BAB III LIMIT DAN FUNGSI KONTINU
3.1 Pengertian Limit 3.2 Teknik Aljabar Untuk Menghitung Limit
3.3 Limit Satu Sisi 3.4 Limit Tak Hingga dan Limit Menuju Tak Hingga
3.5 Limit Fungsi Trigonometri 3.6 Bilangan Alam
3.7 Fungsi Kontinu
Konsep limit mempunyai peranan yang sangat penting di dalam kalkulus dan berbagai bidang matematika. Oleh karena itu, konsep ini sangat perlu untuk dipahami. Meskipun pada awalnya konsep
limit sukar untuk dipahami, tetapi dengan sedikit bantuan cara numeris kemudian konsep ini bisa dimengerti. Dan kenyataannya, setelah dipraktekkan masalah hitung limit relative mudah. Mengingat hal
itu, maka pada bagian pertama Bab ini limit diterangkan secara intuitive numeris. Kemudian pada bagian selanjutnya, dikembangkan teknik penghitungan limit.
3.1 Pengertian Limit
Terlebih dahulu diperhatikan fungsi
3
2
x x
f
. Grafik
x f
y
diberikan pada Gambar 3.1.1 di bawah ini.
58
Apa yang terjadi dengan
x f
apabila x cukup dekat dengan 2? Perhatikan table 3.1.1 berikut.
Tabel 3.1.1 x
3
2
x x
f
x
3
2
x x
f
3 12 1,5
5,25 2,05
7,2025 1,95 6,8025
2,001 7,004001 1,999
6,996001 2,0001
7,00040001 1,9999 6,99960001
Dari table terlihat bahwa apabila x cukup dekat dengan 2, maka
x f
mendekati 7. Hal ini tidak mengherankan, karena apabila dihitung
7 3
2 2
2
f
. Dalam hal ini dikatakan bahwa limit fx x mendekati 2 sama dengan 7, ditulis:
7 lim
2
x f
x
Selanjutnya, perhatikan fungsi f yang ditentukan oleh rumus:
1 1
2
x
x x
f
59
Gambar 3.1.1
●
2 7
Fungsi f tersebut tidak terdefinisikan di x = 1 karena di titik ini fx berbentuk . Tetapi masih dapat
dipertanyakan apa yang terjadi pada fx bilamana x mendekati 1 tetapi
1
x
. Untuk
1
x
,
1 1
1 1
1 1
2
x g
x x
x x
x x
x f
Dari table 3.1.2 di bawah terlibat bahwa apabila x cukup dekat dengan 1, maka nilai
x f
mendekati 2. Jadi,
2 1
1 lim
2 1
x x
x
Tabel 3.1.2 x
1 1
1
2
x
x x
x f
x
1 1
1
2
x
x x
x f
60
○
a. b.
1
Gambar 3.1.2
2 3 0,5
1,5 1,05
2,05 0,99 1,99
1,001 2,001 0,999975
1,999975 1,00000017
2,00000017 0,9999999 1,9999999
Dari beberapa uraian di atas, berikut diberikan definisi limit.
Secara matematis definisi di atas dapat ditulis sebagai berikut.
Catatan: Pada definisi limit di atas, fungsi f tidak perlu terdefinisikan di c. Limit fx untuk x mendekati
c mungkin ada walaupun f tidak terdefinisikan di c.
Contoh 3.1.2 Buktikan bahwa
4
lim
x
2x –5 = 3.
Penyelesaian:
|2x –5 – 3| = |2x – 8| = |2x – 4| = |2| |x – 4| = 2|x – 4|
61
Definisi 3.1.1 Limit fx x mendekati c sama dengan L, ditulis:
L x
f
c x
lim
jika untuk setiap x yang cukup dekat dengan c, tetapi
c x
, maka fx mendekati L.
L x
f
c x
lim
jika untuk setiap bilangan 0 yang diberikan berapapun kecilnya terdapat bilangan
0 sehingga untuk setiap
f
D x
dengan
c x
berlaku
L x
f
.
Diberikan bilangan 0 sebarang. Apabila diambil = 2, maka untuk setiap x di dalam domain f yang
memenuhi 0 |x – 4| berlaku:
|2x – 5 – 3| = 2 |x – 4| 2 = 2.2 = .█
Contoh 3.1.3 Buktikan bahwa untuk c 0,
c x
c x
lim
.
Penyelesaian:
3.1.1
c x
c x
c x
c x
c x
c x
Ditinjau x 0 dengan sifat
2 c
c x
. Menurut ketidaksamaan segitiga:
2 2
c c
c c
x c
x x
Hal ini berakibat: 3.1.2
2 c
x
Selanjutnya, dari 3.1.1 dan 3.1.2 diperoleh:
c c
x c
x c
x c
x 3
2
,
untuk setiap x0. Diberikan bilangan 0 sebarang. Apabila diambil
2
3 ,
2 min
c c
maka untuk setiap x0 dengan
c x
berlaku:
c
c x
c x
c x
c x
3 2
Jadi, untuk setiap 0 terdapat δ0 sehingga untuk setiap x0 dengan
c x
berlaku:
c
c x
c x
c x
c x
3 2
.█
Agar bisa lebih mendalami hitung limit, berikut diberikan sifat-sifat dasar limit.
62
Bukti: Misalkan
L x
f
c x
lim
dan
K x
f
c x
lim
. Akan ditunjukkan bahwa K
L . Diberikan
sebarang, maka terdapat
,
2 1
sehingga: i.
2
L x
f
, untuk setiap
f
D x
dengan
1
c
x
. ii.
2
K x
f
, untuk setiap
f
D x
dengan
2
c
x
. Apabila diambil
2 1
, min
maka untuk setiap
f
D x
dengan
c x
berlaku:
K x
f x
f L
K L
Hal ini berarti K
L .█
Contoh 3.1.5 Tunjukkan bahwa
x x
x
lim
tidak ada.
Penyelesaian: Untuk
x
,
1 lim
lim
x x
x x
x x
Sementara, untuk
x
,
1 lim
lim
x x
x x
x x
Karena nilai limit tidak tunggal maka
x x
x
lim
tidak ada.█
3.2 Teknik Aljabar Untuk Menghitung Limit
Kategori