Analisis Repeated Measurement Pada Data Longitudinal Dalam Model Matriks Kovarians

ANALISIS STRUKTUR REPEATED MEASUREMENT PADA DATA LONGITUDINAL DALAM MODEL MATRIKS KOVARIANS

ELWIN NAPITUPULU 070823047

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2011

ANALISIS STRUKTUR REPEATED MEASUREMENT PADA DATA LONGITUDINAL DALAM MODEL MATRIKS KOVARIANS

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas akhir dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

ELWIN NAPITUPULU 070823047

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2011

PERSETUJUAN

Judul : ANALISIS REPEATED MEASUREMENT PADA DATA LONGITUDINAL DALAM MODEL MATRIKS

KOVARIANS Kategori : SKRIPSI

Nama : ELWIN NAPITUPULU

NIM : 070823047

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di Medan, Juli 2011

Komisi Pembimbing

Pembimbing II Pembimbing I

Drs. Pengarapen Bangun, M.Si Drs. Gim Tarigan, M.Si NIP : 195608151985031005 NIP : 195502021986011001

Diketahui/Disetujui oleh

Departemen Metemetika FIMPA USU Ketua

Prof. Dr. Tulus, M.Si

PERNYATAAN

ANALISIS REPEATED MEASUREMENT PADA DATA LONGITUDINAL DALAM MODEL MATRIKS KOVARIANS

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juli 2011

Elwin Napitupulu NIM : 070823047

PENGHARGAAN

Pertama kali saya mengucapkan segala puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Pengasih dan Pemurah yang telah memeberikan kekuatan dan penyertaanNYA kepada saya, sehingga saya dapat menyelesaikan skripsi ini dengan sebaik-baiknya.

Skripsi ini merupakan salah satu mata kuliah wajib yang harus diselesaikan oleh seluruh mahasiswa/i Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Pada skripsi ini saya mengidentifikasi tentang Analisis Repeated Measurement pada Data Longitudinal dalam Model Matriks Kovarians.

Dalam kesempatan ini saya mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada Bapak Drs. Gim Tarigan, M.Si selaku pembimbing I dan Bapak Drs. Pengarapen Bangun, M.Si selaku pembimbing II yang telah membimbing, mengarahkan, dan memotivasi saya serta memberikan waktu, tenaga, pikiran dan bantuannya kepada saya sehingga skripsi ini dapat selesai tepat waktu.

Selanjutnya saya juga mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku Ketua Departemen Matematika, Bapak Drs. Pengarapen Bangun, M.Si selaku Koordinator Matematika Ekstensi, Bapak Drs, Djakaria Sebayang, M.Si dan Bapak Drs. Rachmad Sitepu, M.Si selaku Penguji Skripsi dan seluruh staf pengajar dan pegawai di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Teristimewa, kepada kedua orangtua saya yang sangat saya sayangi dan hargai yakni Bapak P. Napitupulu dan Ibu R Nababan, serta semua keluarga besar Napitupulu dan semua sahabat-sahabat saya dan semua pihak yang selama ini telah memberikan banyak bantuan doa dan dorongan semangat yang saya perlukan, semoga Tuhan memberkati dan membalas segala kebaikan yang telah diberikan selama ini.

Sebagai Seorang mahasiswa, penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan skripsi ini. Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun sangat diharapkan demi perbaikan penulisan ini dari berbagai pihak yang terkait di dalamnya.

Medan, Juli 2011 Penulis

ABSTRAK

Disain repeated measurement memiliki struktur yang melibatkan eksperimen lebih dari satu pengukuran. Satu subjek atau beberapa subjek yang memiliki karakteristik sama diukur lebih dari sekali dimana waktu merupakan factor dalam struktur perlakuan pada eksperimen tersebut. Hal ini merupakan karakteristik dari data longitudinal, yaitu data yang dikumpulkan dari suatu pengamatan yang diukur berulang dari waktu ke waktu pada unit eksperimen yang sama atau berkarakteristik sama. Untuk menganalisis model data tersebut dibutuhkan suatu metode yang dibedakan berdasarkan asumsi tentang struktur matriks kovariansnya yakni dengan pendekatan univariat. Pada pendekatan univariat, matriks kovarians dari vektor datanya harus berbentuk compound symmetry. Oleh karena itu, uji F yang akan digunakan dalam analisis variansi menjadi valid, sehingga tepat untuk mengambil kesimpulan dari hipotesis suatu pengamatan.

ANALYSIS OF REPEATED MEASUREMENT ON LONGITUDINAL DATA IN COVARIANCE MATRIX MODELS

ABSTRACT

Repeated measurement designs have a structure that involve experimental more than

once times. Each subject is measured over times where times is one of the factor in the treatment structure of the eksperiment. It is a characteristic of longitudinal data, where data are collected in this observation that the same experimental unit is measured repeatedly over times. One of the methods to analysis model may be distinguished on the basis of assumption about the structure of the covariance matrix, it is univariate approach. In the univariate approach, the structure of covariance matrix of data vector has a form of compound symmetry. Thus, F test will be valid in analysis of variance, so that it is correct and true to take conclusions from hypothesis of observation.

DAFTAR ISI

Halaman

PERSETUJUAN ii

PERNYATAAN iii

PENGHARGAAN iv

ABSTRAK v

ABSTRACT vi

DAFTAR ISI vii

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang 1

1.2. Perumusan Masalah 2

1.3. Tujuan Penelitian 2

1.4. Tinjauan Pustaka 3

1.5. Kontribusi Penelitian 4

1.6. Metode Penelitian 5

BAB 2 LANDASAN TEORI

2.1. Repeated Measurement 6

2.2. Data Longitudinal 6

2.3. Matriks 8

2.4. Rata-rata dan Varians 16

2.5. Kovarians 17

2.6. Korelasi 19

2.7. Compound Symmetry 20

2.8. Uji Sphericity ANOVA 21

BAB 3 PEMBAHASAN

3.1 Repeated Measurement pada Data Longitudinal 25 3.2. Formulasi ke dalam Matriks 26 3.3. Formulasi Matriks ke dalam Matriks Kovarians 27 3.4. Korelasi Variabel Matriks 31

3.5. Uji Spericity ANOVA 32

BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN

4.1. Kesimpulan 36

4.2. Saran 36

DAFTAR PUSTAKA

ABSTRAK

Disain repeated measurement memiliki struktur yang melibatkan eksperimen lebih dari satu pengukuran. Satu subjek atau beberapa subjek yang memiliki karakteristik sama diukur lebih dari sekali dimana waktu merupakan factor dalam struktur perlakuan pada eksperimen tersebut. Hal ini merupakan karakteristik dari data longitudinal, yaitu data yang dikumpulkan dari suatu pengamatan yang diukur berulang dari waktu ke waktu pada unit eksperimen yang sama atau berkarakteristik sama. Untuk menganalisis model data tersebut dibutuhkan suatu metode yang dibedakan berdasarkan asumsi tentang struktur matriks kovariansnya yakni dengan pendekatan univariat. Pada pendekatan univariat, matriks kovarians dari vektor datanya harus berbentuk compound symmetry. Oleh karena itu, uji F yang akan digunakan dalam analisis variansi menjadi valid, sehingga tepat untuk mengambil kesimpulan dari hipotesis suatu pengamatan.

