11 Data multivariat pada tabel 1 di atas dituliskan dalam bentuk matriks , dengan
baris dan kolom sebagai:
= [
…
� �
� �
] ,
2. 7
dengan : data pengamatan ke- pada variabel ke- ,
: banyak pengamatan, : banyak variabel.
2. Vektor Rata-rata
Misalkan merupakan matriks pengukuran pengamatan dan variabel, vektor rata-rata untuk setiap variabel dari didefinisikan sebagai:
̅ =
�
= [
�
∑
� =
�
∑
� =
�
∑
� =
] =
[ ̅
̅
̅ ] .
2. 8
Dengan,
= [
∑
� =
∑
� =
∑
� =
] .
2. 9
Misalkan ̅ merupakan vektor × , nilai harapan dari ̅ didefinisikan
sebagai vektor nilai-nilai harapan dari variabel,
12 ̅ =
[ ̅
̅
̅ ] =
[ ̅
̅ ̅ ]
= [ �
� �
] = �. 2. 10
3. Matriks Varians Kovarians
Matriks varians kovarians populasi didefinisikan sebagai:
− � − �
′
= [
− � − �
− � ] [ − �
− � − � ]
= [
− � − �
− � − �
− � − �
− � − �
− � − �
− � − � − � − �
− � ]
= [
− � − �
− � − �
− � − �
− � − �
− � − �
− � − � − � − �
− � ]
.
Dari persamaan 2. 3 dan 2. 5 maka matriks varians kovarians populasi dapat dituliskan sabagai berikut.
− � − �
′
= [ �
� �
� �
� �
� �
] = �. 2. 11
Dengan, � = � = �
menyatakan varians populasi untuk = , , ,
� = � ,
menyatakan kovarians antara dan untuk , = , , , .
Matriks varians kovarians sampel dapat didefinisikan sebagai berikut. =
�−
∑ − ̅
− ̅
′ �
=
2. 12
13
= − ∑ [ − ̅
− ̅ − ̅
] [ − ̅
− ̅ − ̅ ]
� =
= [
�−
∑ − ̅
� =
�−
− ̅ − ̅
�−
− ̅ − ̅
�−
− ̅ − ̅
�−
∑ − ̅
� =
�−
− ̅ − ̅
�−
− ̅ − ̅
�−
− � − ̅
�−
∑ − ̅
� =
]
,
sehingga
= [ ] = [ ].
2. 13
Dengan =
=
�−
∑ − ̅
� =
adalah varians sampel dari variabel ke- , =
�−
∑ − ̅
− ̅
� =
adalah kovarians sampel dari variabel ke- dan variabel ke- .
4. Partisi Matriks Varians Kovarians
Diberikan vektor berorder × dipartisi menjadi dua bagian dan −
dituliskan Johnson Wichern, 2007: 73:
= [
+
] = [
] dan � = =
[ �
� �
+
� ] = [�
� ].
2. 14
Berdasarkan transpose dan perkalian matriks,
− � − �
′
= [ − �
− � − �
] [
+
− �
+ +
− �
+
− � ]
14
= [
− �
+
− �
+
− �
+
− �
+
− �
+
− �
+
− �
+
− �
+
− �
+
− �
+
− �
+
− �
+
− � − � − � − �
− � − � ]
.
Dengan ekspektasi pada − �
− �
′
diperoleh
− � − �
′
= [
− �
+
− �
+
− �
+
− �
+
− �
+
− �
+
− �
+
− �
+
− �
+
− �
+
− �
+
− �
+
− � − � − � − �
− � − � ]
= [
− �
+
− �
+
− �
+
− �
+
− �
+
− �
+
− �
+
− �
+
− �
+
− �
+
− �
+
− �
+
− � − � − � − �
− � − � ]
.
− � − �
′
= [ �
, +
�
, +
�
, +
�
, +
�
, +
�
, +
� �
� ] = � .
2. 15
Dengan kovarians � , = , , … , dan = + , + , … , merupakan
komponen dari dan
. Dengan persamaan partisi pada 2. 13
− � − �
′
dituliskan sebagai
− � − �
′
= [ − �
− �
′
− � − �
′
− � − �
′
− � − �
′
]
.
