BAB II LANDASAN TEORI
A. Persamaan Diferensial Biasa
Persamaan diferensial adalah persamaan yang mengandung turunan-turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui, yang dinamakan
dan yang akan ditentukan persamaan tersebut Hutahean, 1993.
x y
Sebagai contoh, jika laju pertumbuhan suatu populasi manusia, hewan, bakteri, dan sebagainya
dx dy
y =
= x
waktu sama dengan populasi , maka model populasi tersebut adalah
x y
y y
=
, yaitu persamaan diferensial.
Persamaan diferensial biasa diartikan sebagai suatu persamaan yang melibatkan turunan pertama atau lebih dari fungsi sembarang y terhadap
peubah x; persamaan ini dapat pula melibatkan y itu sendiri, fungsi x yang diberikan dan konstanta.
Contoh: 1.
,
x y
cos =
2. ,
4 =
+ y y
3. .
2 2
2
2 2
y x
y e
y y
x
x
+ =
+ Persamaan diferensial biasa dibagi menjadi dua bagian, yakni
persamaan diferensial linear orde satu dan persamaan diferensial linear orde
7
dua. Persamaan diferensial banyak sekali dikembangkan dalam matematika teknik.
1.
Persamaan Diferensial Linear Orde Satu Definisi 1.
Persamaan Diferensial Orde Satu secara umum dinyatakan sebagai
, ,
= y
y x
F
. Jika
dx dy
y =
, maka dapat ditulis
, ,
= y
y x
F
, ,
= dx
dy y
x F
. 1
Persamaan 1 merupakan persamaan dari persamaan diferensial yang dinyatakan secara implisit. Persamaan 1 dapat dinyatakan secara
eksplisit sebagai
, y
x f
dx dy =
. 2
Contoh: Persamaan diferensial implisit:
. 2
= −
+
x
e y
y Persamaan diferensial eksplisit:
x dx
dy y
=
.
2. Solusi Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
Suatu fungsi
x y
y =
dinyatakan solusi persamaan diferensial apabila
, ,
= y
y x
F x
y y
=
atau turunannya yakni memenuhi
persamaan diferensial tersebut.
y
Contoh:
1
2
+ = x
y adalah solusi persamaan diferensial
x y
2 =
. Demikian pula
untuk c adalah konstanta, merupakan solusi persamaan diferensial
c x
y +
=
2
x y
2 =
. Solusi disebut solusi khusus
dan disebut solusi umum.
1
2
+ = x
y c
x y
+ =
2
3. Persamaan Diferensial Linear Orde Dua
Definisi 2.
Persamaan diferensial berbentuk disebut
persamaan diferensial orde dua, dimana
, ,
, =
y y
y x
f
dx dy
y =
dan
2 2
dx y
d y
=
Hutahean, 1993. Contoh:
1. merupakan persamaan diferensial orde dua,
sin tan
1
2
= −
+ +
x y
x y
y x
2.
2 sin
= +
+ −
+ x
y xy
xy xy
bukan merupakan persamaan diferensial orde dua.
Definisi 3.
Bila
, ,
, =
y y
y x
f
linear dalam y, y’, dan y” maka persamaan diferensial
, ,
, =
y y
y x
f
disebut persamaan diferensial linear orde dua. Secara umum persamaan diferensial orde dua berbentuk:
x g
y x
c y
x b
y x
a =
+ +
; 3
dimana koefisien-koefisien dan fungsi
merupakan fungsi-fungsi yang kontinu di dalam selang
, x
a ,
x b
, x
c x
g
b x
a ≤
≤ dengan
di dalam selang ini Hutahean, 1993.
≠ x
a
Definisi 4.
Persamaan diferensial linear orde dua 3 disebut homogen apabila
dan disebut tidak homogen apabila
= x
g ≠
x g
Hutahean, 1993. Contoh:
1. Persamaan diferensial
3 sin
= +
+ y
x y
xy
adalah persamaan diferensial linear orde dua homogen karena
= x
g
. 2.
Persamaan diferensial adalah persamaan
diferensial linear orde dua tak homogen karena .
x y
y x
xy sin
4
2
= +
+
≠ x
g
4. Solusi Persamaan Diferensial Linear Orde Dua
Fungsi
x
ϕ dikatakan solusi persamaan diferensial 3 pada
selang I, apabila
x
ϕ mempunyai turunan kedua dan memenuhi
hubungan 3 pada selang I, yakni
x g
x x
c x
x b
x x
a =
+ +
ϕ ϕ
ϕ untuk setiap
. I
x ∈
Sekarang perhatikan persamaan diferensial linear orde dua homogen
= +
+ y
x c
y x
b y
x a
. 4
Teorema 1.
Misalkan
x
ϕ solusi persamaan diferensial 4 pada selang I maka
x
αϕ juga merupakan solusi persamaan diferensial 4 untuk setiap
ℜ ∈
α .
Bukti: Tulis
x y
αϕ
=
dimana α suatu konstanta.
Jelas
x y
αϕ
=
dan
x y
αϕ
=
. Jelas
x x
c x
x b
x x
a
αϕ αϕ
αϕ
+ +
. Jelas
] [
= =
+ +
α ϕ
ϕ ϕ
α
x x
c x
x b
x x
a
. Jadi
x
αϕ juga solusi persamaan diferensial 4.
