13
Statistika
letak data. Sebenarnya ukuran letak data dalam statistika sangat banyak. Namun, untuk saat ini, kita hanya akan membahas tentang
kuartil dan desil saja.
1. Kuartil
Kuartil adalah tiga nilai yang membagi data yang sudah
diurutkan menjadi empat bagian yang sama banyak. Ketiga nilai itu adalah:
a. median
atau kuartil kedua Q
2
, yaitu nilai yang membagi data yang sudah diurutkan dari terkecil ke terbesar menjadi
dua bagian yang sama banyak. b.
kuartil pertama atau kuartil bawah Q
1
, yaitu nilai tengah dari semua data yang nilainya kurang dari kuartil kedua Q
2
. c.
kuartil ketiga atau kuartil atas Q
3
, yaitu nilai tengah dari semua data yang nilainya lebih besar dari kuartil kedua Q
2
. Secara umum, dapat dikatakan sebagai berikut. Ingat, data
sudah terurut sesuai statistik peringkatnya. 1
Sampai dengan Q
1
, terdapat 25 data dari data keseluruhan. 2
Dari Q
1
sampai Q
2
, terdapat 25 data dari data keseluruhan. 3
Dari Q
2
sampai Q
3
, terdapat 25 data dari data keseluruhan. 4
Ada 25 data dari data keseluruhan data yang berada di atas Q
3
.
Gambar 1.3 Posisi kuartil
x
1
Q
1
Q
2
Q
3
x
n
25 25
25 25
Contoh:
Susunlah statistik peringkatnya, kemudian tentukan nilai statistik minimum, kuartil bawah Q
1
, median Q
2
, kuartil atas Q
3
, dan statistik maksimum dari data berikut. a.
3, 5, 1, 4, 2, 7, 9, 6, 6, 8, 7 b.
2, 3, 3, 8, 8, 9, 7, 6, 5, 7, 7, 4
Penyelesaian:
a. Statistik peringkat data tersebut tampak pada diagram di bawah ini.
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
x
8
x
9
x
10
x
11
1 2
3 4
5 6
7 8
9 6
7
Q
1
Q
2
Q
2
Dari bagan statistik peringkat di atas, dapat dilihat dengan jelas bahwa kuartil bawah Q
1
= x
3
= 3; kuartil tengah Q
2
= x
6
= 6; kuartil atas Q
3
= x
9
= 7.
Di unduh dari : Bukupaket.com Sumber buku : bse.kemdikbud.go.id
14
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
b. Statistik peringkat data tersebut tampak pada bagan berikut.
Dalam soal ini, banyaknya data adalah 12 genap sehingga nilai-nilai kuartilnya tidak tepat berada pada datum tertentu seperti digambarkan pada bagan di atas.
Oleh karena itu, nilai kuartil bawah Q
1
, median Q
2
, dan kuartil atas Q
3
dari data di atas dapat dihitung sebagai rataan dua datum seperti berikut.
5 3
2 4
3 2
4 3
1
, x
x Q
= +
= +
= Q
1
berada di antara x
3
dan x
4
. 5
6 2
7 6
2
7 6
2
, x
x Q
= +
= +
= Q
2
berada di antara x
6
dan x
7
. 5
7 2
8 7
2
10 9
3
, x
x Q
= +
= +
= Q
3
berada di antara x
9
dan x
10
.
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
x
8
x
9
x
10
x
11
3 3
4 5
6 7
8 8
7 7
Q
1
Q
2
Q
3
x
12
2 9
Untuk suatu data dengan ukuran cukup besar, nilai-nilai kuartil dapat ditentukan dengan pola interpolasi yang dirumuskan
sebagai berikut. Misalkan suatu data berukuran n dapat dituliskan sebagai
x
1
, x
2
, ..., x
n
. Nilai-nilai data tersebut sudah diurutkan dari datum yang paling kecil ke datum yang paling besar.