2. 16 Dari persamaan 2. 10 dan 2. 15 matriks varians kovarians dituliskan
� = − �
− �
′
= [ − �
− �
′
− � − �
′
− � − �
′
− � − �
′
]
15 � = [�
� �
� ] = [
σ … σ
σ … σ
σ
, +
… σ σ
, +
… σ σ
+ ,
… σ
+ ,
σ …
σ σ
+ , +
… σ σ
, +
… σ ] .
2. 17
Dengan � adalah matriks varians kovarians dari elemen
, � adalah
matriks varians kovarians dari elemen , dan
� = � adalah matriks varians kovarians dari elemen
dan .
Dengan langkah yang sama di atas dan persamaan 2. 12, partisi vektor rata-rata dan matriks varians kovarians sampel dituliskan
̅ = [
̅ ̅
̅
+
̅ ] = [̅
̅ ] dan =
[ …
…
, +
…
, +
…
+ ,
…
+ ,
…
+ , +
…
, +
… ]
. 2. 18
� = [� �
� � ]
. 2. 19
̅ dan ̅ adalah vektor rata-rata, � adalah matriks varians kovarians sampel dari elemen
̅ , � adalah matriks varians kovarians sampel dari elemen ̅ , dan
� = � adalah matriks varians kovarians sampel dari elemen ̅ dan ̅ .
E. Analisis Kovarians ANCOVA
Analisis Kovarians atau disebut juga dengan ANCOVA merupakan kombinasi prosedur uji hipotesis untuk general linear model GLM dan notion
linear regression Keppel Wickens, 2004: 312. Menurut Rencher 1998: 178,
ANCOVA adalah perpaduan antara analisis varians ANOVA dengan analisis
16 regresi. Dalam ANCOVA terdapat variabel konkomitan, disebut juga dengan
kovariat, yaitu variabel yang dianggap mempengaruhi variabel terikat atau variabel respon tetapi tidak dapat dikendalikan. Variabel konkomitan berasal dari
karakteristik obyek penelitian variabel bebas yang mana variabel tersebut berskala metrik kuantitatif. Dengan demikian ANCOVA berfungsi untuk
memurnikan pengaruh galat varians yang berupa variabel konkomitan terhadap variabel respon.
Dalam ANCOVA perlakuan disebut juga dengan faktor. Banyaknya faktor membedakan analisis pada ANCOVA, yaitu satu arah satu faktor, dua arah dua
faktor, dan seterusnya. Data ANCOVA satu faktor disajikan dalam tabel 2 sebagai berikut.
Tabel 2. Pengamatan ANCOVA Satu Arah Perlakuan
Rata-rata
Skor 1
2 …
ℎ
…
� �
� �
ℎ ℎ
ℎ� ℎ
ℎ ℎ�
̅
.
̅
.
̅
.�
̅
.
̅
.
̅
.�
Rata-rata total ̅
.
̅
.
̅
.
̅
.
… ̅
ℎ.
̅
ℎ.
̅
..
̅
..
Tabel 2 menunjukkan ANCOVA satu arah sebanyak ℎ level faktor dengan satu
kovariat dan ulangan sebanyak . Model ANCOVA dengan satu kovariat Rencher, 1998: 179 dituliskan
sebagai:
17 = � + � +
+ � , = , , … , ℎ,
= , , … , ; 2. 20 dengan
: nilai respon ke- pada perlakuan ke- , �
: rata-rata keseluruhan, �
: pengaruh perlakuan ke- , : koefisien regresi
terhadap ,
: nilai kovariat pengamatan ke- pada perlakuan ke- , �
: nilai galat pada pengamatan ke- pada perlakuan ke- . Persamaan 2. 20 mempunyai bentuk model regresi linear Rencher, 1998: 181:
= +
+ � . 2. 21
Pada ANCOVA diperlukan perhitungan jumlah kuadrat dan jumlah hasil kali sebagai berikut.
1. Jumlah kuadrat total JKT dan jumlah hasil kali total JHKT untuk variabel dan .
= ∑ ∑
− ̅
.. �
= ℎ
=
. 2. 22
= ∑ ∑
− ̅
.. �
= ℎ
=
. 2. 23
= ∑ ∑
− ̅
..
− ̅
.. �
= ℎ
=
. 2. 24
Dengan derajat total bebas ℎ − .
2. Jumlah kuadrat perlakuan JKP dan jumlah hasil kali perlakuan JHKP untuk variabel dan .
� = ∑ ̅
.