5. Persamaan Diferensial Linear Orde Dua Homogen dengan Koefisien
Konstanta
Perhatikan persamaan diferensial yang berbentuk
= +
+ qy
py y
, 5
dimana p dan q konstanta-konstanta. Intuisi merupakan solusi
persamaan diferensial 5 dengan m memenuhi persamaan tersebut. Untuk itu akan dicari m agar
merupakan solusi persamaan diferensial 5. Dari
diperoleh dan
sehingga jika dan
disubstitusikan ke persamaan 5 didapat persamaan .
mx
e y
=
mx
e y
=
mx
e y
=
mx
me y
=
mx
e m
y
2
=
, y
, y
y
2 2
= +
+ ⇔
= +
+
mx mx
mx mx
e q
pm m
qe mpe
e m
Dengan demikian dikatakan suatu solusi dari persamaan
diferensial 5, jika m merupakan penyelesaian dari persamaan kuadrat . Dan karena
, untuk setiap m dan x, maka .
6
mx
e y
=
2
= +
+ q
pm m
≠
mx
e
2
= +
+ q
pm m
Persamaan disebut persamaan karakteristik dari persamaan diferensial 5 dan akar-akarnya disebut akar-akar
karakteristik. Akar-akarnya adalah
2
= +
+ q
pm m
4 2
1
2 1
b a
a m
− +
− =
dan
4 2
1
2 2
b a
a m
− −
− =
. Dari perhitungan di atas jelas bahwa
dan merupakan solusi dari persamaan diferensial
x m
e y
1
1
=
x m
e y
2
2
=
= +
+ qy
py y
. Dari aljabar matematika dapat diketahui bahwa, karena a dan b
merupakan bilangan real, maka akar-akar dari persamaan karakteristik terbagi dalam tiga kasus, yaitu: dua akar berbeda, dua
akar sama, dan dua akar kompleks.
2
= +
+ q
pm m
1. Akar real berlainan berbeda
Bila m
1
dan m
2
dua akar real berbeda maka dan
adalah solusi yang bebas linear sehingga
merupakan solusi umum persamaan diferensial 5.
x m
e
1
x m
e
2
x m
x m
Be Ae
y
2 1
+ =
Contoh: Perhatikan persamaan diferensial
2 3
= +
− y
y y
. Persamaan karakteristiknya adalah
dan akar-akarnya
2 3
2
= +
− m m
1 2
= −
− m
m
. Jadi 1
1
= m
dan 2
2
= m
merupakan akar real berbeda maka solusi umumnya adalah
.
x x
Be Ae
y
2
+ =
2. Kedua akar sama
Misalkan kedua akar persamaan sama, yakni
, maka adalah salah satu solusi persamaan
diferensial 5. Bila
2
= +
+ q
pm m
a m
m =
=
2 1
ax
e x
=
1
φ
1 2
x x
W x
φ φ
= solusi lainnya, maka
dx e
e x
W
pxdx ax
∫
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
∫ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
− 2
1
∫
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
=
−
dx e
e
px ax
2
1
.
Karena a
m m
= =
2 1
adalah akar persamaan , maka
2
= +
+ q
pm m
p a
m m
− =
= +
2
2 1
. Jadi
∫ ∫
= =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
= x
dx dx
e e
x W
ax ax
2 2
1
.
Hal tersebut memberikan dimana
ax
xe x
x x
x =
⇒ =
2 1
2
φ φ
φ
1
φ dan
2
φ bebas linear. Jadi solusi umum persamaan diferensial adalah
.
= +
+ qy
py y
ax ax
ax
e Bx
A Bxe
Ae y
+ =
+ =
Contoh: Misalkan persamaan diferensial
4 4
= +
− y
y y
. Tentukan solusi persamaan diferensial di atas.
Penyelesaian: Jelas
merupakan persamaan karakteristik.
4 4
2
= +
− m m
Jelas .
2 =
− m
Jelas 2
2 1
= = m
m .
Jadi suatu solusi umum persamaan diferensial
.
x
e Bx
A y
2
+ =
4 4
= +
− y
y y
3. Akar kompleks
Misalkan salah satu akar persamaan adalah
2
= +
+ q
pm m
β α +
=
1
m i, maka akar yang lain yakni
β α −
=
1
m i, sehingga
dan adalah solusi basis
untuk persamaan diferensial
x i
x m
e e
x
1
1
β α
φ
+
= =
x i
x m
e e
x
2
2
β α
φ
−
= =
= +
+ qy
py y
. Jadi solusi umum persamaan diferensial tersebut adalah:
x i
x i
e c
e c
y
2 1
β α
β α
− +
+ =
xi x
xi x
e e
c e
e c
β α
β α
−
+ =
2 1
sin cos
sin cos
2 1
x i
x e
c x
i x
e c
x x
β β
β β
α α
− +
+ =
. }
sin cos
{
2 1
2 1
x i
c c
x c
c e
x
β β
α
− +
+ =
Dengan mengambil A
c c
= +
2 1
dan B
c c
i =
−
2 1
maka solusi umum persamaan diferensial tersebut adalah
. }
sin cos
{ x
B x
A e
y
x
β β
α
+ =
B. Persamaan Diferensial Parsial
Kategori