ANALYSIS OF REPEATED MEASUREMENT ON LONGITUDINAL DATA IN COVARIANCE MATRIX MODELS

ABSTRACT

Repeated measurement designs have a structure that involve experimental more than

once times. Each subject is measured over times where times is one of the factor in the treatment structure of the eksperiment. It is a characteristic of longitudinal data, where data are collected in this observation that the same experimental unit is measured repeatedly over times. One of the methods to analysis model may be distinguished on the basis of assumption about the structure of the covariance matrix, it is univariate approach. In the univariate approach, the structure of covariance matrix of data vector has a form of compound symmetry. Thus, F test will be valid in analysis of variance, so that it is correct and true to take conclusions from hypothesis of observation.

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Data longitudinal merupakan data yang berbentuk pengukuran berulang (repeated

measurement) pada unit eksperimen yang sama dalam periode waktu tertentu.

Karakteristik data longitudinal adalah suatu individu (subjek, unit sampel) yang diamati dalam periode waktu tertentu lebih dari satu kali atau pengukuran berulang pada suatu individu (subjek, unit sampel). Dalam hal ini data dikumpulkan secara rutin dan diaplikasikan di dalam berbagai bidang, baik bidang pendidikan, perindustrian, pertanian, kesehatan, dan bidang lainnya. Dalam bidang pendidikan misalnya untuk melihat perkembangan seseorang dalam pengetahuan, dalam bidang perindustrian misalnya menguji hasil produksi, dalam bidang pertanian misalnya dalam meneliti pertumbuhan tanaman, dalam bidang kesehatan misalnya menguji kemampuan suatu obat terhadap individu, dan lain sebagainya.

Pada repeated measurement dalam data longitudinal yaitu data yang berbentuk pengamatan yang berulang terhadap unit eksperimen yang sama pada periode waktu tertentu terdapat berbagai pendekatan yang digunakan untuk menganalisis model ini yaitu dengan pendekatan univariat, pendekatan multivariat, dan juga pendekatan model campuran (mixed model). Pada pendekatan univariat terdapat berbagai pendekatan yang digunakan untuk menganalisis model ini yaitu pendekatan dengan menggunakan ANOVA (Analysis of Varians) dan pendekatan multivariat menggunakan MANOVA (Multivariat Analysis of Varians). Dalam hal ini berbagai jenis pertanyaan yang menarik juga dapat dianalisis pada model data longitudinal ini, seperti bagaimana rata-rata respon yang berbeda menjelaskan perlakuan, bagaimana perubahan rata-rata respon dari waktu ke waktu tertentu dan juga bagaimana hubungan antara respon dan waktu.

Melihat hal tersebut tidak dapat sembarangan mengatakan metode untuk menganalisis data longitudinal yang berbentuk repeated measurement tersebut, tentunya harus sesuai dengan karakteristik ataupun permasalahan yang dihadapi. Misalnya saja di dalam menggunakan metode dengan pendekatan univariat dan multivariat, tentu ada perbedaan. Di dalam multivariat tidak membuat asumsi tentang struktur matriks kovariansnya, sedangkan di dalam metode pendekatan univariat membuat asumsi tentang struktur matriks kovarians. Dimana vektor data dari struktur matriks kovariansnya berbentuk compound symmetry.

Oleh karena itu dalam skripsi ini, penulis melakukan analisis terhadap struktur dari repeated measurement pada data longitudinal dalam model matriks kovarians yang dianalisis dengan pendekatan univariat.

1.2. Perumusan Masalah

Permasalahan dalam tulisan ini adalah mengidentifikasi struktur dari repeated

measurement pada data longitudinal dalam model matriks kovarians yang memiliki

bentuk compound symmetry yang dianalisis dengan menggunakan pendekatan univariat.

1.3. Tujuan Penelitian

Adapun yang menjadi tujuan penelitian dalam tulisan ini adalah memperlihatkan struktur dari repated measurement pada data longitudinal dalam model matriks kovarians yang memiliki bentuk compound symmetry serta gambaran dari uji

1.4. Tinjauan Pustaka

Rancangan repeated measurement dapat diaplikasikan untuk mempelajari lebih dari satu pengukuran pada variabel respon yang sama yang dilakukan pada tiap subjek. Sehingga rancangan ini dapat digunakan ketika perlakuan ditetapkan secara acak untuk individu yang sama baiknya pada pengamatan dalam pengukuran berulang yang akan dibuat satu atau lebih grup subjek. Andaikan diketahui model :

ij j i ij

Y =µ+α +β +ε

Diasumsikan bahwa β_j dan ε_ij berdistribusi normal secara independen. Koefisien korelasi antara pengamatan pada dua periode waktu adalah sama dengan dua periode waktu yang ditentukan. Karakteristik ini pada model tersebut dikenal sebagai

compound symmetry. (Clark, 1987).

Compound symmetry ditemukan jika semua elemen diagonal dari matriks

kovarians adalah sama dan semua varians sama pada populasi yang menjadi sampel.

