19.
x x
x
x
2 lim
2
20.
x x
x
x
5 2
lim
2
21. Tentukan lim
1
x f
x
, lim
x f
x
, dan lim
3
x f
x
jika diberikan:
3
, 1
5 3
, 3
3 ,
1 2
2 2
x x
x x
x x
x x
x
x f
22. Fungsi f yang terdefinisikan pada
] ,
[ a
a
dikatakan genap atau ganjil jika
x f
x f
atau
x f
x f
untuk setiap
] ,
[ a
a x
. Jika
L x
f
x
lim
maka tentukan
lim x
f
x
jika: a. f genap,
b. f ganjil.
3.5 Limit Fungsi Trigonometri
Dengan memanfaatkan Teorema Apit, dapat ditunjukkan teorema di bawah ini.
Contoh 3.5.2 Hitung
3 tan
5 sin
lim
.
Penyelesaian:
3 5
lim .
3 tan
3 lim
. 5
5 sin
lim 3
1 3
tan 3
5 5
5 sin
lim 3
tan 5
sin lim
Tetapi untuk
berakibat
3
dan
5
, sehingga:
77
Teorema 3.5.1 i.
1 sin
lim sin
lim
x x
x x
x x
. ii.
1 tan
lim tan
lim
x x
x x
x x
.
3 5
3 5
. 1
. 1
3 5
lim .
3 tan
3 lim
. 5
5 sin
lim 3
tan 5
sin lim
3 5
.█
Soal Latihan
Untuk soal 1 – 12, hitunglah nilai limitnya. 1.
x x
x
2 tan
5 sin
lim
2.
2 cos
lim
2
x x
x
3.
x x
x
x
3 tan
4 sin
lim
2
4.
x x
x
2 sin
3 lim
2 3
5.
x x
x
x
3 sin
cos 1
lim
6.
a x
x a
a x
sin lim
7.
x x
x
x
4 sin
3 sin
2 lim
8.
x x
x x
x
7 cos
2 cos
5 tan
lim
9.
x x
x
cos sin
1 lim
2
10.
a x
a x
a x
sin sin
lim
11.
x x
x
tan 1
sin 1
lim
12.
x x
x
x
cos 1
1 lim
3.6 Bilangan Alam
Pada bagian ini, pembaca diingatkan kembali pada rumus binomium Newton. Untuk sebarang
R
b a,
dan
N
n
: 3.6.1
n n
n n
k k
n n
k n
b b
a n
n b
a n
a b
a k
n b
a
... 2
1
2 2
1 1
Apabila diambil
n b
a 1
dan 1
, maka dari 3.6.1 diperoleh:
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n k
n n
n k
k n
n k
n
1 1
2 1
... 2
1 1
1 1
... 2
1 1
1 3
1 1
1 2
1 2
1 ...
1 2
1 1
1 1
1 1
1
2 1
Karena
3 1
1 1
n
n
maka menurut Teorema Apit nilai
n n
n
1 1
lim
ada. Berdasarkan perhitungan, untuk
n
diperoleh:
e n
n n
... 718
, 2
... 4
1 3
1 2
1 2
1 1
lim
Selanjutnya, e disebut bilangan alam. Secara sama dapat ditunjukkan:
78
3.6.2
e n
n n
1 1
lim
Mudah ditunjukkan bahwa untuk m
n berlaku:
m n
m n
1
1 1
1
Selanjutnya, apabila diberikan sebarang bilangan real positif x maka dapat dicari bilangan asli m dan n sehingga
m x
n
. Hal ini berakibat:
m x
n
m x
n
1 1
1 1
1 1
dan karena
e m
n
m m
n n
1 1
lim 1
1 lim
maka sekali lagi dengan Teorema Apit diperoleh: 3.6.3
e x
x x
1 1
lim
Berdasarkan 3.6.2, tentunya mudah dipahami bahwa: 3.6.4
e x
x x
1 1
lim
Selanjutnya, apabila diambil substitusi
x u
1
, maka untuk
u
berakibat
x
. Sehingga, dari 3.6.3 dan 3.6.4 diperoleh:
3.6.5
e x
u
x x
u u
1 1
lim 1
lim
1
Contoh 3.6.1 Hitung
5 3
1 2
1 lim
x x
x
.
