Contoh 3.3.7 Tentukan
lim
2
x f
x
jika diketahui:
2 ,
2 ,
x x
x x
x f
Penyelesaian:
2 lim
lim
2 2
x x
f
x x
2 lim
lim
2 2
x x
f
x x
Jadi,
2 lim
2
x f
x
.█
3.4 Limit Tak Hingga dan Limit Menuju Tak Hingga
Terlebih dahulu diperhatikan masalah hitung limit berikut:
2
1 lim
x
x
. Untuk nilai-nilai x yang cukup
dekat dengan 0, maka nilai-nilai
2
1 x
x f
diberikan pada table berikut ini.
Tabel 3.4.1 x
2
1 x
x
2
1 x
1 1 −1
1 0,5
4 −0,5 4
0,01 10.000 −0,01
10.000 0,0001
100.000.000 −0,0001 100.000.000
0,000005 40.000.000.000 −0,000005
40.000.000.000
71
Dari Tabel 3.4.1 di atas dapat dilihat bahwa apabila nilai x semakin dekat dengan 0, maka nilai
2
1 x
x f
menjadi semakin besar. Bahkan nilai
2
1 x
x f
akan menjadi besar tak terbatas apabila x mendekati 0,
baik dari sisi kiri maupun dari sisi kanan. Grafik fungsi
2
1 x
x f
dapat dilihat pada Gambar 3.4.1.
Dalam hal ini, dikatakan bahwa limit fx x menuju nol sama dengan tak hingga, ditulis:
lim x
f
x
Secara sama mudah diperlihatkan:
2
1 lim
x
x
Selanjutnya, diperoleh definisi berikut:
72 2
1 x
x f
Gambar 3.4.1
Secara matematis, Definisi di atas dapat ditulis sebagai:
Contoh 3.4.2
a.
1 1
lim
1
x
x
b.
1 1
1 lim
1 lim
2 2
3
x x
x x
x x
.
Di atas telah diterangkan pengertian limit untuk
c x
, dengan c suatu bilangan berhingga. Akan tetapi, dalam berbagai aplikasi sering ditanyakan bagaimana nilai
x f
apabila nilai x cukup besar. Sebagai contoh, bagaimana nilai
x x
f 1
apabila nilai x cukup besar? Tabel 3.4.2 di bawah memperlihatkan nilai f untuk berbagai nilai x. Ternyata semakin besar nilai x arah positif, nilai
x f
semakin kecil mendekati nol. Dalam hal ini dikatakan:
1 lim
x
x
Tabel 3.4.2
a b
x
x x
f 1
x
x x
f 1
10 0,1
−1 −1
73
Definisi 3.4.1 i. jika untuk setiap x cukup dekat dengan c, tetapi , maka fx menjadi besar tak
terbatas arah positif. ii. jika untuk setiap x cukup dekat dengan c, tetapi , maka fx menjadi besar tak terbatas arah
negatif.
atau −∞ jika untuk setiap bilangan real terdapat bilangan real sehingga untuk setiap dengan sifat berlaku atau
1.000.000 0,000001
−1.000.000 −0,000001
5.000.000 0,0000002
−5.000.000 −0,0000002
100.000.000 0,00000001
−100.000.000 −0,00000001
Secara sama, apabila x besar tak terbatas arah negative ternyata berakibat
x f
mendekati nol, yaitu:
1 lim
x
x
Kemudian dapat diturunkan pengertian limit menuju tak hingga. Hal itu dituliskan dalam definisi berikut.
Secara matematis, Definisi 3.4.3 dapat ditulis sebagai:
Mudah ditunjukkan bahwa:
1 lim
x
x
dan
1 lim
x
x
74
Definisi 3.4.3 i.
L x
f
x
lim
jika
x f
terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup besar arah positif dan jika x menjadi besar tak terbatas arah positif maka
x f
mendekati L. ii.
lim x
f
x
jika
x f
terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup besar arah negatif dan jika x menjadi besar tak terbatas arah negatif maka
x f
mendekati L.
i.