Asumsi yang lebih umum membutuhkan bentuk matriks kovarians tertentu dan eror pengukuran interval waktu dan matriks kovarians dari eror subjek

(

ij ji ijn

)

ij ε ε ε

ε = 1, 2,....,

(

i i in

)

i P P P

P = ₁, ₂,....,

Matriks kovarians dari ε_i dan P_i dinotasikan dengan :

( )

i =Σ

Cov ε

( )

Pi =Λ

Cov

Kondisi yang penting untuk uji F sehingga analisis varians valid maka matriks kovarians harus memiliki bentuk yang compound symmetry. Disain repeated

lebih besar dalam ukuran sampel. Disain repeated measurement ini dikenal dengan baik sebagai bentuk disain eksperimen pretest dan posttest, dengan pengukuran pada subjek yang sama lebih dari satu kali pada interval waktu tertentu dan kemudian dapat dianalisis korelasinya atau ketergantungan satu dengan yang lain. (Miliken and Jhonson 1992)

Asumsi sphericity didapat dari perluasan asumsi homogenety of variance pada ANOVA yang diukur secara independen. Asumsi sphericity adalah sebuah asumsi tentang struktur matriks kovarians dalam disain repeated measurement. Dalam asumsi tersebut semua varians yang berbeda adalah sama pada populasi yang dicontohkan. Secara sederhana, diharapkan varians yang berbeda dari sampel yang diamati menjadi sama jika asumsi sphericity ditemukan. Asumsi sphericity dapat diperiksa dengan menggunakan matriks kovarians. Varians yang berbeda dapat ditentukan dengan menggunakan selisih dari dua variabel (x,y) yakni dengan variance sum law sebagai berikut :

( )

xy y

x y

x S S S

S2₋ = 2 + 2 −2

1.5. Kontribusi Penelitian

Kontribusi Penelitian dalam tulisan ini adalah memberikan gambaran yang jelas mengenai struktur dari repeated measurement pada data longitudinal dalam model matriks kovarians yang berbentuk compound symmetry yang dianalisis dengan pendekatan univariat. Selain itu juga untuk menambah wawasan dan memperkaya literatur dalam bidang statistika terutama mengenai vektor dari data struktur repeated

measurement pada data longitudinal dalam model matriks kovarians dan analisis

1.6. Metode Penelitian

Metode penelitian yang dilakukan dalam tulisan ini adalah bersifat literatur yakni dengan langkah-langkah sebagai berikut :

1. Mengumpulkan bahan yang berkaitan dengan repeated measurement : data longitudinal.

2. Menganalisis bahan-bahan yang sudah terkumpul, dalam hal ini menguraikan struktur dari repeated measurement pada data longitudinal dalam model matriks kovarians yang memiliki bentuk compound symmetry, kemudian dengan memperlihatkan korelasi antara variabel-variabel dan uji sphericity ANOVA.

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1. Repeated Measurement

Dalam repeated measurement setiap perlakuan menunjukkan pengukuran terhadap satu sampel (unit eksperimen ) atau beberapa sampel yang memiliki karakter sama dalam kondisi yang berbeda. Waktu merupakan salah satu faktor dalam struktur perlakuan eksperimen. Dengan repeated measurement data diperoleh sangat kompleks dimana pengamatan terhadap respon yang diambil disetiap unit eksperimen yang sama pada beberapa kondisi terhadap waktu yang berbeda.

Dalam kasus ini, pengukuran terhadap sampel (unit ekperimen) yang sama atau beberapa sampel dengan karakteristik yang sama membuat perbedaan antar sampel (unit eksperimen) dapat diminimalkan atupun dihilangkan, sehingga uji statistik yang dilakukan menjadi valid.

Rancangan repeated measurement dapat diaplikasikan untuk mempelajari lebih dari satu pengukuran pada variabel respon yang sama yang dilakukan pada setiap subjek. Sehingga rancangan ini dapat digunakan ketika perlakuan ditetapkan secara acak untuk individu yang sama baiknya pada pengamatan dalam pengukuran berulang yang dibuat satu atau lebih grup subjek.

2.2. Data Longitudinal

Keterangan atau ilustrasi mengenai sesuatu hal bisa berbentuk kategori, misalnya : rusak, baik, senang, puas, berhasil, gagal, dan sebagainya. Kesemuanya ini dinamakan

data atau lengkapnya data statistik. Data yang baru dikumpulkan dan belum pernah

mengalami pengolahan apapun dikenal dengan nama data mentah.

Data yang berbentuk bilangan disebut data kuantitatif. Harganya berubah-ubah atau bersifat variabel. Dari nilainya, dikenal dua golongan data kuantitatif ialah data dengan variabel diskrit atau data diskrit dan data dengan variabel kontinu atau singkatnya data kontinu. Hasil menghitung atau membilang merupakan data diskrit sedangkan hasil pengukuran merupakan data kontinu.

Data yang dikategorikan menurut lukisan kualitas objek yang dipelajari merupakan data kualitatif. Data longitudinal merupakan data yang berbentuk pengukuran yang berulang (repated measurement) pada unit eksperimen yang sama dalam periode waktu tertentu. Adapun karakteristik data longitudinal adalah individu (subjek, unit sampel) diamati dalam suatu periode waktu tertentu lebih dari satu kali atau pengukuran berulang pada suatu individu (subjek, unit sampel).

Untuk tujuan eksploratori data longitudinal, sebaiknya tampilkan data mentah sebanyak mungkin bukan hanya meringkas, kemudian identifikasilah baik pada pola

cros-sectional maupun longitudinal dan identifikasi individu atau observasi yang tidak

biasa (outliers). Hal ini akan mempermudah dalam melihat dengan lebih jelas seperti apa keberadaan data yang sedang dihadapi dan dapat menggunakan metode yang tepat dalam penganalisisannya. Sehingga hasilnya dapat diperoleh dengan tepat dan sesuai dengan apa yang diharapkan.

Sangat baik menggunakan notasi tertentu untuk menggambarkan data dan pokok persoalan yang penting. Data-data yang telah dianalisis polanya kemudian dapat diselesaikan secara matematis. Dengan pengukuran berulang, observasi data yang cukup rumit dalam beberapa observasi dari hasil yang diambil pada tiap unit eksperimen bersama-sama sehingga hubungan yang rumit pada akhirnya memungkinkan untuk diringkas. Notasi-notasi yang sering digunakan dalam data longitudinal adalah i untuk menyatakan individu (i = 1,2,…N), observasi yang dilakukan pada individu i dilambangkan dengan k (k = 1,2,…n), total observasi

randomnya dinotasikan dengan Yik, Yi = (Yi1,...Yin), Y = (Y1,…,Ym) dan untuk respon observasi dinotasikan dengan yik,y = ( yi1,…yin), y = (y1,…,ym). variabel penjelas dinotasikan dengan xik = (xik1,…,xikp)t, vektor berukuran p x 1 dan Xi = (xi1,…,xin), matriks berukuran ni x p. Anggap Yik = hasil pengukuran (observasi) ke-k pada unit eksperimen (individu) ke-i.

