Proses Poisson LANDASAN TEORI

dengan       Bias U U g    E .

2.5. Proses Stokastik Definisi 23 Proses Stokastik

Proses stokastik     , X X t t T   adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state S. Ross 2007 Jadi untuk setiap t pada himpunan T,   X t adalah suatu peubah acak. Kita sering menginterpretasikan t sebagai state keadaan dari proses pada waktu t. Definisi 24 Proses Stokastik Waktu Kontinu Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T adalah suatu interval. Ross 2007 Definisi 25 Inkremen Bebas Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu     , X X t t T   disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua 1 2 n t t t t      , peubah acak           1 2 1 , , , n X t X t X t X t X t       1 n X t  adalah bebas. Ross 2007 Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak tumpang tindih tidak overlap adalah bebas. Definisi 26 Inkremen Stasioner Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu     , X X t t T   disebut memiliki inkremen stasioner jika     X s t X t   memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t. Ross 2007 Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen stasioner jika sebaran distribusi dari perubahan nilai antara sebarang dua titik hanya tergantung pada jarak antara kedua titik tersebut, dan tidak tergantung dari lokasi titik– titik tersebut.

2.6. Proses Poisson

Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson. Pada proses ini kecuali dinyatakan secara khusus, dianggap bahwa himpunan indeks T adalah interval bilangan tak negatif, yaitu   0,  . Definisi 27 Proses Pencacahan Suatu proses stokastik     , N t t  disebut proses pencacahan jika   N t menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t. Dari definisi tersebut, maka suatu proses pencacahan   N t harus memenuhi syarat– syarat berikut : i   N t  untuk semua   0, . t   ii Nilai   N t adalah integer. iii Jika s t  maka     , N t N s    , 0, . s t   iv Untuk s t  maka     N t N s  sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang   , s t . Ross 2007 Definisi 28 Proses Poisson Suatu proses pencacahan     , N t t  disebut proses Poisson dengan laju λ, λ0, jika dipenuhi tiga syarat berikut : i   N  . ii Proses tersebut memiliki inkremen bebas. iii Banyaknya kejadian pada sebarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran distribusi Poisson dengan nilai harapan t  . Jadi untuk semua , t s  ,         k t e t N s t N s k k         P , 0,1, k   . Ross 2007 Dari syarat iii dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen stasioner. Dari syarat ini juga dapat diperoleh:     N t t   E . Definisi 29 Proses Poisson tak Homogen Suatu proses Poisson     , N t t  disebut proses Poisson tak homogen jika laju λ pada sebarang waktu t merupakan fungsi tak konstan dari t yaitu   t  . Ross 2007 Definisi 30 Intensitas Lokal Intrensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen X dengan fungsi intensitas λ pada titik s   adalah   s  , yaitu nilai fungsi λ di s. Cressie 1993 Definisi 31 Fungsi Periodik Suatu fungsi λ disebut periodik jika     s k s      untuk semua s   dan k   . Konstanta terkecil τ yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi λ tersebut. Browder 1996 Definisi 32 Proses Poisson Periodik Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson tak homogen yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik. Mangku 2001

2.7. Beberapa Definisi dan Lema Teknis Definisi 33 Fungsi Terintegralkan Lokal