L x
f
x
lim
jika untuk setiap bilangan real
terdapat bilangan
M
sehingga untuk setiap
M x
berlaku
L x
f
. ii.
L x
f
x
lim
jika untuk setiap bilangan real
terdapat bilangan
M
sehingga untuk setiap
M x
berlaku
L x
f
.
Contoh 3.4.4 Tentukan
9 1
lim
3
x
x
.
Penyelesaian: Untuk
x
,
x x
9
3
. Sehingga
x x
1 9
1
3
. Selanjutnya, karena
1 lim
x
x
maka dengan Teorema Apit diperoleh:
9 1
lim
3
x
x
.█
Contoh 3.4.5 Hitung
7 4
2 3
2 lim
2 2
x x
x x
x
.
Penyelesaian: Karena:
3 2
lim 3
2 lim
2
x x
x x
x x
7 4
2 lim
2
x x
x
maka sifat limit perbagian tidak dapat digunakan. Namun demikian apabila pembilang dan penyebut sama- sama dibagi dengan
2
x
maka:
2 2
2 2
2 2
7 4
2 3
2 lim
7 4
2 3
2 lim
x x
x x
x x
x x
x x
x x
2 1
2 1
7 4
2 lim
3 2
1 lim
7 4
2 3
2 1
lim
2 2
2 2
x x
x x
x x
x x
x x
x
.█
Contoh 3.4.6 Tentukan
10 7
2 6
7 lim
3 5
3
x x
x x
x
x
.
Penyelesaian: Dengan membagi pembilang dan penyebut dengan
5
x
, diperoleh:
5 3
5 5
3 3
5 3
10 7
2 6
7 lim
10 7
2 6
7 lim
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
75
1 10
7 2
1 lim
6 7
1 lim
5 4
2 5
4 2
x x
x x
x x
x x
.█
Contoh 3.4.7 Hitung
10 7
2 6
7 2
lim
3 5
3 6
x x
x x
x x
x
.
Penyelesaian: Dengan membagi pembilang dan penyebut dengan
5
x
, diperoleh:
5 3
5 5
3 6
3 5
3 6
10 7
2 6
7 2
lim 10
7 2
6 7
2 lim
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
1 10
7 2
1 lim
6 7
2 lim
5 4
2 5
4 2
x x
x x
x x
x
x x
.█
Soal Latihan
Untuk soal 1 – 20, tentukan nilai limitnya jika ada. Jika tidak ada limitnya, terangkan alasannya 1.
x
x
2 lim
2
2. 1
lim
1
x
x
3.
x
x
3 1
lim
3
4.
2 2
2 1
lim
x
x
5.
2
lim a
x a
x
a x
6.
2 1
1 lim
x x
x
7.
2 1
1 lim
x x
x
8.
2 2
lim
2
x x
x
9.
2 2
lim
2
x x
x
10.
3 2
3
5 2
8 7
5 3
lim x
x x
x
x
11.
21 11
4 3
11 5
7 lim
2 5
2
x x
x x
x
x
12.
x x
x
x
1 2
3 lim
13.
2 3
5 2
lim
x x
x
14.
x x
x
x
2 1
lim
2 2
15.
5 7
7 lim
2
x x
x
x
16.
3 2
2 5
lim
3 2
3
x x
x x
x
17.
1 2
1 2
lim
2 2
x x
x x
x
18.
2 2
1
lim x
x x
x
x
76
19.
x x
x
x
2 lim
2
20.
x x
x
x
5 2
lim
2
21. Tentukan lim
1
x f
x
, lim
x f
x
, dan lim
3
x f
x
jika diberikan:
3
, 1
5 3
, 3
3 ,
1 2
2 2
x x
x x
x x
x x
x
x f
22. Fungsi f yang terdefinisikan pada
] ,
[ a
a
dikatakan genap atau ganjil jika
x f
x f
atau
x f
x f
untuk setiap
] ,
[ a
a x
. Jika
L x
f
x
lim
maka tentukan
lim x
f
x
jika: a. f genap,
b. f ganjil.
3.5 Limit Fungsi Trigonometri