Untuk meringkas waktu terjadinya dapat dinotasikan tik sebagai suatu waktu dimana pengukuran ke-k unit eksperimen i telah terjadi. Jika pengukuran berulang dilakukan pada unit eksperimen yang sama, maka untuk unit eksperimen i jika dilakukan 5 kali pengukuran dapat diperoleh respon observasi dari unit eksperimen tersebut seperti yang dinotasikan dalam bentuk vektor berikut :

Hal penting yang dapat dilihat dalam hal ini adalah bahwa memungkinkan untuk menggambarkan hasil untuk subjek i secara keseluruhan sebagai vektor, dengan demikian dapat dilihat seluruh hasil observasinya dengan tepat dan efisien. Dapat dilihat juga bahwa tiap subjek dapat memiliki vektor respon tersendiri. Hal ini penting untuk dapat memikirkan bahwa data tidak hanya sebagai respon individu untuk satu subjek, tetapi dapat digabungkan respon subjek yang saling berhubungan dalam seluruh vektor respon. Ini juga menunjukkan bahwa akan sangat baik menggunakan notasi matriks untuk meringkaskan data longitudinal.

2.3. Matriks

2.3.1. Pengertian dan Jenis-Jenis Matriks

Matriks dinotasikan dengan huruf kapital. Defenisi matriks itu sendiri adalah kumpulan elemen-elemen atau susunan bilangan real yang disusun menurut baris dan

kolom sehingga berbentuk empat persegi panjang, dimana panjangnya dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom-kolom dan baris-baris, dan dibatasi oleh tanda [ ], ( ).

Apabila suatu matriks A yang merupakan susunan bilangan real yang terdiri dari m baris dan n kolom, maka matriks A secara umum dapat ditulis sebagai berikut :

atau disingkat dengan (aij), i = 1, 2,…, m dan j = 1, 2,…, n

Contoh :

Suatu matriks A yang terdiri dari m baris = 2 dan n kolom =3, dimana :

a11 = 4, a12 = 2, a13 = 5

a21 = 3, a22 = 1, a23 = 3

Sehingga matriks A dapat ditulis sebagai berikut :

A2x3 =

Beberapa jenis-jenis matriks adalah sebagai berikut :

1. Matriks bujur sangkar (square matrix)

Matriks bujur sangkar adalah suatu matriks dimana banyaknya m baris sama dengan banyaknya n kolom atau m = n, dan nilai dari m atau n menunjukkan ordo dari matriks tersebut.

Dapat ditulis

A =

2. Matriks Segitiga Atas dan Segitiga Bawah

Suatu matriks A yang mempunyai elemen aij = 0 untuk i > j disebut matriks segitiga atas dan bila aij = 0 untuk i < j disebut matriks segitiga bawah, jadi :

Matriks Segitiga Atas Matriks Segitiga Bawah

3. Matriks diagonal, Skalar, dan Satuan

Matriks diagonal adalah suatu matriks dimana semua elemen-elemen di luar diagonal utama mempunyai nilai 0 dan paling sedikit satu elemen pada diagonal utama 0. Jadi jika matriks A = (aij) dimana i = j =1, 2,…, n sehingga

D = (dij), i = j = 1, 2,…, n

Dij = 0, untuk i .

Maka matriks A disebut matriks diagonal dan biasanya diberi symbol D, dimana n menunjukkan ordo dari matriks tersebut, sehingga secara umum matriks diagonal dapat dituliskan sebagai berikut :

Matriks D merupakan suatu matriks diagonal, selain itu matriks identitas juga merupakan suatu matriks diagonal.

Bila pada matriks diagonal D terdapat aii = k (k adalah skalar untuk i = 1, 2, …, n), maka disebut matriks skalar dan jika k = 1 disebut matriks satuan yang disingkat dengan In atau I saja, jadi

Matriks Skalar Matriks Satuan

4. Matriks simetris

Matriks simetris adalah suatu matriks bujur sangkar dimana banyaknya m baris sama dengan banyaknya n kolom atau m = n menunjukkan ordo dari matriks tersebut. Apabila matriks A = (aij), i = 1, 2,…, n dan dimana aij = aji untuk semua nilai i dan j, maka matriks A disebut matriks simetris (symmetry matrix).

Contoh :

Suatu matriks simetris dari matriks A berordo 3, dengan

aij = aji

a12 = a21 = 2

a13 = a31 = 3

maka :

A3x3 =

5. Transpose matriks

Transpose suatu matriks A(mxn) adalah suatu matriks yang mana elemen-elemen nya diperoleh dari elemen-elemen matriks A(mxn) dengan syarat bahwa baris-baris dan kolom-kolom matriks menjadi kolom-kolom dan baris-baris dari matriks yang baru, dengan kata lain baris ke-i dari matriks A(mxn) menjadi kolom ke-i dari matriks baru. Biasanya transpose matriks A(mxn) dinotasikan dengan At atau .

Misalkan :

Suatu transpose matriks dari matriks A berordo 3,

A3x3 = Sehingga At = =

Contoh :

Suatu transpose matriks dari matriks A berordo 3,

2.3.2. Operasi dan Sifat Matriks

a. Operasi penjumlahan dan Pengurangan matriks

Beberapa bentuk matriks dapat dijumlahkan dan dikurangkan, bila matriks tersebut memiliki ordo yang sama. Pada operasi penjumlahan dan pengurangan suatu matriks, operasi dilakukan dengan menjumlahkan atau mengurangkan elemen-elemen pada entri yang bersesuaian.

1. Penjumlahan Matriks

Dalam penjumlahan matriks elemen-elemen pada entri yang bersesuaian atau elemen yang seletak dijumlahkan

Misalkan :

A = , B =

maka, A + B

2. Pengurangan Matriks

Begitu pula pada pengurangan matriks, operasi pengurangan dilakukan pada elemen-elemen yang seletak atau pada entri yang bersesuaian

Misalkan :

A = , B =

b. Operasi Perkalian matriks

Apabila Amxn = (aij) yaitu matriks dengan m baris dan n kolom, Bnxp = (bij) matriks dengan n baris dan p kolom, maka perkalian matriks AxB = Cmxp, yaitu matriks dengan

m baris dan n kolom, dimana elemen C pada baris ke-i dan kolom ke-j diperoleh

dengan rumusan :

Cij = ai1bi1 +…+ ainbnj Atau

Cij = , dengan : i = 1, 2,…, m

j = 1, 2,…, p

Misalkan :

A = , B =

A2x3xB3x3 = C2x3

C =

C11 = (elemen-elemen baris pertama A) dikali (elemen-elemen kolom pertama B) kemudian dijumlahkan dan seterusnya.

