1.
3 2
lim
1
x
x
2.
2 1
1 lim
2
x
x
3.
1 lim
2 1
x
x
4.
2 1
2 lim
x x
x
5.
2 lim
4
x
x
6.
2 1
1 lim
2 1
x x
x
7. Jika
,
1 ,
1 x
x x
f
, tunjukkan bahwa
lim x
f
x
tidak ada.
Untuk soal 8 – 20, hitunglah masing-masing limit jika ada. 8.
20 lim
2 5
x
x
9.
1 3
lim
2 2
x x
x
10.
3 2
lim
x x
x
11.
4 8
2 lim
2 2
2
x x
x
x
12.
1 1
lim
1
x x
x
13.
8 64
lim
3 6
2
x x
x
14.
1 1
lim
3 4
1
s s
s
15.
u u
u
1 1
lim
2 3
1
16.
2 2
1
1 3
2 lim
x x
x
17.
5 3
4 lim
2 2
2
x x
x
18.
a x
a x
n n
a x
lim
19.
a x
a x
n n
a x
lim
20.
h x
h x
h
lim
21.
2 2
1 1
lim
2
x x
x
22.
x x
x
1 1
lim
3
3.3 Limit Satu Sisi
Kiranya mudah dipahami bahwa
x
x
lim
tidak ada, karena
x
tidak terdefinisikan untuk
x
. Namun demikian, apabila
x
maka
x
x
lim
ada dan nilainya sama dengan 0. Hal ini membawa kita kepada definisi berikut ini.
67
Secara matematis, definisi di atas dapat dituliskan sebagai berikut:
i.
L x
f
c x
lim
jika dan hanya jika untuk setiap
ada
sehingga untuk setiap
,
c c
x
berlaku
L x
f
. ii.
L x
f
c x
lim
jika dan hanya jika untuk setiap
ada
sehingga untuk setiap
, c
c x
berlaku
L x
f
.
68
Definisi 3.3.1 i. Misalkan fx terdefinisikan pada suatu interval
,
c
c
. Apabila untuk x di dalam
,
c
c
yang cukup dekat dengan c, nilai fx mendekati L, maka dikatakan bahwa L merupakan limit kanan fx untuk x mendekati c, ditulis:
L x
f
c x
lim
ii. Misalkan fx terdefinisikan pada suatu interval
, c
c
. Apabila untuk x di dalam
, c
c
yang cukup dekat dengan c, nilai fx mendekati L, maka dikatakan bahwa L merupakan limit kiri fx untuk x mendekati c, ditulis:
L x
f
c x
lim
Contoh 3.3.2 a.
lim
x
x
dan
x
x
lim
tidak ada. b. Untuk bilangan bulat n,
n x
n x
lim
dan
1 lim
n x
n x
Contoh 3.3.3 Tentukan
lim dan
, lim
, lim
, lim
1 1
x f
x f
x f
x f
x x
x x
jika diketahui:
1 ,
1 1
1 ,
1 2
2
x x
x x
x x
f
Penyelesaian:
a. Untuk x cukup dekat dengan 0 baik x 0 maupun x 0,
1 2
x x
f
. Oleh karena itu,
1 1
2 lim
lim 1
1 2
lim lim
x x
f x
x f
x x
x x
b. Untuk x cukup dekat dengan 1 dan x 1,
1 2
x x
f
. Sehingga:
69 L
L
L
c c+δ
L
L
L
c-δ c
Gambar 3.3.1 a
b
1 1
2 lim
lim
1 1
x x
f
x x
Tetapi, untuk x cukup dekat dengan 1 dan x 1,
1 1
2
x
x x
f
. Sehingga:
2 1
1 1
lim 1
1 1
lim 1
1 lim
lim
1 1
2 1
1
x x
x x
x x
x f
x x
x x
.█
Dari beberapa contoh di atas, diperoleh beberapa kenyataan. Limit kiri suatu fungsi ada tetapi limit kanannya tidak ada atau sebaliknya, limit kiri dan kanan suatu fungsi ada tetapi nilainya tidak sama, dan
limit kiri dan kanan suatu fungsi ada dan nilainya sama. Selanjutnya, karena ketunggalan limit maka diperoleh pernyataan berikut.
Sebagai akibat langsung dari Teorema di atas, diperoleh:
Pada Contoh 3.3.3 di atas, karena
lim lim
1 1
x f
x f
x x
maka
lim
1
x f
x
tidak ada.
Contoh 3.3.6 Diberikan:
1
, 1
, 1
2
3
x x
x x
x f
Karena untuk
1
x
,
1 2
x x
f
, maka:
1 1
2 lim
lim
1 1
x x
f
x x
. Secara sama,
1 lim
lim
3 1
1
x x
f
x x
. Selanjutnya, karena
lim 1
lim
1 1
x f
x f
x x
maka:
1 lim
1
x f
x
.█
70
Teorema 3.3.4
L x
f
c x
lim
jika dan hanya jika
L x
f x
f
c x
c x
lim lim
.
Akibat 3.3.5 Jika
lim lim
x f
x f
c x
c x
maka
lim x
f
c x
tidak ada.
Contoh 3.3.7 Tentukan
lim
2
x f
x
jika diketahui:
2 ,
2 ,
x x
x x
x f
Penyelesaian:
2 lim
lim
2 2
x x
f
x x
2 lim
lim
2 2
x x
f
x x
Jadi,
2 lim
2
x f
x
.█
3.4 Limit Tak Hingga dan Limit Menuju Tak Hingga