Penyelesaian: Apabila diambil substitusi
y x
1 1
2
maka berturut-turut diperoleh: i.
y x
2 1
, sehingga
2 6
5 3
y x
. ii. Karena
2 1 x
y
maka untuk
x
berakibat
y
. Selanjutnya, berdasarkan 3.6.4:
79
2 6
2 6
5 3
1 1
1 1
lim 1
1 lim
1 2
1 lim
y
y y
x
y y
y y
x x
2 6
1 1
lim 1
1 lim
y
y
y y
y
6 6
2 6
1 .
1 1
lim 1
1 lim
e
e y
y
y y
y
.█
Contoh 3.6.2 Tentukan
1 1
1
2 lim
x x
x
.
Penyelesaian: Soal dapat ditulis:
1 1
1 1
1 1
1 1
lim 2
lim
x x
x x
x x
Diambil substitusi
x y
1
. Jika
1
x
maka
y
. Selanjutnya, menurut 3.6.5 diperoleh:
e y
y x
x
y y
y y
x x
x x
1 1
lim 1
lim 1
1 lim
2 lim
1 1
1 1
1 1
1 1
1
.█
Teorema berikut ini sangat bermanfaat untuk menyelesaikan soal-soal hitung limit yang berkaitan dengan bilangan alam. Bukti diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
Contoh 3.6.4 Tentukan
2 3
1 1
lim
x x
x x
.
Penyelesaian: Soal dapat ditulis:
2 3
2 3
1 2
1 lim
1 1
lim
x x
x x
x x
x
Apabila berturut-turut diambil
1 2
x
x f
dan
2 3
x x
g
maka:
80
Teorema 3.6.3 Apabila
lim
x f
c x
dan
atau lim
x g
c x
maka:
. lim
1 lim
x g
x f
x g
c x
c x
e x
f
lim dan
lim x
g x
f
x x
Selanjutnya, menurut Teorema 3.6.3:
6 2
3 1
2 lim
2 3
2 3
1 2
1 lim
1 1
lim
e e
x x
x
x x
x x
x x
x
.█
Contoh 3.6.5 Hitung
2 3
1
2
lim
x
x x
x
x
.
Penyelesaian:
2 3
2 2
1 1
lim lim
1 2
3 1
x x
x
x x
x x
x x
x
Selanjutnya, jika diambil
1
x
x f
dan
2 3
2
x
x x
x g
maka:
lim dan
lim
1 1
x g
x f
x x
Sehingga menurut Teorema 3.6.3:
2 3
. 1
lim 1
2 3
1
2 1
2 3
2 2
1 1
lim lim
x x
x x
x x
x x
x
x x
x x
e x
x
1 1
2 1
lim
1
e e
x x
x x
x
.█
Contoh 3.6.6 Selesaikan
x
x x
x
3 3
2 lim
.
Penyelesaian: Tulis:
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
3 1
3 lim
3 1
2 lim
3 3
1 1
2 lim
3 3
2 lim
Berturut-turut diambil substitusi:
1 3
dan 1
2
x x
v u
maka:
81
i.
2 ln
3 1
log 1
. 3
1 1
lim log
1 3
1 1
log lim
1 3
1 1
log .
3 lim
3 1
2 lim
2 1
2 1
2 2
e u
u u
u x
u u
u u
u x
x
ii.
3 ln
3 1
log 1
. 3
1 1
lim log
1 3
1 1
log lim
1 3
1 1
log .
3 lim
3 1
3 lim
3 1
3 1
3 3
e u
u u
u x
u u
u u
u x
x
Selanjutnya, dari i dan ii diperoleh:
3 ln
2 ln
3 1
3 3
2 lim
x
x x
x
.█
Soal Latihan
Untuk soal 1 – 10, hitunglah nilai limitnya. 1.
1 3
2 2
1 lim
x x
x
2.
2 1
2
1 lim
x x
x
3.
x x
x x
2
2 1
lim
4.
1 1
2 1
3 3
lim
x x
x x
5.
x
x x
1 2
lim
6.
x
x x
x
2 2
1 3
lim
1 2
7.
x x
x
ln 1
lim
1
8.
5 7
1 3
1 3
lim
x x
x x
9.
2
1 2
2
1 2
1 lim
x x
x x
x
10.
7 1
3
2
1 1
lim
x x
x
x x
x
3.7 Fungsi Kontinu
