yang melalui x dengan turunan y. Untuk membangun kurva yang demikian
ditinjau persamaan berikut: =
∇ +
+ t
u x
h ty
x h
T
…………………………………...2.6 Pada persamaan 2.6 untuk t tetap, dianggap
m
R t
u ∈
tidak diketahui dengan parameterisasi kontinu dari t. Pada t = 0 terdapat solusi u0 = 0. Matriks Jacobian
dari sistem tersebut terhadap u pada t = 0 adalah matriks m x m, yaitu:
T
x h
x h
∇ ∇
……………………………………………….2.7 Matriks pada 2.7 adalah non singuler karena
x h
∇ adalah rank penuh jika
x adalah suatu titik tetap, maka untuk suatu solusi terdiferensial secara kontinu ut di daerah
a t
a ≤
≤ −
kurva t
u x
h ty
x t
x
T
∇ +
+ =
ada pada S. Dengan pendiferensialan 2.12 pada t = 0 diperoleh:
t u
x h
ty x
h dt
d t
x h
dt d
t
∇ +
+ =
=
=
u x
h x
h y
x h
T
∇ ∇
+ ∇
= Karena y terdefenisi maka diperoleh
= ∇
y x
h dan karena
T
x h
x h
∇ ∇
adalah non singular maka dapat disimpulkan bahwa =
u , sehingga diperoleh:
y u
x h
y x
T
= ∇
+ =
Hal ini menunjukkan bahwa kurva yang dibangun mempunyai turunan x pada
yaitu y. ■
2.4 Syarat Orde Satu dan Dua
Penurunan syarat perlu agar suatu titik menjadi titik minimum terhadap pembatas persamaan dapat dinyatakan dalam bidang singgung. Untuk itu akan
dijelaskan dengan lemma berikut.
Universitas Sumatera Utara
Lemma 2.4.1 Luenberger,1984
Misalkan x adalah titik regular dari pembatas
= x
h dan titik ekstrim lokal
terhadap pembatas tersebut, maka
n
R y
∈ ∀
memenuhi: =
∇ y
x h
………………………………………….2.8 =
∇ y
x f
………..…..…………………………….2.9
Bukti:
Misalkan y adalah suatu vektor dalam bidang singgung di x dan
t x
adalah kurva pada permukaan terbatas yang melalui
x dengan turunan y pada x yaitu
x x
= , y
x =
dan =
t x
h untuk
˗ ɑ ≤ t ≤ ɑ untuk suatu ɑ 0. Karena
x adalah titik regular, bidang singgung identik dengan himpunan y yang memenuhi
= ∇
y x
h dan karena
x adalah titik ekstrim lokal berpembatas dari ƒ maka diperoleh:
dt d
f
]
= t
t x
= 0
dx df
]
dt dx
= t
= 0
atau ekivalen dengan =
∇ y
x f
. ■
Lemma di atas mengatakan bahwa x
f ∇
adalah ortogonal terhadap bidang singgung.
Defenisi 2.4.2 Anton, 1997
Bentuk kuadrat
T
x Ax disebut definit positif jika
T
x Ax 0 untuk semua x ≠ 0 dan
bentuk kuadrat
T
x Ax disebut semi definit positif jika
T
x Ax ≥ 0.
Universitas Sumatera Utara
Teorema berikut menjelaskan syarat perlu orde dua. Untuk selanjutnya diasumsi ƒ dan h adalah fungsi yang kontinu hingga turunannya yang kedua jelas.
