BAB IV PEMBAHASAN
A. Pemodelan Persamaan Konduksi Panas Dimensi Satu
Perhatikan suatu batang kawat tipis dengan ukuran panjang hingga yang diisolasi dengan irisan melintangnya diasumsikan konstan dan terbuat
dari bahan homogen serta terletak pada sumbu X. Didefinisikan adalah
suhu pada titik x dan waktu t dalam batang kawat tersebut. Ujung-ujung kawat dan
lihat gambar 1.
, t
x u
x
1
x
ux,t isolator
x
o
x
1
X t
Gambar 1. Sketsa Batang Kawat pada Sumbu X
1. Identifikasi Besaran yang Terlibat
Identifikasi besaran yang terlibat pada pemodelan di atas dapat dilihat dalam tabel 1.
24
Tabel 1. Identifikasi Besaran yang Terlibat Besaran yang terlibat
Lambang Satuan
VarKons Waktu
Panjang kawat Suhu kawat
Aliran panas Energi masuk
Energi keluar Energi yang diserap
t x
, t
x u
qx,t qx,t.
Δt qx+
Δx,t+ΔtΔt k[ux+
Δx,t+Δt-ux,t]Δx det
m
o
C Kg.m.s
-3
Kg.m.s
-2
Kg.m.s
-2
2
. .
−
s m
Kg Var
Var Var
Var Var
Var Var
2. Hukum yang Mengendalikan
Persamaan konduksi panas sederhana dikarakterisasikan oleh hukum di bawah ini.
1. Panas mengalir dari tempat yang lebih panas ke tempat yang lebih
dingin. 2.
Energi yang masuk sama dengan energi keluar ditambah dengan energi yang diserap.
3. Energi berbanding lurus dengan laju perubahan suhu persatuan
panjang Hukum Fourier pada hantaran panas.
3. Model Matematika
Jelas energi masuk:
t t
x q
Δ ,
; energi keluar:
t t
t x
x q
Δ Δ
+ Δ
+ ,
;
energi yang diserap:
x t
x u
t t
x x
u k
Δ −
Δ +
Δ +
] ,
, [
. Jadi
t t
x q
Δ ,
t t
t x
x q
Δ Δ
+ Δ
+ =
, x
t x
u t
t x
x u
k Δ
− Δ
+ Δ
+ +
] ,
, [
− ⇔
, t
x q
t t
t x
x q
Δ Δ
+ Δ
+ ,
x t
x u
t t
x x
u k
Δ −
Δ +
Δ +
= ]
, ,
[
1
t t
x u
t t
x x
u k
x t
t x
x q
t x
q Δ
− Δ
+ Δ
+ =
Δ Δ
+ Δ
+ −
⇔ ]
, ,
[ ,
,
1
t t
x u
t t
x x
u k
x t
t x
x q
t x
q
t x
Δ −
Δ +
Δ +
= Δ
Δ +
Δ +
− ⇔
→ Δ
→ Δ
] ,
, [
lim ,
, lim
1
t u
k x
q ∂
∂ =
∂ ∂
− ⇔
1
. Sesuai dengan hukum Fourier yang menyatakan bahwa energi berbanding
lurus dengan laju perubahan panas terhadap x, maka diperoleh
x u
t x
q ∂
∂ −
=
α
,
, α
tanda negatif pada hukum Fourier menunjukkan bahwa panas mengalir dari tempat yang lebih panas ke tempat yang lebih dingin.
Jadi
t u
k x
u x
∂ ∂
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ∂
∂ −
∂ ∂
−
1
α
t u
k x
u ∂
∂ =
∂ ∂
⇔
1 2
2
α
t u
k x
u ∂
∂ =
∂ ∂
⇔ α
1 2
2
2 2
x u
k t
u ∂
∂ =
∂ ∂
⇔ ,
k k
=
1
α
2 2
2
x u
c t
u ∂
∂ =
∂ ∂
⇔ ,
. 1
2
c k
=
Persamaan ini disebut dengan persamaan konduksi panas dimensi satu. Konstanta k dinamakan difusitas yang sama dengan σρ
K dengan
konduktifitas termal K, panas jenis σ, dan kerapatan ρ diandaikan konstan.
Distribusi temperatur pada saat awal, yaitu saat ,
= t
, x
f x
u =
, I
x ∈
Syarat batas dapat ditentukan pada kedua ujung batang kawat yaitu
dan . Misalnya temperatur pada ujung-ujungnya adalah
, diperoleh syarat batas Dirichlet:
= x
l x
=
t f
⎩ ⎨
⎧ =
= ,
, ,
, t
t f
t l
u t
t f
t u
.
Jika ujung batang kawat diisolasi, maka
, =
∂ ∂
x t
x u
. Dan jika panas yang mengalir
proporsional terhadap pergantian temperatur pada ujung batang kawat
, t
x q
x t
x u
∂ ∂
,
, maka menurut hukum Fourier konduksi panas
dimensi satu
x t
x u
k t
x q
∂ ∂
− =
, ,
, sehingga diperoleh syarat batas Neumann:
⎪ ⎪
⎩ ⎪⎪
⎨ ⎧
− =
∂ ∂
− =
∂ ∂
, ,
, ,
, t
k t
l q
x t
l u
t k
t q
x t
u .
Jika pergantian temperatur pada ujung batang kawat
x t
x u
∂ ∂
,
proporsional terhadap temperatur , maka diperoleh syarat batas
Campuran:
, t
x u
⎪ ⎪
⎩ ⎪⎪
⎨ ⎧
= +
∂ ∂
= +
∂ ∂
, ,
, ,
, ,
2 1
t x
f t
l u
x t
l u
t x
f t
u x
t u
β α
,
dimana α, β adalah suatu konstanta yang diberikan.
B. Penyelesaian Persamaan Diferensial Parsial dengan Transformasi
Kategori