− ̅
.. ℎ
=
. 2. 25
� = ∑ ̅
.
− ̅
.. ℎ
=
. 2. 26
� = ∑ ̅
.
− ̅
..
̅
.
− ̅
.. ℎ
=
. 2. 27
18 Dengan derajat bebas perlakuan
ℎ − . 3. Jumlah kuadrat galat JKG dan jumlah hasil kali galat JHKG untuk
variabel dan . =
− � . 2. 28
= ∑ ∑
− ̅
. �
= ℎ
=
. 2. 29
= − � ,
2. 30 = ∑
∑ − ̅
. �
= ℎ
=
. 2. 31
= −
�, 2. 32
= ∑ ∑
− ̅
.
− ̅
. �
= ℎ
=
. 2. 33
Dengan derajat bebas galat ℎ − .
Untuk memperoleh jumlah kuadrat JK terkoreksi akibat dari pengaruh kovariat yaitu dengan mengestimasi nilai , persamaan 2. 20 diubah ke dalam
bentuk −
= � + � + � . 2. 34
Dengan menggunakan pendekatan ANOVA dari −
, varians populasi dari −
, �
−
= � − � + � .
2. 35 Untuk varians sampel,
= − dituliskan
=
�−
∑ − ̅
� =
,
−
=
�−
∑ [ −
− ̅ − ̅ ]
� =
,
−
=
�−
∑ [ − ̅ −
− ̅ ]
� =
,
−
=
�−
∑ [ − ̅ −
− ̅ − ̅ +
− ̅ ]
� =
,
19
−
=
�−
[∑ − ̅
� =
] −
�−
[∑ − ̅
− ̅
� =
] +
�−
[∑ − ̅
� =
],
−
= −
+ .
2. 36
−�
ℎ �−
=
ℎ �−
−
ℎ �−
+
ℎ �−
. 2. 37
Untuk mengestimasi persamaan 2. 37 ditulis
−
= −
+ .
2. 38 Persamaan 2. 38 diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna pada
−
= −
+ −
, 2. 39
sehingga diperoleh nilai ̂ =
, merupakan estimasi dari .
−
selanjutnya ditulis
.
merupakan jumlah kuadrat galat penyesuaian akibat adanya kovariat. Dengan mensubstitusikan ̂ pada persamaan 2. 39 diperoleh
nilai minimum
.
= −
, 2. 40
dengan derajat bebas ℎ − ℎ − , yaitu ℎ − derajat bebas dari
dan derajat bebas dari
. Dengan analogi pada persamaan 2. 40 jumlah kuadrat total JKT untuk
− dituliskan
.
= −
, 2. 41
dengan derajat bebas ℎ − , yaitu ℎ − merupakan derajat bebas
dan 1 merupakan derajat bebas
.
20 Untuk memperoleh jumlah kuadrat perlakuan JKP untuk
− , yaitu
dengan mengurangkan JKG terhadap JKT dituliskan �
.
=
.
−
.
, 2. 42
dengan derajat bebas ℎ − .
Kuadrat tengah terkoreksi diperoleh dengan membagi jumlah kuadrat terkoreksi dengan derajat bebasnya.
Tabel ANCOVA satu arah sebelum dan sesudah mendapat penyesuaian dari kovariat ditampilkan pada tabel 3 berikut.
Tabel 3. ANCOVA Satu Arah Variabel
Sebelum dikoreksi Setelah dikoreksi
Db Db
JK Perlakuan
ℎ − �
� �
ℎ − �
.
Galat ℎ −
ℎ − ℎ −
.
Total ℎ −
ℎ −
.
1.
Asumsi pada ANCOVA
Asumsi-asumsi yang harus dipenuhi dalam ANCOVA adalah tiga asumsi ANOVA dan dua asumsi berkaitan dengan kovariat, yaitu:
a. Variabel terikat berhubungan linear dengan kovariat Asumsi ini mempengaruhi nilai galat. Jika asumsi ini terpenuhi maka
nilai galat akan menjadi lebih kecil. Asumsi ini diuji dengan hipotesis : = dan : ≠ dengan pada persamaan 2. 20 merupakan
21 koefisien regresi variabel terikat pada kovariat. Statistik uji yang
digunakan adalah uji F Rencher, 1998: 182 yaitu =
⁄
.
