Dan jika
h
maka ≤
− +
h x
f h
x f
Untuk
→ h
, maka diperoleh:
lim lim
= ≤
− +
=
− −
→ →
h h
h x
f h
x f
x f
Limit kiri = limit kanan = 0, maka x
f ada. Karena
≥ x
f dan
≤ x
f ,
maka dapt disimpulkan bahwa =
x f
atau .
= ∇ x
f ■
2.2 Masalah Optimisasi Berpembatas Persamaan
Pada masalah optimisasi berikut: Minimumkan
x f
Terhadap pembatas:
= =
=
2 1
x h
x h
x h
m
……………………………2.3
dimana
n
R D
x ⊂
∈ Pada masalah 2.3 diasumsikan bahwa m
≤ n dan fungsi-fungsi f dan h
i
, i=1,2,…,m adalah kontinu dan mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu.
Dengan mengambil h = h
1
,h
2
,…,h
m
maka masalah optimisasi yang terdapat pada persamaan 2.3 tersebut dapat ditulis menjadi:
Minimumkan x
f
Dengan pembatas:
⊂
∈ =
n
R D
x x
h
……………………………………….2.4
Universitas Sumatera Utara
= x
h pada persamaan 2.4 tersebut adalah pembatas fungsi
x f
dan
D x
∈
disebut pembatas himpunan. Suatu titik
D x
∈
yang memenuhi seluruh pembatas fungsi
x f
disebut titik fisibel. 2.3 Bidang Singgung
Untuk menyelidiki apa syarat agar M menjadi bidang singgung di x , maka
diperlukan konsep titik tetap. Berikut ini diberikan defenisi bidang singgung pada suatu permukaan S.
Defenisi 2.3.1 Leithold, 1991
Jika persamaan suatu permukaan S adalah ,
, z
y x
h = 0, maka bidang singgung
dari S pada titik ,
, z
y x
h adalah sebuah bidang melalui titik h dan mempunyai
vektor normal ,
, z
y x
h ∇
.
Defenisi 2.3.2 Luenberger, 1984
Suatu kurva pada permukaan S adalah keluarga titik-titik S
t x
∈ dengan parameterisasi kontinu t untuk a
≤ t ≤ b. Suatu kurva terdiferensial jika
dt t
dx x
=
ada dan terdiferensial dua kali jika
2 2
dt t
x d
t x
= ada. Suatu kurva xt
disebut melalui titik t
x disebut melalui titik
x jika t
x =
untuk suatu .
, b
t a
t ≤
≤
Defenisi 2.3.3 Leon, 1999 Jika X =
{ }
n
x x
x ,...,
,
2 1
adalah himpunan vektor, maka X disebut bebas linear jika k
1
= k
2
= ……= k
n
= 0 sehingga persamaan vektor ...
2 2
1 1
= +
+ +
n n
x k
x k
x k
Universitas Sumatera Utara
Defenisi 2.3.4 Luenberger, 1984
Suatu titik x yang memenuhi pembatas
= x
h disebut titik regular dari
pembatas jika vektor gradien
2 1
,..., ,
x h
x h
x h
m
∇ ∇
∇ adalah bebas linier.
Defenisi 2.3.5 Anton, 1997
Misalkan matriks A = A
nxn
maka A dikatakan non singular jika ada matriks A
-1
disebut invers matriks sedemikian sehingga AA
-1
= A
-1
A = I.
Defenisi 2.3.6 Luenberger, 1984
Misalkan A adalah suatu matriks nxn, maka Rank matriks A didefenisikan sebagai banyaknya baris-baris atau kolom-kolom yang bebas linier pada matriks A.
misalkan A adalah suatu matriks mxn, jika rank A adalah minimum dari m,n, maka A dikatakan mempunyai rank penuh.
Teorema 2.3.7 Luenberger, 1984
Misalkan S adalah permukaan yang didefenisikan oleh hx = 0. Persamaan bidang singgung pada titik regular
x dari permukaan S tersebut adalah:
{ }
: =
∇ =
y x
h y
M I …………………………………………..2.5
Bukti:
Misalkan T adalah bidang singgung x maka
M T
⊂
, apakah x titik reguler atau
tidak. Untuk suatu kurva t
x yang melalui
x pada t
t = yang mempunyai turunan
t x
sehingga ≠
∇ t
x x
h tidak akan terletak pada S. Untuk membuktikan
T M
⊂
harus ditunjukkan bahwa jika M
y ∈ maka terdapat suatu kurva pada S
Universitas Sumatera Utara
yang melalui x dengan turunan y. Untuk membangun kurva yang demikian
ditinjau persamaan berikut: =
∇ +
+ t
u x
h ty
x h
T
…………………………………...2.6 Pada persamaan 2.6 untuk t tetap, dianggap
m
R t
u ∈
tidak diketahui dengan parameterisasi kontinu dari t. Pada t = 0 terdapat solusi u0 = 0. Matriks Jacobian
dari sistem tersebut terhadap u pada t = 0 adalah matriks m x m, yaitu:
T
x h
x h
∇ ∇
……………………………………………….2.7 Matriks pada 2.7 adalah non singuler karena
x h
∇ adalah rank penuh jika
x adalah suatu titik tetap, maka untuk suatu solusi terdiferensial secara kontinu ut di daerah
a t
a ≤
≤ −
kurva t
u x
h ty
x t
x
T
∇ +
+ =
ada pada S. Dengan pendiferensialan 2.12 pada t = 0 diperoleh:
t u
x h
ty x
h dt
d t
x h
dt d
t
∇ +
+ =
=
=
u x
h x
h y
x h
T
∇ ∇
+ ∇
= Karena y terdefenisi maka diperoleh
= ∇
y x
h dan karena
T
x h
x h
∇ ∇
adalah non singular maka dapat disimpulkan bahwa =
u , sehingga diperoleh:
y u
x h
y x
T
= ∇
+ =
Hal ini menunjukkan bahwa kurva yang dibangun mempunyai turunan x pada
yaitu y. ■
2.4 Syarat Orde Satu dan Dua
