BAB IV BILANGAN RANDOM
4.1. Sekilas Tentang Bilangan Random
Bilangan acak adalah bilangan sembarang tetapi tidak sembarangan. Kriteria yang harus dipenuhi, yaitu :
Bilangan acak harus mempunyai distribusi serba sama uniform
Beberapa bilangan acak yang diambil harus mempunyai peluang terambil sama besar.
Masing-masing bilangan acak tidak saling tergantung atau independence
Teknik Simulasi dan Pemodelan Ellbert Hutabri, M.Kom
Bilangan acak ini disimbolkan dengan U, dan nilainya dari 0 sampai dengan 1, maka dinyatakan dalam U0,1. Berbagai cara untuk mendapatkan bilangan acak, bisa dengan
tabel bilangan acak, komputer misal dengan Ms. Excel atau menggunakan metode bilangan acak.
4.2. Metode untuk mendapatkan bilangan acak
1. Metode Kongruen Campuran Rumus :
Z
i
= aZ
i-1
+ c mod m Dengan
a : konstanta pengali a m c : konstanta pergeseran c m
m : konstanta modulus 0 Z
: bilangan awal bilangan bulat ≥ 0 , Z m
U
i
: bilangan acak ke i dan U
i
0,1 = Z
i
m
Teknik Simulasi dan Pemodelan Ellbert Hutabri, M.Kom
Kita lihat pada tabel , U
17
mempunyai nilai yang sama dengan U
1
. Jika kita menginginkan bilangan acak dalam jumlah yang banyak, maka nilai m hendaknya
sebesar 2
b
dengan b adalah jumlah bit pada komputer yang akan digunakan. 2. Metode Multiplikatif
Rumus : Z
i
= aZ
i-1
mod m Dengan
a : konstanta pengali m : konstanta modulus
Z : bilangan awal
U
i
: bilangan acak ke i dan U
i
0,1 = Z
i
m
4.3. Pembangkit Bilangan Random
Bilangan Acak yang akan dipergunakan dalam simulasi, harus mempunyai pola yang sama dengan pola data pengamatan. Dikarenakan hal diatas, maka dari bilangan acak yang didapat
harus dibangkitkan bilangan acak yang sesuai pola distribusi.
Teknik Simulasi dan Pemodelan Ellbert Hutabri, M.Kom
Distribusi Diskrit a. Distribusi prob uniform diskrit
Algoritma 1. Bangkitkan U0,1
2. Dapatkan X = a+b-a+1U
Contoh Sebuah perusahaan bakery membuat suatu kelompok jenis donat yang dijual ke toko-
toko dengan distribusi diskrit uniform dengan kebutuhan harian maksimum 100 unit dan minimum 40 unit.
Tentukan bilangan acak dari distribusi diskrit uniform dengan a = 77 z = 12357 dan
m = 128
b. Distribusi Poisson Algoritma
Teknik Simulasi dan Pemodelan Ellbert Hutabri, M.Kom
1. Hitung a=
e
− λ
, b =1 dan i =0 2. Bangkitkan U
i+1
= U0,1 3. Ganti b = bU
i+1
4. Jika ba maka dapatkan X = i dan jika tidak lanjutkan ke langkah 5 5. Ganti i = i+1 kembali ke langkah 2
Contoh: Suatu kejadian berdistribusi poisson dengan rata-rata 3 kejadian perjam dan terjadi
selama periode waktu 1,4 jam. Tentukan bilangan acak dari distribusi poisson dengan a = 17 z
= 12357 dan m = 1237
Teknik Simulasi dan Pemodelan Ellbert Hutabri, M.Kom
c. Distribusi Binomial Metode transformasi dari distribusi binomial
Dengan mempergunakan fungsi densitas binomial yang dinyatakan dengan :
Teknik Simulasi dan Pemodelan Ellbert Hutabri, M.Kom
f k = n
k p
k
1−p
n−k
, k = 0,1, 2 .. n
Fx =
∑
k=0 x
f k
Contoh Dari suatu distribusi binomial, diketahui p =0,5 dan n =2.
Tentukan bilangan acak dari distribusi binomial dengan a = 77 z = 12357 dan m =
127.
Teknik Simulasi dan Pemodelan Ellbert Hutabri, M.Kom
d. Distribusi Geometri Algoritma
1. Bangkitkan U0,1 2. Dapatkan X = lnUln1-p
Contoh Pada seleksi karyawan baru sebuah perusahaan terdapat 30 pelamar yang sudah
mempunyai keahlian komputer tingkat advance dalam pembuatan program. Para pelamar diinterview secara insentif dan diseleksi secara acak.
Teknik Simulasi dan Pemodelan Ellbert Hutabri, M.Kom
Tentukan bilangan acak dengan a = 43, m = 1237 dan z = 12357.