�ℎ−ℎ− ⁄
. 2. 43
Dengan kriteria keputusan ditolak jika nilai
ℎ ��
,�ℎ−ℎ−
. Jika
ditolak artinya variabel terikat berhubungan linear dengan kovariat.
b. Koefisien regresi homogen antar perlakuan Asumsi ini menunjukkan bahwa gradien pada setiap perlakuan sama.
Untuk dua kovariat asumsinya adalah kesamaan bidang regresi pada setiap perlakuan. Untuk lebih dari dua kovariat asumsinya adalah
kesamaan bidang banyak regresi antar perlakuan. Jika asumsi ini tidak terpenuhi, maka antara kovariat dan perlakuan dianggap terjadi interaksi.
Sebagaimana dalam persamaan 2. 20, merupakan koefisien regresi, sehingga hipotesis ujinya
: =
= =
ℎ
dan : paling sedikit
dua tidak sama
= , , … , ℎ
, dengan merupakan gradien pada
grup ke- . Untuk menguji asumsi ini adalah dengan membandingkan model lengkap
2. 20, estimasi gradien yang berbeda tiap grup , terhadap model
regresi linear 2. 21, gradien Rencher, 1998: 181. Diberikan = ∑
− ̅
. �
=
, 2. 44
= ∑ − ̅
.
− ̅
. �
=
. 2. 45
merupakan jumlah kuadrat galat variabel pada grup ke- dan merupakan jumlah hasil kali silang galat pada grup ke- .
22 Estimasi gradien untuk pada grup ke- adalah
̂ = ,
2. 46 dengan jumlah kuadrat
= ⁄
. Jumlah kuadrat dari model lengkap 2. 20 dengan gradien
setiap grup = ∑
ℎ =
, 2. 47
dan jumlah kuadrat dari model regresi linear 2. 21 dengan gradien =
. 2. 48
Jumlah kuadrat untuk menguji hipotesis :
= =
=
ℎ
dan :
paling sedikit dua tidak sama
= , , … , ℎ
merupakan selisisih jumlah kuadrat model lengkap 2. 47 dan jumlah kuadrat model regresi
linear 2. 48 −
= ∑
ℎ =
− ,
2. 49 dengan derajat bebas
ℎ − . Jumlah kuadrat galat berdasarkan model lengkap 2. 20
.
= − ∑
ℎ =
, 2. 50
dengan derajat bebas ℎ −
= ℎ − ℎ = − ℎ. Statistik uji =
−
�
ℎ−
.
�− ℎ
, 2. 51
=
[∑
ℎ =
− ] ℎ−
[ −∑
ℎ =
] �− ℎ
. 2. 52
Jika nilai
ℎ ��
≤
ℎ− ,�− ℎ
maka diterima, yang artinya
koefisien regresi homogen antar perlakuan.
23 c. Independensi obyek pengamatan
Terpenuhinya asumsi ini menunjukkan bahwa sebuah sampel diambil secara acak dari suatu populasi.
d. Variabel terikat berdistribusi normal Dalam ANOVA variabel terikat berdistribusi normal univariat. Pengujian
asumsi ini dapat menggunakan dua metode, yaitu dengan dengan grafik dan secara analitik tanpa grafik. Metode grafik dengan Quantile-vs-
Quantile plot Q-Q Plot dan metode analitik menggunakan uji
Kolmogorov-Smirov Stevens, 2009: 224. e. Kesamaan varians Homoskedastisitas
Untuk pengujian asumsi ini menggunakan uji Bartlett dengan hipotesis : σ = σ =
= σ
ℎ
dan : paling sedikit dua σ tidak sama, =
, , … , ℎ. Terdapat hubungan yang simultan antara homoskedastisitas dengan normalitas. Data homoskedastisitas akan menyebar secara
normal, sehingga perlu diuji normalitas terlebih dahulu sebelum melakukan uji ini.
Statistik uji Bartlett Milliken Johnson, 2009: 24 adalah =
�
[� log − ∑
� log
ℎ =
]. 2. 53
Dengan, � =
− , � = ∑ �
ℎ =
, =
∑ − ̅
. ℎ
=
, � =
∑ �
ℎ =
, dan = +
ℎ−
[∑ −
ℎ =
]. Kriteria keputusan
ditolak jika �
,ℎ−
.