Teorema 2.4.3 Luenberger, 1984
Misalkan bahwa x’adalah titik minimum lokal dari ƒ terhadap pembatas =
x h
dan x adalah titik reguler dari pembatas tersebut, maka terdapat
m
R ∈
λ sehingga:
T
x f
λ +
∇ =
∇ x h
…………………….………………2.10 Jika M =
{ }
: =
∇ y
x h
y maka matriks:
x h
x f
x L
T 2
2
∇ +
∇ =
λ ……….………………….......2.11
adalah semidefinit positif pada M, yaitu :
T
y L
M y
y x
∈ ∀
≥ ,
Bukti :
Karena x
x = adalah minimum lokal dari ƒ, maka berlaku:
]
2 2
= t
t x
f dt
d ≥ 0……………………………………………2.12
dt d
f
dt dx
t x
f dx
d t
x =
= t
x t
x f
∇
[ ]
t x
t x
f dt
d t
x f
dt d
2 2
∇ =
=
[ ]
t x
dt d
t x
f t
x t
x f
dt d
∇ +
∇
= t
x t
x f
t x
t x
dt d
t x
f dx
d ∇
+
∇
Universitas Sumatera Utara
=
[ ]
t x
t x
f t
x t
x t
x f
2
∇ +
∇ =
t x
t x
f t
x t
x f
t x
T 2
∇ +
∇
sehingga:
2 2
=
t
t x
f dt
d
≥
2
x x
f x
x f
x
T
∇ +
∇
≥
2
x x
f x
x f
x
T
∇ +
∇
………………2.13
[ ]
2 2
≥
= t
T
t x
h dt
d
λ ,akan diperoleh dengan cara di atas, yaitu:
[ ]
≥
=0 2
2 t
T
t x
h dt
d
λ
t x
t x
h t
x t
x h
t x
T T
T
∇ +
∇
λ λ
2
maka diperoleh:
[ ]
≥
=0 2
2 t
T
t x
h dt
d
λ
2
x x
h x
x h
x
T T
T
∇ +
∇
λ λ
≥
2
x x
h x
x h
x
T T
T
∇ +
∇
λ λ
……………..2.14
2
x x
h x
x h
x
T T
T
∇ +
∇
λ λ
≥ 0 Dengan menambahkan persamaan 2.14 ke persamaan 2.13 maka diperoleh:
[ ]
2
x x
h x
x h
x
T T
∇ +
∇
λ +
[ ]
x x
h x
f
T
∇ +
∇ λ
≥ 0
≥ +
x x
L x
T
atau ≥
y x
L y
T
. ■
Universitas Sumatera Utara
Teorema berikut menjelaskan syarat cukup. Untuk selanjutnya diasumsi f dan h adalah fungsi yang kontinu hingga turunannya yang kedua.
Teorema 2.4.3 Luenberger, 1984
Misalkan terdapat suatu titik x yang memenuhi
= x
h dan
m
R ∈
λ sehingga:
= ∇
+ ∇
x h
x f
T
λ ……………………………………………..2.15
Misalkan juga bahwa matriks
2 2
x h
x f
x L
T
∇ +
∇ =
λ adalah definit positif
pada M =
{ }
; :
≠ ∈
∀ =
∇ y
M y
y x
h y
sehingga memenuhi y
x L
y
T
, dan x adalah minimum lokal dari y terhadap pembatas
= x
h .
Bukti:
Karena x
x = adalah minimum lokal dari f dan x’
y =
dengan y ≠ 0 maka
berlaku:
]
2 2
= t
t x
f dt
d …………………………………………..2.16
t x
t x
f dt
dx t
x f
dx d
t x
f dt
d
2 2
∇ =
=
[ ]
t x
t x
f dt
d t
x f
dt d
2 2
∇ =
=
[ ]
t x
dt d
t x
f t
x t
x f
dt d
∇ +
∇
= t
x t
x f
t x
t x
dt d
t x
f dx
d ∇
+
∇
=
[ ]
t x
t x
f t
x t
x t
x f
2
∇ +
∇ =
t x
t x
f t
x t
x f
t x
T 2
∇ +
∇
Universitas Sumatera Utara
sehingga diperoleh:
2 2
2
x x
f x
x f
x t
x f
dt d
T t
∇ +
∇
= 2
x x
f x
x f
x
T
∇ +
∇
Untuk
[ ]
2 2
= t
T
t x
h dt
d λ
, akan diperoleh dengan cara di atas, yaitu:
[ ]
t x
t x
h t
x t
x h
t x
t x
h dt
d
T T
T t
T 2
2 2
∇ +
∇
=
λ λ
λ
Maka diperoleh:
2
x x
h x
x h
x
T T
T
∇ +
∇
λ λ
2
∇ +
∇ x
x h
x x
h x
T T
T
λ λ
Dengan menambahkan persamaan 2.18 ke persamaan 2.17 maka diperoleh:
[ ]
[ ]
2 2
≥ ∇
+ ∇
+ ∇
+ ∇
x x
h x
f x
x h
x f
x
T T
T
λ λ
Karena
2 2
x h
x f
x L
T
∇ +
∇ =
λ dan dari 2.15 yaitu
= ∇
+ ∇
x h
x f
T
λ Maka diperoleh:
+ x
x L
x
T
Atau y
x L
y
T
. ■
Universitas Sumatera Utara
2.5 Metode Pengali Lagrange
