⎪ ⎪
⎩ ⎪⎪
⎨ ⎧
= +
∂ ∂
= +
∂ ∂
, ,
, ,
, ,
2 1
t x
f t
l u
x t
l u
t x
f t
u x
t u
β α
,
dimana α, β adalah suatu konstanta yang diberikan.
B. Penyelesaian Persamaan Diferensial Parsial dengan Transformasi
Laplace Interval setengah tak terbatas pada kasus parabolik
Diketahui persamaan konduksi panas
2 2
2
x u
c t
u ∂
∂ =
∂ ∂
. Pada kondisi awal
, x
f x
u =
, diketahui syarat batasnya adalah:
x
, ,
t g
x t
u t
u =
∂ ∂
+
β α
; t
dengan α,β suatu konstanta yang diberikan.
Diketahui
2 2
2
x u
c t
u ∂
∂ =
∂ ∂
⇔ L
= ⎭
⎬ ⎫
⎩ ⎨
⎧ ∂
∂ ,
t x
t u
L ⎭
⎬ ⎫
⎩ ⎨
⎧ ∂
∂ ,
2 2
2
t x
x u
c ,
k c
=
2
⇔ L
= ⎭
⎬ ⎫
⎩ ⎨
⎧ ∂
∂ ,
t x
t u
kL ⎭
⎬ ⎫
⎩ ⎨
⎧ ∂
∂ ,
2 2
t x
x u
⇔
2 2
, ~
, ,
~ dx
s x
u d
k x
u s
x u
s =
−
⇔ k
x u
s x
u k
s dx
s x
u d
, ,
~ ,
~
2 2
− =
− .
2 Substitusikan kondisi awal ke persamaan 2, sehingga diperoleh:
k x
f s
x u
k s
dx s
x u
d ,
~ ,
~
2 2
− =
− ,
3 dengan syarat batas:
, ,
t g
x t
u t
u =
∂ ∂
+
β α
⇔ L
= ⎭
⎬ ⎫
⎩ ⎨
⎧ ∂
∂ +
x t
u t
u ,
,
β α
L
{ }
t g
⇔ L
{ }
+ ,
t u
α L
= ⎭
⎬ ⎫
⎩ ⎨
⎧ ∂
∂ x
t u
,
β L
{ }
t g
⇔ αL
{ }
+ ,
t u
βL
= ⎭
⎬ ⎫
⎩ ⎨
⎧ ∂
∂ x
t u
,
L
{ }
t g
⇔
~ ,
~ ,
~ s
g dx
s u
d s
u =
+
β α
. 4
Interval terbatas pada kasus parabolik
Persamaan konduksi panas dimensi satu: ,
,
2 2
t x
x u
k t
x t
u ∂
∂ =
∂ ∂
, l
x ,
5 t
pada kondisi awal
, x
f x
u =
, l
x diketahui syarat batasnya adalah:
, ,
1
t g
x t
u t
u =
∂ ∂
+
β α
; ;
α,β konstanta,
6 t
, ,
2
t g
x t
l u
t l
u =
∂ ∂
+
β α
; ;
α,β konstanta.
7 t
Dengan mentransformasi persamaan 5 diperoleh persamaan yang sama dengan persamaan 2. Dan dengan substitusi dari kondisi awal ke persamaan
2 diperoleh persamaan yang sama dengan persamaan 3, dengan syarat batas:
, ,
1
t g
x t
u t
u =
∂ ∂
+
β α
⇔ L
= ⎭
⎬ ⎫
⎩ ⎨
⎧ ∂
∂ +
x t
u t
u ,
,
β α
L
{ }
1
t g
⇔ L
{ }
+ ,
t u
α L
= ⎭
⎬ ⎫
⎩ ⎨
⎧ ∂
∂ x
t u
,
β L
{ }
1
t g
⇔ αL
{ }
+ ,
t u
βL
= ⎭
⎬ ⎫
⎩ ⎨
⎧ ∂
∂ x
t u
,
L
{ }
1
t g
⇔
~ ,
~ ,
~
1
s g
dx s
u d
s u
= +
β α
, dan 8
, ,
2
t g
x t
l u
t l
u =
∂ ∂
+
β α
⇔ L
= ⎭
⎬ ⎫
⎩ ⎨
⎧ ∂
∂ +
x t
l u
t l
u ,
,
β α
L
{ }
2
t g
⇔ L
{ }
+ ,
t l
u α
L
= ⎭
⎬ ⎫
⎩ ⎨
⎧ ∂
∂ x
t l
u ,
β L
{ }
2
t g
⇔ αL
{ }
+ ,
t l
u βL
= ⎭
⎬ ⎫
⎩ ⎨
⎧ ∂
∂ x
t l
u ,
L
{ }
2
t g
⇔
~ ,
~ ,
~
2
s g
dx s
l u
d s
l u
= +
β α
. 9
C. Penyelesaian Umum
Dengan menggunakan transformasi Laplace terhadap t atau x dalam masalah nilai batas pada persamaan diferensial parsial, maka
persamaan-persamaan diferensial parsial tersebut dapat ditransformasikan menjadi persamaan diferensial biasa berbentuk:
x f
y y
= +
. 10
Sebagai contoh perhatikan persamaan diferensial
= + y
y
. Tulis
dan suatu selesaian.