C11 = a11b11 + a21b21 + a13b13 = C12 = a11b12 + a12b22 + a13b32 =

C13 = a11b13 + a12b23 + a13b31 = C21 = a21b11 + a22b21 + a23b31 =

C22 = a21b12 + a22b22 + a23b32 = C23 = a21b13 + a22b23 + a23b33 =

Sehingga :

c. Sifat Matriks

1. Determinan Matriks

Untuk setiap matriks persegi terdapat suatu bilangan tertentu yang disebut determinan. Pengertian determinan matriks adalah jumlah semua hasil perkalian elementer yang bertanda dari A dan dinyatakan dengan det (A).

Yang dimaksud dengan perkalian elementer yang bertanda dari matriks A adalah sebuah hasil perkalian elementer pada suatu kolom dengan +1 atau -1. Untuk lebih jelasnya diuraikan sebagai berikut :

Jika matriks , maka det (A) = |A| =

2. Adjoin Matriks

Adjoin matriks A adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut. Dilambangkan dengan Adj A = (kij)t.

, maka Adj A =

3. Invers Matriks

Matriks-matriks persegi A dan B sedemikian hingga AB = BA = I, maka A disebut invers B ditulis B-1 dan sebaliknya B adalah invers A ditulis A-1 sehingga berlaku AA-1 = A-1A = I, dimana I adalah matriks identitas.

2.4. Rata-rata dan Varians

Rata-rata dalam sebuah sampel dihitung dengan jalan membagi jumlah nilai data oleh banyak data. Rata-rata sampel disimbolkan dengan sedangkan untuk populasi disimbolkan ( ). Jika terdapat sampel yang terdiri dari x1, x2, x3,…, xn yang diambil dari sampel acak suatu pengamatan, maka diperoleh rata-rata sampel pengamatan sebagai berikut :

Rata-rata sampel merupakan sebuah ukuran pemusatan yang dapat menampilkan data dari sampel acak suatu pengamatan dan ini digunakan sebagai penduga ukuran pemusatan rata-rata populasi. Dan rata-rata populasi ( ) dapat didefenisikan sebagai ekspektasi dari variabel acak, sebagai berikut :

Ukuran simpangan yang sering digunakan adalah simpangan baku atau deviasi standar. Pangkat dua dari simpangan baku dinamakan varians. Untuk sampel simpangan baku diberi simbol s dan untuk populasi diberi simbol . Beberapa jenis varians ialah varians sampel yang dilambangkan (s2) dan varians populasi yang dilambangkan dengan ( ).

Untuk sampel berukuran n dengan data x1, x2,…, xn, maka varians sampel X, yaitu :

Varians sampel merupakan sebuah ukuran penyebaran yang dapat menampilkan ringkasan data dari suatu sampel pengamatan, dan ini digunakan

sebagai penduga penyebaran dari varians populasi. Dan varians populasi ( ) dari x adalah

Dimana varians populasi di atas menyatakan deviasi kuadrat dari rata-rata dalam populasi.

2.5. Kovarians

Kovarians adalah pengukuran dua variabel acak xi dan xj bervariasi secara bersama. Setiap variabel acak xi dan xj, secara bersama berturut-turut memiliki rata-rata i dan

j. Kovarians antara xi dan xj dapat didefenisikan sebagai berikut :

Jika xi dan xj bebas, maka keduanya tidak berkorelasi, artinya ,

sehingga atau dengan kata lain

Dan variabel acak x, adalah dirinya sendiri

= =

Matriks kovarians adalah matriks yang memiliki elemen varians-kovarians dari dua variabel acak. Matriks kovarians disimbolkan dengan , sehingga matriks kovarians dari variabel acak X dapat dirumuskan sebagai berikut :

Dirumuskan,

=

=

=

Dengan untuk i, j = 1, 2,…, p

Sehingga , maka matriks disebut matriks kovarians dari x dengan catatan bahwa sehingga adalah simetris dan berbentuk matriks bujur sangkar.

2.6. Korelasi

Data hasil pengamatan terdiri dari banyak variabel, ialah berapa kuat hubungan antara variabel-variabel itu terjadi. Dengan kata lain, perlu dtentukan derajat hubungan antara variabel-variabel atau korelasi. Ukuran yang dipakai untuk mengetahui derajat hubungan atau korelasi dinamakan koefisien korelasi. Hubungan ini dapat dilihat dengan mengukur tingkat asosiasinya. Tingkat asosiasi ini dinyatakan dengan koefisien korelasi . Koefisien korelasi populasi antara xi dan xj adalah

Dengan i, j, = 1, 2,…, p

Sehingga,

adalah kovarians antara variabel acak xi dan xj. dan adalah varians untuk masing-masing populasi xi dan xj. dan adalah koefisien korelasi populasi antara populasi xi dan xj.

Jika , maka , artinya tingkat asosiasi (hubungan) positif sempurna.

Sehingga : =

Dan apabila disubtitusikan ke rumus koefisien korelasi maka menjadi

.

Jika , maka artinya tingkat asosiasi (hubungan) negatif sempurna, dan jika , maka , artinya xi dan xj independen. Ukuran korelasi dapat ditulis .

Tabel 1.1 Interpretasi dari nilai

Interpretasi 0 Tidak berkorelasi 0,01 - 0,20 Sangat rendah 0,21 – 0,40 Rendah 0,41 – 0,60 Agak rendah 0,61 – 0,80 Cukup 0,81 – 0,99 Tinggi

1 Sangat tinggi

2.7. Compound Symmetry

Jadi, jika compound symmetry dijumpai maka uji sphericity juga dijumpai. Jika kovarians sama dan varians sama pada matriks kovarians maka uji sphericity tidak menjadi masalah lagi. Namun, karena compound symmetry adalah syarat yang harus tepat maka uji sphericity masih perlu diteliti jika compound symmetry tidak dijumpai. Namun asumsi sphericity terkadang tidak dipenuhi dalam ANOVA pada repeatad

measurement.

Compound symmetry ditemukan jika semua kovarians elemen diagonal utama

menjadi sampel. Secara sederhana compound symmetry dapat digambarkan sebagai berikut :

Matriks kovarians ini memiliki sebuah struktur yang khusus, bahwa varians respon dari pada waktu j adalah satu dan semua respon dikorelasikan sama tanpa menghiraukan seberapa jauh atau seberapa dekat respon tersebut dalam waktu.

