Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 7 Peubah Acak

Definisi 5 Ukuran Peluang Misalkan Ω adalah ruang contoh suatu percobaan dan F adalah medan- σ pada Ω. Suatu fungsi P yang memetakan unsur – unsur F ke himpunan bilangan nyata  , atau P:F   disebut ukuran peluang jika:

1. P tak negatif, yaitu untuk setiap A

∈F, PA ≥0.

2. P bersifat aditif tak hingga, yaitu jika

1 2 , , A A ∈F dengan , j k A A    j k  , maka   1 1 . n n n n A A             P P 

3. P bernorma satu, yaitu P

Ω=1. Pasangan Ω, F, P disebut ruang ukuran peluang atau ruang probabilitas. Hogg et al. 2005 Definisi 6 Kejadian Saling Bebas Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika: P A ∩B=PAPB. Secara umum, himpunan kejadian   ; i A i I  dikatakan saling bebas jika:   i i i J i J A A           P P  untuk setiap himpunan bagian J dari I. Grimmet and Stirzaker 1992

2.2. Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 7 Peubah Acak

Misalkan Ω adalah ruang contoh dari suatu percobaan acak. Fungsi X yang terdefinisi pada Ω yang memetakan setiap unsur ω∈Ω ke satu dan hanya satu bilangan real X ω disebut peubah acak. Ruang dari X adalah himpunan bagian bilangan real A     ; , x x X       . Hogg et al. 2005 Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya X, Y, Z. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil. Definisi 8 Peubah Acak Diskret Peubah acak X dikatakan diskret jika semua himpunan nilai dari peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah. Hogg et al. 2005 Definisi 9 Fungsi Sebaran Misalkan X adalah peubah acak dengan ruang A. Misalkan kejadian   , A X    A, maka peluang dari kejadian A adalah     . X X x F x   P Fungsi X F disebut fungsi sebaran dari peubah acak X. Hogg et al. 2005 Definisi 10 Fungsi Massa Peluang Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi   : 0,1 p   yang diberikan oleh :     . X p x X x   P Hogg et al. 2005 Definisi 11 Peubah Acak Poisson Suatu peubah acak X disebut peubah acak Poisson dengan parameter λ, λ 0 jika fungsi massa peluangnya diberikan oleh:   k X p k e k     , untuk 0,1, . k   Ross 2007 Lema 1 Jumlah Peubah Acak Poisson Misalkan X dan Y adalah peubah acak yang saling bebas dan memiliki sebaran Poisson dengan parameter berturut–turut 1  dan 2  . Maka X + Y memiliki sebaran Poisson dengan parameter 1 2    . Taylor and Karlin 1984 Bukti: lihat Lampiran1. 2.3. Momen, Nilai Harapan, dan Ragam Definisi 12 Nilai Harapan Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang   X p x . Nilai harapan dari X, dinotasikan dengan   X E , adalah     X X xp x   E jika jumlah di atas konvergen mutlak. Hogg et al. 2005 Definisi 13 Ragam Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang   X p x dan nilai harapan   X E . Ragam dari X, dinotasikan dengan   Var X atau 2 X  , adalah             2 2 2 = . X X x X X x X p x      E E E Hogg et al. 2005 Definisi 14 Momen ke–k Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen ke-k atau k m dari peubah acak X adalah   k k m X  E . Hogg et al. 2005 Definisi 15 Momen Pusat ke–k Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen pusat ke-k atau k  dari peubah acak X adalah     1 . k k X m    E Hogg et al. 2005 Nilai harapan dari peubah acak X juga merupakan momen pertama dari X. Nilai harapan dari kuadrat perbedaan antara peubah acak X dengan nilai harapannya disebut ragam atau variance dari X. Ragam merupakan momen pusat ke-2 dari peubah acak X. Definisi 16 Fungsi Indikator Misalkan A adalah suatu kejadian. Fungsi indikator dari A adalah suatu fungsi   0,1 A    I , yang diberikan oleh :   1, jika A 0, jika A. A          I Grimmet and Stirzaker 1992 Dengan fungsi indikator kita dapat menyatakan hal berikut :   A A  EI P .

2.4. Kekonsistenan Penduga