Selanjutnya, misalkan f terdiferensial di
n
R D
x ⊂
∈ . Jika turunan parsial
dari f kontinu di x maka f disebut diferensial secara kontinu di x, dan jika turunan parsial kedua dari f kontinu maka x maka f disebut mempunyai turunan parsial
kedua yang kontinu di x. Gradien dari f pada x dinotasikan dengan
x f
∇ dan didefenisikan dengan:
= ∇
n
x x
f x
x f
x x
f x
f
δ δ
δ δ
δ δ
,..., ,
2 1
dan matriks Hessian H dari f pada x adalah matriks yang diperoleh dari turunan parsial kedua yang dinotasikan dengan
.
2
x f
∇ Pada masalah optimisasi berpembatas persamaan diasumsikan bahwa m
≤ n dan fungsi-fungsi f dan h
I
, i=1,2,…,m adalah kontinu dan mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu.
Dengan mengambil h = h
1
,h
2
,…,h
m
maka masalah optimisasi yang terdapat pada persamaan 2.3 tersebut dapat ditulis menjadi:
Minimumkan x
f
Dengan pembatas:
⊂
∈ =
n
R D
x x
h
Suatu titik
D x
∈
yang memenuhi seluruh pembatas fungsi x
f disebut titik
fisibel.
1.5 Metoda Penelitian
Metoda penelitian yang digunakan adalah penelitian literature atau studi kepustakaan, yaitu:
Pertama, memperkenalkan beberapa pengertian dasar tentang masalah optimisasi berpembatas persamaan.
Universitas Sumatera Utara
Kedua, mengkaji teorema mengenai syarat perlu dan syarat cukup yang ekivalen dengan syarat yang sudah diketahui sebelumnya dan pembuktiannya.
Ketiga, membuat suatu contoh kasus dengan menggunakan syarat perlu dan syarat cukup.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
URAIAN TEORITIS
Pada bab ini akan dibahas tentang masalah optimisasi berpembatas persamaan. Sebelum membahas masalah optimisasi berpembatas persamaan maka
terlebih dahulu diberikan pengertian dan sifat-sifat ekstrim dari suatu fungsi.
2.1 Titik Ekstrim dari Suatu Fungsi
Titik ekstrim dari suatu fungsi adalah titik maksimum atau titik minimum dari fungsi tersebut. Masalah penentuan titik ekstrim dari suatu fungsi mempunyai
peranan penting dalam optimisasi. Berikut ini diberikan defenisi titik maksimum dan titik minimum dari suatu fungsi.
Defenisi 2.1.1
Misalkan f adalah fungsi riil dengan domain
n
R D
⊂ . a.
Fungsi f dikatakan mempunyai nilai maksimum lokal, jika ada selang buka
2 1
, x x
yang memuat x sehingga memenuhi
x x
f x
f ∀
≤ ,
pada selang buka tersebut. b.
Fungsi f dikatakan mempunyai nilai maksimum global pada titik x jika
D x
x f
x f
∈ ∀
≤ ,
. c.
Fungsi f dikatakan mempunyai nilai minimum lokal, jika ada selang buka
2 1
, x x
yang memuat x sehingga memenuhi
x x
f x
f ∀
≥ ,
pada selang buka tersebut. Fungsi f dikatakan mempunyai nilai minimum global pada titik
x jika D
x x
f x
f ∈
∀ ≤
, .
Universitas Sumatera Utara
Selanjutnya, misalkan f terdiferensial di
n
R D
x ⊂
∈ . Jika turunan parsial dari f
kontinu di x maka f disebut diferensial secara kontinu di x, dan jika turunan parsial kedua dari f kontinu di x maka f disebut mempunyai turunan parsial kedua yang
kontinu di x. Gradien dari f pada x dinotasikan dengan
x f
∇ dan didefenisikan dengan:
= ∇
n
x x
f x
x f
x x
f x
f
δ δ
δ δ
δ δ
,..., ,
2 1
…………………………………………...2.1
dan matriks HessianH dari f pada x adalah matriks yang diperoleh dari turunan parsial kedua yang dinotasikan dengan
.
2
x f
∇
Teorema 2.1.2 Rao, 1984
Jika f terdefenisi pada selang buka yang memuat x dan mempunyai minimum
lokal di x dan jika f terdiferensial di
x , maka: =
∇ x f
……………………………………………………………………2.2
Bukti:
Andaikan x adalah titik minimum lokal maka
x f
ada, ini berarti bahwa limit kiri dan limit kanan ada dan sama dengan
x f
.
h x
f h
x f
h
lim −
+
−
→
= h
x f
h x
f
h
lim −
+
+
→
= x
f
Jika
h
maka ≥
− +
h x
f h
x f
karena h
x f
x f
+ ≤
untuk semua bilangan-bilangan kecil positif dari h.
Untuk
→ h
, maka diperoleh:
lim lim
= ≥
− +
=
+ +
→ →
h h
h x
f h
x f
x f
Universitas Sumatera Utara
Dan jika
h
maka ≤
− +
h x
f h
x f
Untuk
→ h
, maka diperoleh:
lim lim
= ≤
− +
=
− −
→ →
h h
h x
f h
x f
x f
Limit kiri = limit kanan = 0, maka x
f ada. Karena
≥ x
f dan
≤ x
f ,
maka dapt disimpulkan bahwa =
x f
atau .
= ∇ x
f ■
2.2 Masalah Optimisasi Berpembatas Persamaan