a. Kuartil pertama Q
1
merupakan nilai yang membagi data sehingga banyaknya data yang lebih kecil daripada Q
1
adalah
1 4
n dan banyaknya data yang lebih besar daripada Q
1
adalah
3 4
n. Dengan demikian, kuartil pertama Q
1
terletak pada urutan ke-
1 4
1 n
. +
b. Kuartil kedua Q
2
merupakan nilai yang membagi data sehingga banyaknya data yang lebih kecil daripada Q
2
adalah
2 4
n dan banyaknya data yang lebih besar daripada Q
2
adalah
2 4
n. Oleh karena itu, kuartil kedua Q
2
merupakan nilai yang terletak pada urutan ke-
2 4
1 n
. +
c. Kuartil ketiga Q
3
merupakan nilai yang membagi data sehingga banyaknya data yang lebih kecil daripada Q
3
adalah
3 4
n dan banyaknya data yang lebih besar daripada Q
3
adalah
1 4
n. Dengan demikian, kuartil ketiga Q
3
merupakan nilai yang terletak pada urutan ke-
3 4
1 n
. +
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas Median dan kuartil atas
dari data pengamatan 9, 11, 7, 11, 13, 7, 12,
13, 10, 6, 10 berturut- turut adalah ....
a. 9 dan 11
b. 9 dan 11
1 2
c. 10 dan 11
1 2
d. 10 dan 12 e.
10
1 2
dan 12
Soal SPMB, Kemam- puan Dasar, 2003
Di unduh dari : Bukupaket.com Sumber buku : bse.kemdikbud.go.id
15
Statistika
Oleh karena itu, secara umum untuk i = 1, 2, 3 dan n 4 dapat dirumuskan bahwa letak kuartil ke-i Q
i
adalah Letak Q
i
= datum ke- 1
4 +
n i
Untuk menentukan nilai kuartil ke-i, perhatikan nilai letak Q
i
. Misalnya, letak Q
i
= datum ke-3 maka nilai Q
i
= x
3
. Bagaimana jika nilai letak Q
i
= datum ke-3
2 1
? Keadaan seperti ini menun- jukkan bahwa Q
i
terletak di antara x
3
dan x
4
. Oleh karenanya, nilai Q
i
= x
3
+
2 1
x
4
–x
3
. Hal ini juga berlaku untuk letak Q
i
= datum ke-4
1 4
yang mempunyai nilai Q
i
= x
4
+
4 1
x
5
– x
4
.
Tentukan nilai kuartil bawah, kuartil tengah, dan kuartil atas dari data terurut berikut. a.
3 7 7 7 8 8 9 10 11 11 11 b.
2 2 3 3 5 6 6 7 7 7 7 8 9 c.
3 4 5 6 8 9 9 10 11 12
Penyelesaian:
a. Karena data tersebut sudah terurut naik, kita dapat menentukan nilai Q
1
, Q
2
, dan Q
3
sebagai berikut n = 11. •
Letak Q
1
= datum ke- 4
1 111 +
= datum ke-3 Karena datum ke-3 adalah 7 maka Q
1
= 7. •
Letak Q
2
= datum ke- 4
1 211 +
= datum ke-6 Karena datum ke-6 adalah 8 maka Q
2
= 8. •
Letak Q
3
= datum ke- 4
1 311+
= datum ke-9 Karena datum ke-9 adalah 11 maka Q
3
= 11. b.
Data tersebut sudah terurut naik sehingga kita dapat menentukan nilai Q
1
, Q
2
, dan Q
3
n = 13. •
Letak Q
1
= datum ke- 4
1 113 +
= datum ke-3
2 1
Hal ini menunjukkan bahwa letak Q
1
berada di antara datum ke-3 dan ke-4. Karena datum ke-3 x
3
= 3 dan datum ke-4 x
4
= 3 maka Q
1
= x
3
+
2 1
x
4
– x
3
= 3 +
2 1
3 – 3 = 3.
Contoh:
Di unduh dari : Bukupaket.com Sumber buku : bse.kemdikbud.go.id
16
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
• Letak Q
2
= datum ke- 4
1 213 +
= datum ke-7 Karena datum ke-7 = 6 maka Q
2
= x
7
= 6. •
Letak Q
3
= datum ke- 4
1 313 +
= datum ke-10
2 1
Berarti, Q
3
berada di antara datum ke-10 dan ke-11. Karena datum x
10
= 7 dan x
11
= 7 maka Q
3
= x
10
+
2 1
x
11
– x
10
= 7 +
2 1
7 – 7 = 7 c.
Data di atas juga sudah terurut naik dengan n = 10 genap. Letak Q
1
= datum ke- 1 10 1
4 +
= datum ke-2
4 3
Hal ini berarti Q
1
terletak di antara datum ke-2 dan ke-3. Karena x
2
= 4 dan x
3
= 5 maka Q
1
= x
2
+
4 3
x
3
– x
2
= 4 +
4 3
5 – 4 = 4,75 Dengan cara yang sama, akan diperoleh Q
2
= 8,5 dan Q
3
= 10,25. Coba kalian tunjukkan.
2. Desil