2.8. Uji Sphericity ANOVA

Asumsi sphericity didapat dari perluasan asumsi homogeneity of variance pada ANOVA yang diukur secara independen. Asumsi sphericity adalah sebuah asumsi tentang struktur matriks kovarians dalam disain repeated measurement. Dalam asumsi tersebut semua variansi yang berbeda adalah sama pada populasi yang dicontohkan. Secara sederhana, diharapkan variansi yang berbeda dari sampel yang diamati menjadi sama jika asumsi sphericity ditemukan. Asumsi sphericity dapat diperiksa dengan menggunakan matriks kovarians. Variansi yang berbeda dapat ditentukan dengan menggunakan selisih dari dua variabel (x,y), sehingga diperoleh :

Dengan kata lain, variansi yang berbeda adalah jumlah dari dua varians dikurangkan dengan dua kali kovariansnya.

Sphericity merupakan sebuah asumsi matematis dalam disain repeated measurement ANOVA. Misalnya pada disain ANOVA yang paling sederhana yakni

secara independen, salah satu asumsi matematisnya adalah bahwa keragaman (variasi) populasi dan subpopulasi tersebut adalah sama.

Lebih kurangnya asumsi homogeneity of variance dari hipotesis null dijadikan penguji dalam ANOVA, jika perlakuan tidak memiliki pengaruh kepada susunan yang diukur maka dapat dianggap bahwa semua grup yang menjadi sampel adalah dari populasi yang sama.

Analisis variansi adalah suatu analisis yang digunakan untuk menguji tingkat keseragaman data yang akan diambil kesimpulan nantinya, apabila asumsi dalam model statistik pada persamaan :

tepat dan pengamatan tersebut berdistribusi normal, inilah yang menjadi dasar dari uji

F yang digunakan pada analisis variansi, sehingga uji hipotesis akan menjadi valid.

Seperti pada persamaan tersebut, didapat bentuk tabel ANOVA yang memiliki tiga subskrip yakni yang menyatakan pengukuran unit ke-h pada grup ke-i dan waktu ke-j.

Didefenisikan :

, merupakan rata-rata sampel untuk semua pengamatan.

, merupakan rata-rata sampel untuk tiap unit pada waktu j dalam grup i.

, merupakan rata-rata sampel untuk semua pengamatan pada grup i.

, merupakan rata-rata sampel untuk semua sampel pengamatan pada waktu j.

Dimana asumsi analisis variansi :

= rata-rata keseluruhan = efek perlakuan = galat

Dengan merupakan variabel acak dari , dengan parameter model dan perkiraaan kuadrat terkecil.

Sehingga :

Dimana merupakan perkiraan dari dan perkiraan , serta yang merupakan perkiraan pada galat .

Maka table analisis variansi dapat dibentuk sebagai berikut :

Tabel 1.2 Tabel ANOVA

Sumber Variansi Sum of squares (SS) Degree of Freedom

Treatments

Residual (error)

Total (corrected) 1

Dengan hipotesis : H0 :

: Setiap pengukuran yang dilakukan member hasil yang sama dan tidak terdapat keragaman (variasi) pupolasi dan sub populasi yang sama.

H1 :

: Paling sedikit terdapat sepasang pengukuran yang dilakukan memberi hasil yang tidak sama dan terdapat keragaman (variasi) populasi dan sub populasi yang sama.

Kriteria pengujian :

Tolak H0 jika Terima H0 jika

Dan statistik pengujian :

BAB 3 PEMBAHASAN

3.1. Repeated Measurement pada Data Longitudinal

Pengamatan repeated measurement pada data longitudinal dalam kasus ini adalah data yang seimbang (balance), dimana pengukuran setiap unit eksperimen terjadi pada n waktu yang sama untuk semua unit, tidak ada penyimpangan dari waktu atau nilai yang hilang untuk untuk beberapa unit. Jadi setiap individu dihubungkan pada vektor acak dengan n dimensi, elemen ke-i dapat disamakan untuk respon yang diukur pada waktu ke-j.

Model yang akan digambarkan pada data longitudinal :

Dengan :

= pengamatan unit ke-h grup ke-i pada waktu j.

h = 1,…, ri , ri menotasikan jumlah unit pada grup i. jadi h menyatakan unit pada bagian grup.

i = 1,…, q indeks grup. j = 1,…, n indeks waktu. = rata-rata keseluruhan.

= penyimpangan rata-rata grup i dari rata-rata keseluruhan. = penyimpangan pada waktu j.

= efek interaksi grup i pada waktu j.

= efek random yang menyatakan penyimpangan yang disebabkan oleh diukur pada unit ke-h grup ke-i.

= eror random yang menyatakan penyimpangan yang disebabkan oleh eror pengukuran dan sumber variasi dalam subjek.

Jadi jumlah seluruh unit eksperimen adalah

Asumsi pengamatan pada suatu pengukuran berulang (repeated measurement) pada data longitudinal dalam bidang pertanian yaitu mengamati pertumbuhan tanaman jagung dengan jenis pupuk yang berbeda yang secara khusus dapat diperoleh sebagai berikut,

Dengan :

X : jenis-jenis pupuk yaitu

x1 = NPK, x2 = ZA, x3 = Urea, x4 = Growmore & x5 = ABG maxi

f(X) : pertumbuhan tinggi tanaman jagung yang diamati pada minggu pertama sampai minggu kelima, dimana nilai f(X) terdiri dari nilai X pada setiap pengukuran.

Waktu X Treatment

x11 x12 x13 x14 x15

Minggu 1 f(x) 4 1 2 1 2

Minggu 2 f(x) 5 1 4 2 3

Minngu 3 f(X) 5 2 7 3 3

Minggu 4 f(X) 6 3 7 9 5

Minggu 5 f(X) 7 4 8 9 12

3.2. Formulasi ke dalam Matriks

Notasi sangat diperlukan untuk meringkas data longitudinal dalam repeated

measurement, sehingga dapat dimodelkan ke dalam suatu persamaan yang baik.

Adapun notasi yang digunakan adalah notasi matriks, dimana elemen matriksnya biasanya menggunakan 2 subskrip yang terdiri dari m baris dan n kolom.

