan untuk keperluan analisis, waktu pelayanan dianggap sebagai variabel acak yang terpencar secara bebas dan sama serta tidak tergantung pada waktu kedatangan (Siagian, 1987) dan diasumsikan mengikuti distribusi eksponensial.

3. Exit

Setelah pelanggan dilayani, ada dua kemungkinan kondisi pelanggan itu keluar sistem: 1) pelanggan mungkin kembali ke populasi sumber dan mengantri lagi, Misalnya, sebuah mesin setelah mendapat perawatan servis dan dioperasikan lagi, namun ternyata mesin tersebut rusak lagi.atau 2) pelanggan hanya kemungkinan kecil untuk mendapat pelayanan ulang. Misalnya sebuah mesin mendapat perbaikan menyeluruh atau modifikasi sehingga kemungkinan kecil mesin tersebut dalam waktu dekat untuk rusak lagi.

6.4. Perilaku Biaya Antrian

Ada dua jenis biaya yang timbul. Yaitu biaya karena orang mengantri, dan di sisi lain biaya karena menambah fasilitas layanan. Biaya yang terjadi karena orang mengantri, antara lain berupa waktu yang hilang karena menunggu. Sementara biaya menambah fasilitas layanan berupa penambahan fasilitas layanan serta gaji tenaga kerja yang memberi pelayanan. Tujuan dari sistem antrian adalah meminimalkan biaya total, yaitu biaya karena mengantri dan biaya karena menambah fasilitas layanan.

6.5. Mengelola Antrian Pendekatan Kualitatif

Berikut ini beberapa saran yang dapat diaplikasikan dalam mengelola antrian sebelum memutuskan menambah fasilitas:

Menentukan waktu tunggu yang masih dapat diterima oleh pelanggan. Susun tujuan operasional didasarkan pada apa yang dapat diterima oleh pelanggan

1. Mencoba mengalihkan perhatian pelanggan ketika menunggu, misalnya dengan menyediakan TV, Bacaan, pemutaran film atau yang lain untuk membantu pelanggan tidak terfokus pada kenyataan bahwa mereka menunggu lama.

2. Menginformasikan kepada pelanggan tentang apa yang sedang terjadi dan apa yang sedang diupayakan oleh manajemen untuk solusi. Hal ini perlu dilakukan khususnya ketika waktu tunggu lebih lama dari normal karena pelanggan yang sudah menunggu lama dan tidak mengerti apa yang sedang terjadi akan membuat mereka gelisah. 3. Menjaga agar karyawan tidak terlihat oleh pelanggan sedang menganggur atau

mengerjakan pekerjaan lain atau bekerja lambat. Bagaimanapun, tidak ada yang membuat pelanggan menajdi begitu frustasi ketika mereka sedang mengantri lama dan di sisi lain mereka melihat para karyawan malah duduk-duduk santai atau terlihat kurang gesit.

4. Mensegmentasi pelanggan. Misalnya bila ada sekelompok pelanggan yang membutuhkan sesuatu yang dapat dilayani dengan cepat, maka ada baikn ya buat

mengendalikan perasaan negatif selama menunggu. Akan lebih baik bila diberi arahan yang spesifik dari pada sekedar meminta mereka bersikap friendly, misalnya dengan meminta mereka tersenyum saat memberi salam kepada pelanggan.

6. Mendorong pelanggan untuk datang pada saat waktu longgar/ sepi. Berikan informasi yang lengkap kepada pelanggan tentang saat-saat yang biasanya luang sehingga mereka bisa datang dan tidak perlu mengantri.Beri tahu kapan saat-saat padat pelanggan dan kapan saat sepi pelanggan.

7. Mengupayakan pemecahan jangka panjang dalam mengatasi masalah antrian. Perlu mengembangkan rencana cara laternatif untuk melayani pelanggan misalnya dengan mempersingkat prosedur, mengembangkan metode kerja yang lebih cepat dan lain-lain. (Hendra Poerwanto G)