1
x y
2
x y
Jadi .
⎩ ⎨
⎧ =
+ =
+
2 1
2 1
x f
x y
x B
x y
x A
x y
x B
x y
x A
Dengan menyelesaikan A’x dan B’x, diperoleh Ax dan Bx maka penyelesaian persamaan 10 di atas adalah:
2 1
x y
x B
x y
x A
x y
+ =
. Jika
pada persamaan 10 tersebut berbentuk eksponensial, polinomial dan trigonometri terbatas pada
x f
α sin
dan
α
cos , maka Ax dan Bx berupa
suatu konstanta.
Interval setengah tak terbatas pada kasus parabolik
Diasumsikan bahwa solusi umum dari persamaan 10 adalah:
x m
x m
e x
B e
x A
x y
2 1
+ =
. 11
Dengan mengambil persamaan:
2 1
= +
x m
x m
e x
B e
x A
dan 12
2 1
2 1
x f
e x
B t
e x
A t
x m
x m
= +
, 13
diperoleh:
x m
e x
f m
m x
A
1
1
1 2
−
− −
=
1 1
2
1
1 c
dx e
x f
m m
x A
x m
+ −
− =
⇔
−
∫
, dan
14
x m
e x
f m
m x
B
2
1
1 2
−
− =
2 1
2
2
1 c
dx e
x f
m m
x B
x m
+ −
= ⇔
−
∫
. 15
Jika Ax dan Bx dari 14 dan 15 disubstitusikan ke persamaan 11, diperoleh:
x m
x m
x m
x m
e dx
e x
f m
m c
e dx
e x
f m
m c
x y
2 2
1 2
1 1
1 2
2 1
2 1
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
− +
+ ⎭
⎬ ⎫
⎩ ⎨
⎧ −
− =
∫ ∫
− −
.
Dari persamaan 3, akar-akar karakteristik dari persamaan ,
~ ,
~
2 2
= −
s x
u k
s dx
s x
u d
adalah k
s t
=
1
; k
s t
− =
2
. Diasumsikan bahwa solusi umum dari persamaan 3 tersebut adalah:
x k
s x
k s
e x
B e
x A
s x
u
−
+ =
, ~
. 16
Dengan mengambil persamaan:
` `
= +
− x
k s
x k
s
e x
B e
x A
dan
k x
f e
x B
k s
e x
A k
s
x k
s x
k s
` `
− =
−
−
. Diperoleh:
x k
s
e k
s k
x f
x A
−
− =
2 `
1
2 1
c dx
e x
f k
s k
x A
x k
s
+ −
= ⇔
∫
−
. 17
x k
s
e k
s k
x f
x B
2 `
=
2
2 1
c dx
e x
f k
s k
x B
x k
s
+ =
⇔
∫
. 18
Jika Ax dan Bx dari 17 dan 18 disubstitusikan ke persamaan 16 sehingga diperoleh:
x k
s x
k s
x k
s x
k s
e dx
e x
f k
s k
c e
dx e
x f
k s
k c
s x
u
− −
⎪ ⎪
⎩ ⎪⎪
⎨ ⎧
⎪ ⎪
⎭ ⎪⎪
⎬ ⎫
+ +
⎪ ⎪
⎩ ⎪⎪
⎨ ⎧
⎪ ⎪
⎭ ⎪⎪
⎬ ⎫
− =
∫ ∫
2 1
2 1
, ~
2 1
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
+ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ −
+ =
∫ ∫
− −
−
dx e
x f
e k
s k
dx e
x f
e k
s k
e c
e c
k s
x k
s x
k s
x k
s x
k s
x k
s
2 1
2 1
2 1
karena haruslah terbatas bila
, t
x u
∞ →
x maka
L harus
pula terbatas bila
= ,
~ s
x u
} {
, t
x u
∞ →
x , maka harus diperoleh
1
= c
, sehingga
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
+ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ −
=
∫ ∫
− −
−
dx e
x f
e k
s k
dx e
x f
e k
s k
e c
s x
u
x k
s x
k s
x k
s x
k s
x k
s
2 1
2 1
, ~
2
.
