Penyelesaian Persamaan Diferensial Parsial dengan Transformasi Penyelesaian Umum

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = + ∂ ∂ = + ∂ ∂ , , , , , , 2 1 t x f t l u x t l u t x f t u x t u β α , dimana α, β adalah suatu konstanta yang diberikan.

B. Penyelesaian Persamaan Diferensial Parsial dengan Transformasi

Laplace Interval setengah tak terbatas pada kasus parabolik Diketahui persamaan konduksi panas 2 2 2 x u c t u ∂ ∂ = ∂ ∂ . Pada kondisi awal , x f x u = , diketahui syarat batasnya adalah: x , , t g x t u t u = ∂ ∂ + β α ; t dengan α,β suatu konstanta yang diberikan. Diketahui 2 2 2 x u c t u ∂ ∂ = ∂ ∂ ⇔ L = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∂ ∂ , t x t u L ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∂ ∂ , 2 2 2 t x x u c , k c = 2 ⇔ L = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∂ ∂ , t x t u kL ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∂ ∂ , 2 2 t x x u ⇔ 2 2 , ~ , , ~ dx s x u d k x u s x u s = − ⇔ k x u s x u k s dx s x u d , , ~ , ~ 2 2 − = − . 2 Substitusikan kondisi awal ke persamaan 2, sehingga diperoleh: k x f s x u k s dx s x u d , ~ , ~ 2 2 − = − , 3 dengan syarat batas: , , t g x t u t u = ∂ ∂ + β α ⇔ L = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∂ ∂ + x t u t u , , β α L { } t g ⇔ L { } + , t u α L = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∂ ∂ x t u , β L { } t g ⇔ αL { } + , t u βL = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∂ ∂ x t u , L { } t g ⇔ ~ , ~ , ~ s g dx s u d s u = + β α . 4 Interval terbatas pada kasus parabolik Persamaan konduksi panas dimensi satu: , , 2 2 t x x u k t x t u ∂ ∂ = ∂ ∂ , l x , 5 t pada kondisi awal , x f x u = , l x diketahui syarat batasnya adalah: , , 1 t g x t u t u = ∂ ∂ + β α ; ; α,β konstanta, 6 t , , 2 t g x t l u t l u = ∂ ∂ + β α ; ; α,β konstanta. 7 t Dengan mentransformasi persamaan 5 diperoleh persamaan yang sama dengan persamaan 2. Dan dengan substitusi dari kondisi awal ke persamaan 2 diperoleh persamaan yang sama dengan persamaan 3, dengan syarat batas: , , 1 t g x t u t u = ∂ ∂ + β α ⇔ L = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∂ ∂ + x t u t u , , β α L { } 1 t g ⇔ L { } + , t u α L = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∂ ∂ x t u , β L { } 1 t g ⇔ αL { } + , t u βL = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∂ ∂ x t u , L { } 1 t g ⇔ ~ , ~ , ~ 1 s g dx s u d s u = + β α , dan 8 , , 2 t g x t l u t l u = ∂ ∂ + β α ⇔ L = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∂ ∂ + x t l u t l u , , β α L { } 2 t g ⇔ L { } + , t l u α L = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∂ ∂ x t l u , β L { } 2 t g ⇔ αL { } + , t l u βL = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∂ ∂ x t l u , L { } 2 t g ⇔ ~ , ~ , ~ 2 s g dx s l u d s l u = + β α . 9