24
2.
Pengujian Hipotesis pada ANCOVA
Uji hipotesis ANCOVA mengikuti langkah-lagkah berikut. a. Hipotesis,
menyatakan hipotesis nol dan hipotesis alternatifnya. Untuk ANCOVA satu arah hipotesisnya adalah:
: � = � = = �
ℎ
= , tidak terdapat pengaruh perlakuan terhadap variabel respon yang diamati
setelah disesuaikan dengan variabel konkomitan. : ∃� ≠ ,
terdapat pengaruh perlakuan terhadap variabel respon yang diamati setelah disesuaikan dengan variabel konkomitan.
b. Menentukan Taraf Signifikansi, . c. Memilih statistik uji Rencher, 1978: 181
=
�
.
ℎ− ⁄
.
�ℎ−ℎ− ⁄
. 2. 54
d. Menentukan wilayah kritik, ditolak jika
;ℎ− ,�ℎ−ℎ−
. e. Melakukan perhitungan dengan statistik uji.
f. Keputusan, jika
;ℎ− ,�ℎ−ℎ−
maka ditolak. Artinya terdapat pengaruh
perlakuan terhadap variabel respon yang diamati setelah disesuaikan dengan variabel konkomitan.
25
3.
Uji Post Hoc pada ANCOVA
Jika hasil uji hipotesis ANCOVA menunjukkan diterima yang artinya
pengaruh perlakuan terhadap variabel terikat setelah disesuaikan dengan kovariat tidak signifikan maka pengujian hipotesis selesai. Jika
ditolak yang artinya pengaruh perlakuan signifikan terhadap variabel terikat setelah disesuaikan
dengan kovariat maka dilakukan uji Post Hoc atau disebut juga dengan uji lanjut. Uji Post Hoc yang digunakan adalah prosedur Bryant-Paulson BP.
Prosedur BP merupakan generalisasi dari metode uji Tukey’s HSD Kirk,
1995: 726. Prosedur BP digunakan untuk menentukan apakah rata-rata populasi berpasangan setelah disesuaikan dengan kovariat berbeda secara signifikan, yang
didasarkan pada desain acak atau tidak acak dan banyaknya kovariat yang digunakan. Hipotesis ujinya dituliskan:
: �
∗
= �
∗
rata-rata populasi setelah disesuaikan dengan kovariat pada perlakuan ke- dan ke- tidak berbeda secara signifikan.
: �
∗
≠ �
∗
rata-rata populasi setelah disesuaikan dengan kovariat pada perlakuan ke- dan ke- berbeda secara signifikan.
Untuk statistik uji prosedur BP untuk satu kovariat Stevens, 2009: 309: � =
̅
∗
− ̅
∗
√
�
+
[̅ −̅ ]
. 2. 55
Untuk lebih dari satu kovariat: � =
̅
∗
− ̅
∗
√
� [
� ⁄ +� ′ − � ]
. 2. 56
Dengan,
26 ̅
∗
= ̅ − ̅ − ̅ −
̅ − ̅ − − ̅ − ̅ , 2. 57
� = [
̅ − ̅ ̅ − ̅
̅ − ̅ ]
. 2. 58
Dengan, ̅
∗
: rata-rata variabel terikat setelah disesuaikan dengan kovariat pada perlakuan ke- ,
̅
∗
: rata-rata variabel terikat setelah disesuaikan dengan kovariat pada perlakuan ke- ,
: kuadrat tengah galat dari kovarians, : Jumlah kuadrat galat pada kovariat,
̅ : rata-rata kovariat pada perlakuan ke- ,
̅ : rata-rata kovariat pada perlakuan ke- ,
: matriks jumlah kuadrat dan hasil kali silang galat pada kovariat,
�
: matriks kolom selisih antara kovariat pada perlakuan ke- dan ke- , : ukuran sampel dalam perlakuan,
: banyak kovariat, ̅
: rata-rata variabel terikat pada perlakuan ke- , ̅
: rata-rata kovariat ke- pada perlakuan ke- , : koefisien regresi
̅ . ditolak jika
� �
;ℎ�−ℎ−
yang artinya rata-rata populasi pada perlakuan ke- dan ke- tidak berbeda secara signifikan.
27
F. Gizi