Data pengamatan tersebut dapat diformulasikan ke dalam matriks sebagai berikut :

X =

3.3. Formulasi Matriks ke dalam Matriks Kovarians

Matriks kovarians merupakan matriks yang memiliki elemen varians-kovarians dari dua variabel acak. Matriks kovarians yang disimbolkan dengan yang dirumuskan :

Dengan :

Dan,

=

=

=

Untuk i, j = 1, 2,…, p

Sehingga :

= = (2)2 = 4

= = = -2

=

= = 0

= = = 0

= = = 0

=

= = 4

= = = -2

= = = 3

= = = 0

= = 9

= = = -1

= = = 0

= = = 9

= = = -1

=

= = 16

Maka kovarians dari matriks X sebagai berikut :                 − − − − − − − − = 16 1 0 0 0 1 9 1 3 0 0 1 9 2 0 0 3 2 4 2 0 0 0 2 4 ) ( X Cov

3.4. Korelasi Variabel Matriks

Hubungan antara elemen-elemen matriks ini dapat dilihat dengan mengukur tingkat asosiasinya. Tingkat asosiasi ini dinyatakan dengan koefisien korelasi . Koefisien korelasi tersebut dapat dirumuskan :

jj ii ij ij σ σ σ ρ =

Untuk i, j = 1, 2,…, p

                      = pp pp pp pp p pp p pp p pp p σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σσ σ σσ σ σ σ σ σσ σ σσ ρ        22 2 11 1 22 2 22 22 22 11 22 21 11 1 22 11 12 11 11 11 Sehingga,                             − − − − − − − − = 16 16 16 9 16 1 9 16 0 4 16 0 4 16 0 16 9 1 9 9 9 9 9 1 4 9 3 4 9 0 16 9 0 9 9 1 9 9 9 4 9 2 4 9 0 16 4 0 9 4 3 9 4 2 4 4 4 4 4 2 16 4 0 9 4 0 9 4 0 4 4 2 4 4 4 ρ

                  − − − − − − − − = 1 12 1 0 0 0 12 1 1 9 1 2 1 0 0 9 1 1 3 1 0 0 2 1 3 1 1 2 1 0 0 0 2 1 1 ρ

Karena σ_i =σ_j, maka ρ_ij =1, dari subtitusi rumus koefisien korelasi, maka tingkat asosiasinya positif sempurna. Sehingga elemen-elemen matriks saling berhubungan dan terlihat bahwa struktur dari repeated measurement pada data longitudinal dalam model matriks kovarians berbentuk compound symmetry.

3.5. Uji Sphericity ANOVA

Asumsi sphericity merupakan asumsi tentang struktur matriks kovarians dalam disain

repeated measurement ANOVA. Dalam ANOVA yang diukur secara independen,

salah satu asumsi matematisnya adalah bahwa keragaman sub populasi adalah sama. Dimana asumsi variansi yang homogen dari hipotesis null yaitu

0 : _{1 2}

0 = = = n =

H τ τ  τ

: Setiap pengukuran yang dilakukan member hasil yang sama dan tidak terdapat keragaman (variasi) pupolasi dan sub populasi yang sama.

0 : 1 2

1 ≠ ≠ ≠ n ≠

H τ τ  τ

: Paling sedikit terdapat sepasang pengukuran yang dilakukan memberi hasil yang tidak sama dan terdapat keragaman (variasi) populasi dan sub populasi yang sama.

yang dijadikan pengujian dalam ANOVA sebagai berikut :

) ( )

( i _ij i

ij x x x x x

Sehinggga :                 =                 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 12 9 8 4 7 5 9 7 3 6 3 3 7 2 5 3 2 4 1 5 2 1 2 1 4 +

observation (xij) = mean ( x )

                − − − − − − − − − − − − − − − 4 , 3 4 , 3 4 , 3 4 , 3 4 , 3 4 , 1 4 , 1 4 , 1 4 , 1 4 , 1 6 , 0 6 , 0 6 , 0 6 , 0 6 . 0 6 , 1 6 , 1 6 , 1 6 , 1 6 , 1 6 , 2 6 , 2 6 , 2 6 , 2 6 , 2 +                 − − − − − − − − − − − 4 1 0 4 1 1 3 1 3 0 1 1 3 2 1 0 1 1 2 2 0 1 0 1 2

Treatment effect (xi −x) + Residual (x_ij−xi)

Sehingga :

= 42 + 12 + + + 122 = 731

= 4,62 + 4,62 + + + 4,62 = 529

= (-2,6)2 + (-2,6)2 + + +3,42 = 116

= 22 + (-1)2 + + + 42 = 86

731 = 529 + 116 + 86

= 116 + 86 = 202

Maka tabel ANOVA dapat dibentuk sebagai berikut :

Tabel 1.3 Tabel ANOVA Sumber

Variansi Sum of Squares (SS) Degree of Freedom (d.f)

Treatments

Residual

SStr = 116

SSres = 86

q – 1 = 5 – 1 = 4

Total SScor = 202

Sehingga,

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa :

Dari perhitungan , sehingga H0 ditolak. Hal ini berarti paling sedikit terdapat sepasang pengukuran yang dilakukan memberi hasil yang tidak sama dan terdapat keragaman populasi dan sub populasi yang sama, sehingga asumsi homogenety of variance dari hipotesis dijadikan pengujian dalam ANOVA dengan signifikan.

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1. Kesimpulan

1. Apabila bentuk compound symmetry ditemui dalam matriks kovarian yang memenuhi asumsi sphericity dalam repeated measurement, maka uji F yang digunakan dalam analisis variansi menjadi valid.

2. Memiliki korelasi dengan tingkat asosiasi positif sempurna antara variabel-variabel yang dibandingkan.

3. Apabila perlakuan sedikit maka galatnya juga akan kecil, maka analisis univariat akan sangat cocok di dalam menganalisis repeated measurement pada data longitudinal.

4.2. Saran

Dalam repeated measurement dengan pendekatan univariat ANOVA, apabila bentuk

compound symmetry dalam matriks kovarians tidak ditemukan sehingga tidak

memenuhi asumsi sphericity, biasanya dilakukan pendekatan yang lain yaitu pendekatan multivariate ANOVA (MANOVA).

DAFTAR PUSTAKA

Baguley, Thom. Dr . 2004. An Introduction of Sphericity.

Davidan, M. 2001. Applied Longitudinal Data Analisis. Carolin : Departement of Statistics Nort Carolina University.

Dunn, O. J dan Clark, V. A. 1987. Applied Statistic : Analysis of Variance

and Regression. Second Edition. New York : John Wiley & Sons.

Johnson, R. A dan Wichern, D. W. 2007. Applied Multivariate Statistical

Analysis. Sixth Edition. Canada : Pearson Prentice Hall.

Milikend and Johnson. 1992. Analysis of Messy Data Vol I Designed

Experiment. New York : Chapman and Hall.

