Dalam teori optimisasi klasik Luenberger,1984 telah dikemukakan bahwa:
1. Syarat perlu
Misalkan x adalah titik ekstrim dari fx terhadap hx=0. Syarat perlu agar
minimum lokal adalah: M
y y
x L
y
T
∈ ∀
≥ , ………………………………………...1.3
dimana :
2 2
x h
x f
x L
T
∇ +
∇ =
λ M =
{ }
: =
∇ y
x h
y =
x L
matriks dari turunan parsial kedua f dan h terhadap x
M = bidang singgung
2. Syarat cukup
Misalkan x adalah titik ekstrim dari fx terhadap hx=0. Syarat cukup agar
minimum lokal adalah: M
y y
x L
y
T
∈ ∀
, ………………………………………………1.4
Berdasarkan syarat cukup dan syarat perlu tersebut di atas, penulis tertarik untuk mengkaji yarat cukupdan syarat perlu orde dua yang ekivalen dengan syarat 1.3
dan 1.4. Atas dasar itulah penelitian ini diberi judul: “Studi Tentang Syarat Perlu dan Syarat Cukup Dalam Optimisasi Berpembatas Persamaan”.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian dari latar belakang tersebut, maka yang menjadi rumusan masalah dari penelitian ini adalah bagaimana syarat orde dua ekivalen dengan
syarat M
y y
x L
y
T
∈ ∀
≥ , dan
M y
y x
L y
T
∈ ∀
, .
Universitas Sumatera Utara
1.3 Tujuan Penelitian
Berdasarkan masalah yang telah dirumuskan di atas, maka tujuan dari penelitian ini adalah untuk menunjukkan syarat perlu dan syatrat cukup yang ekivalen dengan
syarat M
y y
x L
y
T
∈ ∀
≥ , dan
M y
y x
L y
T
∈ ∀
, dalam menyelesaikan
masalah optimisasi berpembatas persamaan.
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah memperoleh gambaran mengenai ide dasar dan langkah-langkah teoritis dalam optimisasi berpembatas persamaan dengan syarat
perlu dan syarat cukup.
1.5 Tinjauan Pustaka
Titik ekstrim dari suatu fungsi adalah titik maksimum atau titik minimum peranan penting dalam optimisasi.
Misalkan f adalah fungsi riil dengan domain
n
R D
⊂ . a.
Fungsi f dikatakan mempunyai nilai maksimum lokal, jika ada selang buka
2 1
, x x
yang memuat x sehingga memenuhi
x x
f x
f ∀
≤ ,
pada selang buka tersebut.
b. Fungsi f dikatakan mempunyai nilai maksimum global pada titik
x jika D
x x
f x
f ∈
∀ ≤
, .
c. Fungsi f dikatakan mempunyai nilai minimum lokal, jika ada selang buka
2 1
, x x
yang memuat x sehingga memenuhi
x x
f x
f ∀
≥ ,
pada selang buka tersebut.
d. Fungsi f dikatakan mempunyai nilai minimum global pada titik
x jika D
x x
f x
f ∈
∀ ≤
, .
Universitas Sumatera Utara
Selanjutnya, misalkan f terdiferensial di
n
R D
x ⊂
∈ . Jika turunan parsial
dari f kontinu di x maka f disebut diferensial secara kontinu di x, dan jika turunan parsial kedua dari f kontinu maka x maka f disebut mempunyai turunan parsial
kedua yang kontinu di x. Gradien dari f pada x dinotasikan dengan
x f
∇ dan didefenisikan dengan:
= ∇
n
x x
f x
x f
x x
f x
f
δ δ
δ δ
δ δ
,..., ,
2 1
dan matriks Hessian H dari f pada x adalah matriks yang diperoleh dari turunan parsial kedua yang dinotasikan dengan
.
2
x f
∇ Pada masalah optimisasi berpembatas persamaan diasumsikan bahwa m
≤ n dan fungsi-fungsi f dan h
I
, i=1,2,…,m adalah kontinu dan mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu.
Dengan mengambil h = h
1
,h
2
,…,h
m
maka masalah optimisasi yang terdapat pada persamaan 2.3 tersebut dapat ditulis menjadi:
Minimumkan x
f
Dengan pembatas:
⊂
∈ =
n
R D
x x
h
Suatu titik
D x
∈
yang memenuhi seluruh pembatas fungsi x
f disebut titik
fisibel.
1.5 Metoda Penelitian
Kategori