Bukti: Misalkan
L x
f
c x
lim
dan
K x
f
c x
lim
. Akan ditunjukkan bahwa K
L . Diberikan
sebarang, maka terdapat
,
2 1
sehingga: i.
2
L x
f
, untuk setiap
f
D x
dengan
1
c
x
. ii.
2
K x
f
, untuk setiap
f
D x
dengan
2
c
x
. Apabila diambil
2 1
, min
maka untuk setiap
f
D x
dengan
c x
berlaku:
K x
f x
f L
K L
Hal ini berarti K
L .█
Contoh 3.1.5 Tunjukkan bahwa
x x
x
lim
tidak ada.
Penyelesaian: Untuk
x
,
1 lim
lim
x x
x x
x x
Sementara, untuk
x
,
1 lim
lim
x x
x x
x x
Karena nilai limit tidak tunggal maka
x x
x
lim
tidak ada.█
3.2 Teknik Aljabar Untuk Menghitung Limit
Sifat-sifat dasar limit yang dinyatakan dalam beberapa teorema berikut ini sangat diperlukan dalam hitung limit. Dengan berbagai pertimbangan bukti teorema tidak disertakan dalam buku ini.
63
Teorema 3.1.4 Jika
lim x
f
c x
ada maka nilainya tunggal.
Teorema 3.2.1 i.
A A
c x
lim
,
R
c A,
. ii.
c x
c x
lim
.
Contoh 3.2.3
a.
6 lim
7 lim
2 lim
6 7
2 lim
2 2
2 2
i 2
. 2
. 3
2 2
x x
x x
x x
x x
6 2
. 7
2 .
2 6
lim lim
7 lim
2 6
lim lim
7 lim
2
2 1
. 2
. 3
2 2
2 2
v.a 2
. 2
. 3
2 2
2 2
ii 2
. 2
. 3
x x
x x
x x
x x
x x
b.
1 2
lim .
7 lim
1 2
7 lim
1 1
iii 2
. 2
. 3
1
x x
x x
x x
x
64
Teorema 3.2.2 Jika
lim x
f
c x
dan
lim x
g
c x
keduanya ada dan
R
k
maka berlaku pernyataan- pernyataan berikut:
i.
lim lim
lim x
g x
f x
g x
f
c x
c x
c x
ii.
lim lim
x f
k x
kf
c x
c x
iii.
lim .
lim lim
x g
x f
x g
x f
c x
c x
c x
iv.
lim lim
lim x
g x
f x
g x
f
c x
c x
c x
, asalkan
lim
x g
c x
v. Untuk
N
n
: a.
n c
x n
c x
x f
x f
lim lim
b.
n c
x n
c x
x f
x f
lim
lim
, asalkan
lim
x f
c x
c.
n c
x n
c x
x f
x f
1 1
lim lim
, asalkan untuk n genap
lim
x f
c x
7 1
1 .
2 1
. 7
1 2
lim lim
7
1 1
v.c ii
2 .
2 .
3
x x
x x
c.
3 1
2 1
. 5
3 1
. 2
2 5
lim 3
2 lim
2 5
3 2
lim
1 1
iv 2
. 2
. 3
1
x x
x x
x x
x
.█
Contoh 3.2.4 Hitung
4 2
3 lim
2 2
2
x x
x
x
.
Penyelesaian: Karena limit penyebut sama dengan 0, maka Teorema 3.2.2 iv tidak dapat digunakan.
Akan tetapi, hal ini bukan berarti limit di atas tidak ada. Pada soal di atas, yang akan dihitung adalah nilai limit untuk x mendekati 2, bukan nilai untuk x sama dengan 2. Oleh karena itu, dengan memanfaatkan
teknik-teknik aljabar, untuk
2
x
diperoleh:
2 1
2 2
1 2
4 2
3
2 2
x
x x
x x
x x
x x
Sehingga:
4 1
2 2
1 2
2 1
lim 4
2 3
lim
iv 2
. 2
. 3
2 2
2 2
x x
x x
x
x x
.█
Contoh 3.2.5 Tentukan
1 1
lim
1
x x
x
. Penyelesaian:
2 1
1 1
lim 1
1 1
lim 1
1 lim
1 1
1
x x
x x
x x
x x
x
.█
Contoh 3.2.6 Tentukan
16 8
lim
4 3
2
x x
x
.
Penyelesaian:
3 2
2 3
2 2
2 4
4 3
3 2
4 3
2
2 2
. 2
. 2
2 2
. 2
lim 2
2 lim
16 8
lim
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x
65
8 3
8 8
8 8
4 4
4 8
4 2
4 2
lim
2 3
2 2
x x
x x
x
x
.█
Pada contoh-contoh di atas telah digambarkan bagaimana teknik-teknik aljabar dapat digunakan untuk menyelesaikan soal hitung limit. Namun demikian tidak semua soal limit dapat diselesaikan dengan
cara demikian. Sebagai contoh, misalnya
x x
x
sin lim
. Dalam berbagai hal, teorema di bawah ini sangat membantu dalam penyelesaian soal hitung limit.
Contoh 3.2.8 Tentukan
x x
x
1 sin
lim
.
Penyelesaian: Untuk
x
,
1 1
sin
x
. Oleh karena itu, untuk
x
berlaku:
x x
x x
x
1
sin 1
sin
Hal ini berakibat:
x x
x x
1
sin
Selanjutnya, karena
lim lim
x x
x x
maka
1 sin
lim
x x
x
.█
Soal Latihan
Untuk soal 1 – 6, tunjukkan pernyataan berikut dengan definisi limit.
66
Teorema 3.2.7 Teorema Apit Misalkan f, g, dan h fungsi-fungsi sehingga
x h
x g
x f
untuk semua x di dalam interval terbuka yang memuat c, kecuali mungkin di c. Jika
L x
h x
f
c x
c x
lim lim
maka
L x
g
c x
lim
.
1.
3 2
lim
1
x
x
2.
2 1
1 lim
2
x
x
3.
1 lim
2 1
x
x
4.
2 1
2 lim
x x
x
5.
2 lim
4
x
x
6.
2 1
1 lim
2 1
x x
x
7. Jika
,
1 ,
1 x
x x
f
, tunjukkan bahwa
lim x
f
x
tidak ada.
Untuk soal 8 – 20, hitunglah masing-masing limit jika ada. 8.
20 lim
2 5
x
x
9.
1 3
lim
2 2
x x
x
10.
3 2
lim
x x
x
11.
4 8
2 lim
2 2
2
x x
x
x
12.
1 1
lim
1
x x
x
13.
8 64
lim
3 6
2
x x
x
14.
1 1
lim
3 4
1
s s
s
15.
u u
u
1 1
lim
2 3
1
16.
2 2
1
1 3
2 lim
x x
x
17.
5 3
4 lim
2 2
2
x x
x
18.
a x
a x
n n
a x
lim
19.
a x
a x
n n
a x
lim
20.
h x
h x
h
lim
21.
2 2
1 1
lim
2
x x
x
22.
x x
x
1 1
lim
3
3.3 Limit Satu Sisi
