C. Transformasi Laplace
Definisi 5.
Misalkan adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada interval
[0, ∞. Transformasi Laplace dari f adalah suatu fungsi Fs yang
didefinisikan dengan integral
t f
∫
∞ −
= dt
t f
e s
F
st
, 14
dengan daerah asal F adalah semua nilai dari s sedemikian hingga integral dari 14 ada. Fungsi asal dinyatakan dengan huruf kecil dan transformasi
Laplacenya dengan huruf yang sama tetapi huruf besar. Transformasi Laplace dari f dinotasikan dengan F atau L{f}. Selanjutnya fungsi asal ft adalah
invers dari Fs dan dinotasikan dengan
= t
f
L
-1
{Fs} Hutahean, 1993. Jika
L
{f}=Fs maka ft disebut invers transformasi Laplace dari Fs dan secara simbolis ditulis:
ft=
L
-1
{Fs}, dengan
L
-1
disebut operator invers transformasi Laplace.
Definisi 6.
Suatu fungsi ft dikatakan kontinu bagian demi bagian pada suatu selang jika f kontinu di sejumlah hingga titik pada selang tersebut
Hutahean, 1993. Dari pengertian tersebut berarti selang yang dimaksud dapat dibagi
menjadi sejumlah hingga sub selang sehingga f kontinu pada setiap sub
selang yang terjadi, jadi suatu fungsi ft kontinu pada [0, ∞ jika f kontinu
pada selang [0,N untuk semua .
N
Definisi 7.
Suatu fungsi ft dikatakan berorde eksponensial jika
terdapat konstanta tak negatif M dan T sehingga ∞
→ t
t
Me t
f
α
≤ untuk semua
Hutahean, 1993. T
t ≥
Teorema 2.
Diketahui f
1
dan f
2
suatu fungsi-fungsi. Jika transformasi Laplace dari f
1
dan f
2
ada dan c merupakan suatu konstanta maka: i
L
= + }
{
2 1
f f
L
+ }
{
1
f
L
; }
{
2
f ii
L L
. c
cf =
} {
1
} {
1
f Bukti:
i Jelas
L
. =
+ } {
2 1
f f
∫
∞ −
+
2 1
dt t
f f
e
st
L
⇔ =
+ } {
2 1
f f
∫
∞ −
−
+
2 1
dt e
t f
e t
f
st st
L
⇔ =
+ } {
2 1
f f
∫ ∫
∞ ∞
− −
+
2 1
dt e
t f
dt e
t f
st st
L L
⇔ =
+ } {
2 1
f f
+ }
{
1
f
L
. }
{
2
f
ii Jelas
L
.
∫
∞ −
=
1 1
} {
dt t
cf e
cf
st
L
⇔
∫
∞ −
=
1 1
} {
dt t
f c
e cf
st
L
⇔
∫
∞ −
=
1 1
} {
dt t
f e
c cf
st
L L
. ⇔
c cf
= }
{
1
} {
1
f Akibatnya, invers transformasi Laplace jika ada adalah linier.
Bukti: Tulis
L
=
1
t f
-1
} {
1
s F
dan =
2
t f
L
-1
. }
{
2
s F
a Jelas
L
-1
} {
2 1
2 1
t f
t f
s F
s F
+ =
+ .
L
⇔
-1
= +
} {
2 1
s F
s F
L
-1
} {
1
s F
+
L
-1
} {
2
s F
. b
Jelas
L
-1
} {
1
s cF
1
t cf
= .
L
⇔
-1
} {
1
s cF
c =
L
-1
} {
1
s F
. Jadi
L
-1
adalah linier.
D. Maple
Kategori