C. Penyelesaian Umum

Dengan menggunakan transformasi Laplace terhadap t atau x dalam masalah nilai batas pada persamaan diferensial parsial, maka persamaan-persamaan diferensial parsial tersebut dapat ditransformasikan menjadi persamaan diferensial biasa berbentuk: x f y y = + . 10 Sebagai contoh perhatikan persamaan diferensial = + y y . Tulis dan suatu selesaian. 1 x y 2 x y Jadi . ⎩ ⎨ ⎧ = + = + 2 1 2 1 x f x y x B x y x A x y x B x y x A Dengan menyelesaikan A’x dan B’x, diperoleh Ax dan Bx maka penyelesaian persamaan 10 di atas adalah: 2 1 x y x B x y x A x y + = . Jika pada persamaan 10 tersebut berbentuk eksponensial, polinomial dan trigonometri terbatas pada x f α sin dan α cos , maka Ax dan Bx berupa suatu konstanta. Interval setengah tak terbatas pada kasus parabolik Diasumsikan bahwa solusi umum dari persamaan 10 adalah: x m x m e x B e x A x y 2 1 + = . 11 Dengan mengambil persamaan: 2 1 = + x m x m e x B e x A dan 12 2 1 2 1 x f e x B t e x A t x m x m = + , 13 diperoleh: x m e x f m m x A 1 1 1 2 − − − = 1 1 2 1 1 c dx e x f m m x A x m + − − = ⇔ − ∫ , dan 14 x m e x f m m x B 2 1 1 2 − − = 2 1 2 2 1 c dx e x f m m x B x m + − = ⇔ − ∫ . 15 Jika Ax dan Bx dari 14 dan 15 disubstitusikan ke persamaan 11, diperoleh: x m x m x m x m e dx e x f m m c e dx e x f m m c x y 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − + + ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − = ∫ ∫ − − . Dari persamaan 3, akar-akar karakteristik dari persamaan , ~ , ~ 2 2 = − s x u k s dx s x u d adalah k s t = 1 ; k s t − = 2 . Diasumsikan bahwa solusi umum dari persamaan 3 tersebut adalah: x k s x k s e x B e x A s x u − + = , ~ . 16 Dengan mengambil persamaan: ` ` = + − x k s x k s e x B e x A dan k x f e x B k s e x A k s x k s x k s ` ` − = − − . Diperoleh: x k s e k s k x f x A − − = 2 ` 1 2 1 c dx e x f k s k x A x k s + − = ⇔ ∫ − . 17 x k s e k s k x f x B 2 ` = 2 2 1 c dx e x f k s k x B x k s + = ⇔ ∫ . 18 Jika Ax dan Bx dari 17 dan 18 disubstitusikan ke persamaan 16 sehingga diperoleh: x k s x k s x k s x k s e dx e x f k s k c e dx e x f k s k c s x u − − ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ + + ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ − = ∫ ∫ 2 1 2 1 , ~ 2 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + = ∫ ∫ − − − dx e x f e k s k dx e x f e k s k e c e c k s x k s x k s x k s x k s x k s 2 1 2 1 2 1 karena haruslah terbatas bila , t x u ∞ → x maka L harus pula terbatas bila = , ~ s x u } { , t x u ∞ → x , maka harus diperoleh 1 = c , sehingga ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∫ ∫ − − − dx e x f e k s k dx e x f e k s k e c s x u x k s x k s x k s x k s x k s 2 1 2 1 , ~ 2 . Untuk mendapatkan penyelesaian persamaan di atas dengan invers transformasi Laplace, sehingga diperoleh: = , t x u L -1 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ∫ − − dx e x f e k s k e c x k s x k s x k s 2 1 2 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ − dx e x f e k s k x k s x k s 2 1 . 19 Interval terbatas pada kasus parabolik Diasumsikan bahwa solusi umum dari persamaan 10 tersebut adalah: x x B x x A x y sinh cosh + = . 20 Dengan mengambil persamaan: sinh ` cosh ` = + x x B x x A dan cosh ` sinh ` x f x x B x x A = + , diperoleh: x x f x A sinh ` − = x x e e x f x A 1 2 1 ` 2 − − = ⇔ ∫ + + − = ⇔ − 1 2 1 c dx e e x f x A x x 21 x x f B cosh ` = x x e e x f B 1 2 1 ` 2 + = ⇔ ∫ + + = ⇔ − 2 2 1 c dx e e x f x B x x 22 Jika Ax dan Bx dari 21 dan 22 disubstitusikan ke persamaan 20, diperoleh: ⎩ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ + + + ⎭ ⎬ ⎫ + + − = ∫ ∫ − − x c dx e e x f x c dx e e x f x y x x x x sinh 2 1 cosh 2 1 2 1 . Diasumsikan bahwa solusi umum dari persamaan 3 adalah : x k s x B x k s x A s x u sinh cosh , ~ + = . 23 Dengan mengambil persamaan: sinh ` cosh ` = + x k s x B x k s x A dan k x f x k s x B k s x k s x A k s cosh ` sinh ` − = + , sehingga diperoleh: x k s k s k x f x A sinh ` = x k s x k s e k s k e x f x A 2 1 ` 2 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⇔ ∫ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = ⇔ − 1 2 1 c dx e e x f k s k x A x k s x k s . 24 x k s k s k x f x B cosh ` − = x k s x k s e k s k e x f x B 2 1 ` 2 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⇔ 2 2 1 c dx e e x f k s k x B x k s x k s + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − = ⇔ ∫ − . 25 Jika Ax dan Bx dari 24 dan 25 disubstitusikan ke persamaan 23, diperoleh: x k s dx e e x f k s k c s x u x k s x k s cosh 2 1 , ~ 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = ∫ − x k s dx e e x f k s k c x k s x k s sinh 2 1 2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + ∫ − . Untuk mendapatkan penyelesaian persamaan di atas dengan invers transformasi Laplace, sehingga diperoleh: = , t x u L -1 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − ∫ − x k s dx e e x f k s k c x k s x k s cosh 2 1 1 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + ∫ − x k s dx e e x f k s k c x k s x k s sinh 2 1 2 . 26 Contoh 1. Selesaikan masalah nilai batas persamaan konduksi panas pada suatu batang kawat tipis semi infinite dengan temperatur awal dan ujung kawat pada mempunyai temperatur konstan . C o = x o t Penyelesaian: Diketahui 2 2 2 x u c t u ∂ ∂ = ∂ ∂ , , . x t Dipunyai , . , = x u x Jelas k x u s x u k s dx s x u d , , ~ , ~ 2 2 − = − , ~ , ~ 2 2 = − ⇔ s x u k s dx s x u d . Dipunyai . o t t u = , , t Jelas L L = } , { t u } { o t s t s u o = ⇔ , ~ . Jadi x k s x k s e c e c s x u − + = 2 1 , ~ . Tulis . 1 = c Jelas x k s e c s x u − = 2 , ~ . Jadi s t s u o = , ~ 2 , ~ e c s u = ⇔ s t c o = ⇔ 2 . Jadi x k s o e s t s x u − = , ~ . Jadi L = , t x u -1 } , ~ { s x u = ⇔ , t x u L -1 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − x k s o e s t o t t x u = ⇔ , L -1 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − x k s e s 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⇔ kt x erfc t t x u o 2 , . Jadi ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = kt x erfc t t x u o 2 , .

D. Pemrograman Komputer Persamaan Konduksi Panas Dimensi Satu