Untuk mendapatkan penyelesaian persamaan di atas dengan invers transformasi Laplace, sehingga diperoleh:
= ,
t x
u
L
-1
⎪ ⎪
⎩ ⎪⎪
⎨ ⎧
+ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ −
∫
− −
dx e
x f
e k
s k
e c
x k
s x
k s
x k
s
2 1
2
⎪ ⎪
⎭ ⎪⎪
⎬ ⎫
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
∫
−
dx e
x f
e k
s k
x k
s x
k s
2 1
. 19
Interval terbatas pada kasus parabolik
Diasumsikan bahwa solusi umum dari persamaan 10 tersebut adalah:
x x
B x
x A
x y
sinh cosh
+ =
. 20
Dengan mengambil persamaan:
sinh `
cosh `
= +
x x
B x
x A
dan
cosh `
sinh `
x f
x x
B x
x A
= +
, diperoleh:
x x
f x
A sinh
` −
=
x x
e e
x f
x A
1 2
1 `
2
− −
= ⇔
∫
+ +
− =
⇔
− 1
2 1
c dx
e e
x f
x A
x x
21
x x
f B
cosh `
=
x x
e e
x f
B 1
2 1
`
2
+ =
⇔
∫
+ +
= ⇔
− 2
2 1
c dx
e e
x f
x B
x x
22
Jika Ax dan Bx dari 21 dan 22 disubstitusikan ke persamaan 20, diperoleh:
⎩ ⎨
⎧ ⎩
⎨ ⎧
⎭ ⎬
⎫ +
+ +
⎭ ⎬
⎫ +
+ −
=
∫ ∫
− −
x c
dx e
e x
f x
c dx
e e
x f
x y
x x
x x
sinh 2
1 cosh
2 1
2 1
.
Diasumsikan bahwa solusi umum dari persamaan 3 adalah : x
k s
x B
x k
s x
A s
x u
sinh cosh
, ~
+ =
. 23
Dengan mengambil persamaan:
sinh `
cosh `
= +
x k
s x
B x
k s
x A
dan
k x
f x
k s
x B
k s
x k
s x
A k
s cosh
` sinh
` −
= +
, sehingga diperoleh:
x k
s k
s k
x f
x A
sinh `
=
x k
s x
k s
e k
s k
e x
f x
A 2
1 `
2
⎟⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎜
⎝ ⎛
− ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ =
⇔
∫
+ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ +
− −
= ⇔
− 1
2 1
c dx
e e
x f
k s
k x
A
x k
s x
k s
. 24
x k
s k
s k
x f
x B
cosh `
− =
x k
s x
k s
e k
s k
e x
f x
B 2
1 `
2
⎟⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎜
⎝ ⎛
+ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ −
= ⇔
2
2 1
c dx
e e
x f
k s
k x
B
x k
s x
k s
+ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ +
− =
⇔
∫
−
. 25
Jika Ax dan Bx dari 24 dan 25 disubstitusikan ke persamaan 23, diperoleh:
x k
s dx
e e
x f
k s
k c
s x
u
x k
s x
k s
cosh 2
1 ,
~
1
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
+ −
− =
∫
−
x k
s dx
e e
x f
k s
k c
x k
s x
k s
sinh 2
1
2
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
+ −
+
∫
−
.
Untuk mendapatkan penyelesaian persamaan di atas dengan invers transformasi Laplace, sehingga diperoleh:
= ,
t x
u
L
-1
⎪ ⎪
⎩ ⎪⎪
⎨ ⎧
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
+ −
−
∫
−
x k
s dx
e e
x f
k s
k c
x k
s x
k s
cosh 2
1
1
⎪ ⎪
⎭ ⎪⎪
⎬ ⎫
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
+ −
+
∫
−
x k
s dx
e e
x f
k s
k c
x k
s x
k s
sinh 2
1
2
. 26
Contoh 1. Selesaikan masalah nilai batas persamaan konduksi panas pada suatu batang
kawat tipis semi infinite dengan temperatur awal dan ujung kawat pada
mempunyai temperatur konstan .
C
o
= x
o
t Penyelesaian:
Diketahui
2 2
2
x u
c t
u ∂
∂ =
∂ ∂
, ,
. x
t Dipunyai
, .
, =
x u
x Jelas
k x
u s
x u
k s
dx s
x u
d ,
, ~
, ~
2 2
− =
−
, ~
, ~
2 2
= −
⇔ s
x u
k s
dx s
x u
d .
Dipunyai .
o
t t
u =
, ,
t Jelas L
L
= }
, {
t u
} {
o
t
s t
s u
o
= ⇔
, ~
.
Jadi
x k
s x
k s
e c
e c
s x
u
−
+ =
2 1
, ~
. Tulis
.
1
= c
Jelas
x k
s
e c
s x
u
−
=
2
, ~
. Jadi
s t
s u
o
= ,
~
2
, ~
e c
s u
= ⇔
s t
c
o
= ⇔
2
.
Jadi
x k
s o
e s
t s
x u
−
= ,
~ .
Jadi L
= ,
t x
u
-1
} ,
~ {
s x
u
= ⇔
, t
x u
L
-1
⎪⎭ ⎪
⎬ ⎫
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
− x
k s
o
e s
t
o
t t
x u
= ⇔
, L
-1
⎪⎭ ⎪
⎬ ⎫
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
− x
k s
e s
1
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
= ⇔
kt x
erfc t
t x
u
o
2 ,
.
Jadi ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ =
kt x
erfc t
t x
u
o
2 ,
.
D. Pemrograman Komputer Persamaan Konduksi Panas Dimensi Satu