B. Persamaan Diferensial Parsial
Persamaan diferensial parsial adalah suatu persamaan yang mengandung satu atau lebih turunan parsial suatu fungsi yang tidak
diketahui dengan dua atau lebih peubah bebas. Tingkat order persamaan diferensial parsial adalah pangkat
tertinggi dari turunan yang termuat dalam persamaan diferensial parsial. Dan derajat degree persamaan diferensial parsial adalah pangkat tertinggi dari
turunan tingkat tertinggi yang termuat dalam persamaan diferensial parsial. Persamaan diferensial parsial linier adalah suatu bentuk persamaan
diferensial parsial yang berderajat satu dalam peubah tak bebasnya dan turunan parsialnya Hutahean, 1993.
Beberapa persamaan diferensial parsial linier orde-2 yang penting.
2 2
2 2
2
x u
c t
u ∂
∂ =
∂ ∂
, disebut persamaan gelombang dimensi satu; 7
2 2
2
x u
c t
u ∂
∂ =
∂ ∂
, disebut persamaan konduksi panas dimensi satu; 8
2 2
2 2
= ∂
∂ +
∂ ∂
y u
x u
, disebut persamaan laplace dimensi satu; 9
,
2 2
2 2
y x
f y
u x
u =
∂ ∂
+ ∂
∂ , disebut persamaan poisson dimensi satu;
10
2 2
2 2
2 2
= ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ z
u y
u x
u ,disebut persamaan laplace dimensi tiga.
11
Dalam hal ini c adalah konstanta, t adalah waktu dan
z y
x ,
,
adalah peubah bebas. Untuk memudahkan notasi maka digunakan indeks untuk
menotasikan turunan parsial, seperti
x u
u
x
∂ ∂
=
,
2 2
x u
u
xx
∂ ∂
= dan sebagainya.
Adapun bentuk umum persamaan diferensial parsial linier orde-2 diberikan dengan
G Fu
Eu Du
Cu Bu
Au
y x
yy xy
xx
= +
+ +
+ +
, 12
dimana A, B, C, D,E, F, dan G adalah fungsi-fungsi yang bergantung pada x dan y.
Terdapat 3 jenis persamaan diferensial parsial linier yang penting, yaitu parabolik, hiperbolik dan elliptik. Persamaan diferensial parsial orde
dua dalam persamaan 12; jika
, disebut persamaan parabolik,
4
2
= − AC
B
jika , disebut persamaan hiperbolik,
4
2
− AC B
jika , disebut persamaan elliptik Pinsky, 1998.
4
2
− AC B
Sedangkan persamaan 8 merupakan persamaan parabolik, persamaan 7 merupakan persamaan hiperbolik dan persamaan 9 merupakan persamaan
elliptik.
Syarat Batas Syarat batas adalah syarat-syarat tertentu atau kondisi-kondisi
tertentu yang terlibat dalam persamaan diferensial parsial untuk membantu mencari solusi persamaan diferensial parsial tersebut. Ada tiga kemungkinan,
yaitu interval terbatas, interval setengah terbatas, dan interval tak terbatas. Untuk interval terbatas, besarnya interval I adalah
sehingga mempunyai dua syarat batas yaitu pada
L x
= x
dan L
x = . Untuk interval
setengah tak terbatas, besarnya I adalah ∞
x biasa ditulis
, syarat batasnya hanya pada
x =
x . Dan untuk interval tak terbatas, besarnya interval
I adalah ∞
∞ −
x sehingga tidak punya syarat batas.
Bentuk persamaan syarat batas diberikan dengan
x f
n u
u =
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
∂ ∂
+
β α
, 13
dimana β
α
,
adalah suatu konstanta dan
n u
∂ ∂
didefinisikan sebagai
grad n
x u
x u
n u
n
. ,...,
.
1
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
∂ ∂
∂ ∂
= . Terdapat tiga jenis syarat batas yaitu:
a persamaan 13 disebut dengan kondisi Dirichlet jika
≠ α
dan =
β ;
b persamaan 13 disebut dengan kondisi Neumann jika
= α
dan ≠
β ;
c persamaan 13 disebut dengan kondisi campuran jika
≠ α
dan ≠
β Pinsky, 1998.
C. Transformasi Laplace
Kategori