sebarang waktu t merupakan fungsi tak konstan dari t yaitu
t
.
Ross 2007
Definisi 30 Intensitas Lokal Intrensitas lokal dari suatu proses Poisson tak
homogen X dengan fungsi intensitas λ pada
titik s adalah
s
, yaitu nilai fungsi λ
di s. Cressie 1993
Definisi 31 Fungsi Periodik
Suatu fungsi λ disebut periodik jika
s k
s
untuk semua s dan
k
. Konstanta terkecil τ yang memenuhi
persamaan di atas disebut periode dari fungsi λ tersebut.
Browder 1996
Definisi 32 Proses Poisson Periodik Proses Poisson periodik adalah suatu proses
Poisson tak
homogen yang
fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik.
Mangku 2001
2.7. Beberapa Definisi dan Lema Teknis Definisi 33 Fungsi Terintegralkan Lokal
Fungsi intensitas λ disebut terintegralkan lokal, jika untuk sembarang himpunan Borel
terbatas B diperoleh
B
B s ds
. Dudley 1989
Definisi 34 O. Simbol “big-oh” ini merupakan cara untuk
membandingkan besarnya dua fungsi
u x
dan
v x
, dengan x menuju suatu limit L. Notasi
, u x
O v x x
L
, menyatakan bahwa
u x v x
terbatas, untuk x L
. Serfling 1980
Definisi 35 o. Suatu fungsi f disebut
o h
, untuk
h
, jika
lim
h
f h h
. Hal ini menyatakan bahwa
f h
lebih cepat dari
h
. Ross 2007
Dengan menggunakan Definisi 34 dan Definisi 35 diperoleh hal berikut :
i Suatu barisan bilangan nyata
n
a
disebut terbatas dan ditulis
1
n
a O
untuk n
, jika ada bilangan terhingga A dan B sehingga
n
A a
B
, untuk semua bilangan asli n.
ii Suatu barisan
n
b
yang konvergen ke nol untuk
n , dapat ditulis
1
n
b o
, untuk n .
Purcell and Varberg 1998
Definisi 36 Titik Lebesgue Titik s disebut titik Lebesgue dari suatu fungsi
λ jika berlaku
1 lim
2
h h
h
x s
s dx h
. Syarat cukup agar s
titik Lebesgue bagi λ adalah fungsi λ kontinu di s.
Wheeden and Zygmund 1977
Lema 2 Formula Young dari Teorema Taylor
Misalkan g mempunyai turunan ke-n yang terhingga pada suatu titik x, maka
1 k
n n
k k
g x
g y g x
y k
o y x
k
untuk y x
.
Bukti: lihat Serfling 1980. Lema 3 Pertaksamaan Chebyshev
Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan
μ dan ragam
2
, maka untuk setiap
k
,
2 2
X k
k
P .
Bukti: lihat Lampiran2.
III. HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1. Perumusan Masalah
Misalkan N adalah suatu proses Poisson non-homogen pada interval
0,
dengan fungsi intensitas λ yang tidak diketahui.
Fungsi ini diasumsikan terintegralkan lokal dan merupakan hasil kali dari dua komponen,
yaitu komponen periodik atau komponen siklik dengan periode
yang dikalikan
dengan komponen tren kuadratik, yang juga tidak diketahui. Dengan kata lain, untuk
sebarang titik
0, s
, kita dapat
menuliskan fung si intensitas λ sebagai
berikut
2 c
s s
as
1 dengan
c
s
adalah fungsi periodik dengan periode
τ dan a merupakan koefisien dari tren kuadratik.
Persamaan 1 dapat juga ditulis menjadi
2 c
s a
s s
2
dengan
c
a s
adalah fungsi periodik. Jika
dinotasikan
c c
s a
s
, maka persamaan 2 dapat ditulis menjadi
2
.
c
s s
s
3 Karena
c
adalah fungsi periodik, maka persamaan berikut
c c
s s
k
4 berlaku untuk setiap
0, s
dan k
,
dengan
adalah himpunan bilangan bulat.
Karena s diketahui, maka masalah pendugaan fungsi intensitas
s
dapat disederhanakan menjadi
masalah pendugaan
komponen periodik
c
s
. Karena
c
s
adalah fungsi periodik dengan periode
τ, maka untuk menduga
c
s
pada
0, s
cukup diduga
nilai
c
s
pada
0, s
. Pada
karya ilmiah
ini dipelajari
penyusunan penduga konsisten bagi
c
s
untuk
0, s
, dengan hanya menggunakan realisasi tunggal
N
dari suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas
s
seperti pada persamaan 3, yang diamati pada
interval
0, n .
3.2. Perumusan Penduga
Penduga bagi
c
s
pada
0, s
dapat dirumuskan sebagai berikut
, 2
1 ˆ
, 0,
2
c n k
n n
n
s n
s k
N s
k h s
k h
n h
5 dengan
0, N
n menyatakan banyaknya
kejadian pada interval
0, n dan
n
h adalah
barisan bilangan real positif yang konvergen menuju nol, yaitu
n
h
6 untuk n . Pada penduga di atas,
n
h disebut bandwidth.
Untuk menyusun penduga diperlukan data
0, N
n , yaitu data realisasi proses Poisson
pada interval
0, n , dengan n bilangan real dan n harus relatif besar dibandingkan periode
τ. Fungsi intensitas
s
dapat didekati dengan rata-rata banyaknya kejadian di sekitar
s atau pada interval
,
n n
s h s h
. Oleh
karena itu, penduga bagi
s
, dinotasikan dengan
ˆ s
, diperoleh dengan menentukan rata-rata banyaknya kejadian di sekitar s.
Secara matematis dapat ditulis menjadi
, ˆ
2
n n
n
N s
h s h
s h
. 7 Berdasarkan sifat keperiodikan
c
pada persamaan 4, maka didapatkan penduga
komponen periodik fungsi intensitas λ di sekitar s
k
, yaitu
ˆ
c
s
yang menyatakan rata-rata banyaknya kejadian di sekitar s
k
dibagi
2
s k
. Secara matematis dapat ditulis menjadi
2
, ˆ
2
n n
c n
N s k
h s k
h s
s k
h
. 8
Data yang diamati pada interval
0, n . Dinotasikan
n n
menyatakan banyaknya bilangan bulat k sehingga
0, s k
n
.