Distribusi Kontinu a. Distr probabilitas uniform kontinu
Algoritma 1. Bangkitkan U0,1
2. Dapatkan X = a+b-aU
Contoh Pada suatu sentra telpon ternyata distribusi pelayanan telponnya berdistribusi
uniform kontinu dengan minimal waktu 3 menit dan maksimal 5 menit. Tentukan bilangan dengan a = 173 z
= 12357 dan m = 1237.
Teknik Simulasi dan Pemodelan Ellbert Hutabri, M.Kom
b. Distribusi Eksponensial Algoritma
1. Bangkitkan U0,1 2. Dapatkan X =
− β lnU
Dengan
β
rata-rata dengan nilai 0 Contoh
Pada suatu sentra telpon ternyata distribusi penerimaan telponnya berdistribusi eksponensial dengan mean = 0,1 menit. Tentukan bilangan 10 acak dengan a = 173
z = 12357 dan m = 1237.
Teknik Simulasi dan Pemodelan Ellbert Hutabri, M.Kom
c. Distribusi Normal Algoritma
1. Bangkitkan U
1
,U
2
= U0,1 2. Hitung V
1
= 2U
1
-1 dan V
2
= 2U
2
-1 3. Hitung W = V
1 2
+ V
2 2
4. Jika W 1 maka kembali ke langkah 1 dan jika tidak lanjutkan ke langkah 5 5. Hitung
Y=
√
− 2lnW W
6. Dapatkan X
1
= V
1
Y dan X
2
=V
2
Y 7.
X =μ +X
i
σ
Contoh Sebuah rumah sakit berniat mempelajari penggunaan suatu alat pada ruang
emergency. Jika diketahui bahwa lamanya seorang pasien yang di’treat’ menggunakan alat tsb berdistribusi normal dgn mean 0.8 jam dan standard deviasi
0.2 jam, tentukan bilangan acak yang mewakili lamanya penggunaan alat tersebut oleh 6 orang pasien.
Teknik Simulasi dan Pemodelan Ellbert Hutabri, M.Kom
d. Distribusi Gamma Algoritma
1. b=e+αe 2. Bangkitkan U
1
= U0,1 3. Hitung P= bU
1
4. Jika P 1 maka lanjut ke langkah 7 dan jika tidak lanjutkan ke langkah 4 5. Hitung Y =
P
1 α
6. Bangkitkan U
2
= U0,1 7. Jika U ≤
e
− Y
maka X=Y dan jika tidak kembali ke langkah 1 8. Hitung Y = - ln[b-pα]
9. Bangkitkan U
2
= U0,1 10. Jika U
2
≤
Y
1−α
maka X = Y dan jika tidak kembali ke langkah 1
Teknik Simulasi dan Pemodelan Ellbert Hutabri, M.Kom
BAB V SIMULASI MONTE CARLO
5.1. Sejarah Metode Monte Carlo
Istilah monte carlo dalam simulasi diperkenalkan oleh Compte de Buffon pada tahun 1977 dan pemakaiannya pada sistem nyata dimulai selama perang dunia II, diperkenalkan
oleh S. Ulam dan J. Von Neumann pada Los Alamos Scientific Laboratory. Untuk merancang pelindung nuklir mereka membutuhkan data-data tentang jarak yang dapat
ditembus oleh neutron pada berbagai material. Masalah ini sangat sulit untuk dipecahkan secara analitis dan terlalu rumit untuk dipecahkan dengan eksperimen. Mereka
menyelesaikan persoalan tersebut denagn komputer, dengan mempergunakan bilangan random. Metode ini dinamakan Monte Carlo, karena dasarnya seperti permainan judi
roulette sedangkan monte carlo adalah kota judi terbesar di dunia. Metode Monte Carlo digunakan dengan istilah sampling statistik. Penggunaan nama
Monte Carlo , yang dipopulerkan oleh para pioner bidang tersebut termasuk
Stanislaw Marcin Ulam
, Enrico Fermi
, John von Neumann
dan Nicholas Metropolis
, merupakan nama
kasino terkemuka di
Monako . Penggunaan
keacakan dan sifat pengulangan proses
Teknik Simulasi dan Pemodelan Ellbert Hutabri, M.Kom
mirip dengan aktivitas yang dilakukan pada sebuah kasino. Dalam autobiografinya Adventures of a Mathematician,
Stanislaw Marcin Ulam menyatakan bahwa metode tersebut
dinamakan untuk menghormati pamannya yang seorang penjudi, atas saran Metropolis. Penggunaannya yang cukup dikenal adalah oleh
Enrico Fermi pada tahun
1930 ,
ketika ia menggunakan metode acak untuk menghitung sifat-sifat neutron
yang waktu itu baru saja ditemukan. Metode Monte Carlo merupakan simulasi inti yang digunakan dalam
Kategori