Rendall R dan Barcikawski. . Sphericity Test and Repeated Measures Data.

Sianipar, P. 1995. Aljabar Linier. Medan : Intan Dirja Lela.

Sudjana. Prof. Dr. M. A, M.Sc. 1996. Metoda Statistika. Bandung : PT. Tarsito.

Supranto, J. M. A. 1998. Pengantar Matriks. Jakarta : PT. Bineka Cipta.

Supranto, J. Prof. M. A, APU. 2004. Analisis Multivariat Arti dan

Interpretasi. Jakarta : PT. Asdi Mahasatya.

Gorgula, O. Dr. dan Sahinler, S. Prof. Dr. Sphericity Test and Repeated

Measures Data. Mustafa Kemal University, Fakulty

Antakya/Hatay.

      

 

      

 

−

− −

− −

− −

− =

1 12 1 0

0 0

12 1 1

9 1 2 1 0

0 9 1 1

3 1 0

0 2

1 3 1 1

2 1

0 0

0 2 1 1

ρ

Karena σ_i =σ_j, maka ρ_ij =1, dari subtitusi rumus koefisien korelasi, maka tingkat asosiasinya positif sempurna. Sehingga elemen-elemen matriks saling berhubungan dan terlihat bahwa struktur dari repeated measurement pada data longitudinal dalam model matriks kovarians berbentuk compound symmetry.

3.5. Uji Sphericity ANOVA

Asumsi sphericity merupakan asumsi tentang struktur matriks kovarians dalam disain repeated measurement ANOVA. Dalam ANOVA yang diukur secara independen, salah satu asumsi matematisnya adalah bahwa keragaman sub populasi adalah sama. Dimana asumsi variansi yang homogen dari hipotesis null yaitu

0 : _{1 2}

0 = = = n =

H τ τ  τ

: Setiap pengukuran yang dilakukan member hasil yang sama dan tidak terdapat keragaman (variasi) pupolasi dan sub populasi yang sama.

0 : 1 2

1 ≠ ≠ ≠ n ≠

H τ τ  τ

: Paling sedikit terdapat sepasang pengukuran yang dilakukan memberi hasil yang tidak sama dan terdapat keragaman (variasi) populasi dan sub populasi yang sama.

yang dijadikan pengujian dalam ANOVA sebagai berikut :

) ( )

( i _ij i

ij x x x x x

Sehinggga :                 =                 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 6 , 4 12 9 8 4 7 5 9 7 3 6 3 3 7 2 5 3 2 4 1 5 2 1 2 1 4 +

observation (xij) = mean ( x )

                − − − − − − − − − − − − − − − 4 , 3 4 , 3 4 , 3 4 , 3 4 , 3 4 , 1 4 , 1 4 , 1 4 , 1 4 , 1 6 , 0 6 , 0 6 , 0 6 , 0 6 . 0 6 , 1 6 , 1 6 , 1 6 , 1 6 , 1 6 , 2 6 , 2 6 , 2 6 , 2 6 , 2 +                 − − − − − − − − − − − 4 1 0 4 1 1 3 1 3 0 1 1 3 2 1 0 1 1 2 2 0 1 0 1 2

Treatment effect (xi −x) + Residual (x_ij−xi)

Sehingga :

= 42 + 12 + + + 122 = 731

= 4,62 + 4,62 + + + 4,62 = 529

= (-2,6)2 + (-2,6)2 + + +3,42 = 116

= 22 + (-1)2 + + + 42 = 86

731 = 529 + 116 + 86

= 116 + 86 = 202

Maka tabel ANOVA dapat dibentuk sebagai berikut :

Tabel 1.3 Tabel ANOVA Sumber

Variansi Sum of Squares (SS) Degree of Freedom (d.f)

Treatments

Residual

SStr = 116

SSres = 86

q – 1 = 5 – 1 = 4

Total SScor = 202

Sehingga,

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa :

Dari perhitungan , sehingga H0 ditolak. Hal ini berarti paling sedikit terdapat sepasang pengukuran yang dilakukan memberi hasil yang tidak sama dan terdapat keragaman populasi dan sub populasi yang sama, sehingga asumsi homogenety of variance dari hipotesis dijadikan pengujian dalam ANOVA dengan signifikan.

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1. Kesimpulan

1. Apabila bentuk compound symmetry ditemui dalam matriks kovarian yang memenuhi asumsi sphericity dalam repeated measurement, maka uji F yang digunakan dalam analisis variansi menjadi valid.

2. Memiliki korelasi dengan tingkat asosiasi positif sempurna antara variabel-variabel yang dibandingkan.

3. Apabila perlakuan sedikit maka galatnya juga akan kecil, maka analisis univariat akan sangat cocok di dalam menganalisis repeated measurement pada data longitudinal.

4.2. Saran

Dalam repeated measurement dengan pendekatan univariat ANOVA, apabila bentuk compound symmetry dalam matriks kovarians tidak ditemukan sehingga tidak memenuhi asumsi sphericity, biasanya dilakukan pendekatan yang lain yaitu pendekatan multivariate ANOVA (MANOVA).

DAFTAR PUSTAKA

Baguley, Thom. Dr . 2004. An Introduction of Sphericity.

Davidan, M. 2001. Applied Longitudinal Data Analisis. Carolin : Departement of Statistics Nort Carolina University.

Dunn, O. J dan Clark, V. A. 1987. Applied Statistic : Analysis of Variance and Regression. Second Edition. New York : John Wiley & Sons.

Johnson, R. A dan Wichern, D. W. 2007. Applied Multivariate Statistical Analysis. Sixth Edition. Canada : Pearson Prentice Hall.

Milikend and Johnson. 1992. Analysis of Messy Data Vol I Designed Experiment. New York : Chapman and Hall.

Rendall R dan Barcikawski. . Sphericity Test and Repeated Measures Data.

Sianipar, P. 1995. Aljabar Linier. Medan : Intan Dirja Lela.

Sudjana. Prof. Dr. M. A, M.Sc. 1996. Metoda Statistika. Bandung : PT. Tarsito.

Supranto, J. M. A. 1998. Pengantar Matriks. Jakarta : PT. Bineka Cipta.

Supranto, J. Prof. M. A, APU. 2004. Analisis Multivariat Arti dan Interpretasi. Jakarta : PT. Asdi Mahasatya.

Gorgula, O. Dr. dan Sahinler, S. Prof. Dr. Sphericity Test and Repeated Measures Data. Mustafa Kemal University, Fakulty Antakya/Hatay.