16
3.2. Langkah Optimasi BLP dengan Kendala Fuzzy Triangular
Berdasarkan uraian pada Sub-bab 3.1 maka dapat disimpulkan langkah-langkah penyelesaian BLP dengan kendala fuzzy triangular adalah sebagai berikut :
1. Memodelkan data , � , pada BLP dimana merupakan matriks 2 ×
Dimana nilai � dan merupakan bilangan fuzzy triangular
Minimum �
Kendala �
�
, �, �
�
�
�
, ,
�
; � .
2. Menegaskan nilai � dan ke dalam interval fuzzy triangular
Minimum �
Kendala �
�
� , �
�
�
�
,
�
; � ;
� 3.
Menentukan nilai best efficient dan worst efficient dengan metode Parametric Simplex Algorithm
Tabel 3.1 best efficient dan worst efficient
Best efficient. Worst efficient
Minimum
� Kendala
�′′� ;
�
Minimum
� Kendala
�′� ;
�
Dimana
�′, �′′
�′ = �
� �
� �
′′
= �
� �
� 4.
Menarik kesimpulan
Universitas Sumatera Utara
16
3.3 Contoh Kasus Aplikasi
Contoh kasus diambil dari buku Kusumadewi 2010 yang dimodifikasi pada kendala. Suatu perusahaan memiliki pabrik yang menghasilkan tiga produk. Pada satu unit produk
pertama membutuhkan 2 unit �
1
, 3 unit �
2
dan 4 unit �
3
. Pada satu unit produk kedua membutuhkan 8 unit
�
1
dan 1 unit �
2
. Sedangkan pada satu unit produk ketiga membutuhkan 4 unit
�
1
, 4 unit �
2
dan 2 unit �
3
. Banyak bahan baku yang tersedia �
1
sebanyak 100, �
2
sebanyak 50 unit, �
3
sebanyak 50 unit Kontribusi keuntungan yang didapat dari tiap produk, keuntungan produk satu sebesar 5
unit, keuntungan produk kedua sebesar 10 unit, dan keuntungan produk ketiga sebesar 12unit
Namun selama Proses produksi menimbulkan polusi, polusi yang timbul pada produk satu sebesar 1 satuan polusi, polusi yang timbul pada produk dua ketiga sebesar 2 satuan polusi,
dan polusi yang timbul pada produk satu sebesar 2 satuan polusi. Kualitas dari �
1
dan �
2
tidak dapat diprediksi karena faktor cuaca Pada cuaca baik, produk satu membutuhkan 1 unit �
1
dan 1 unit �
2
, produk dua membutuhkan 5 unit
�
1
dan 0.25 unit �
2
,dan produk ketiga membutuhkan 2 unit �
1
dan 2 unit
�
2
Pada cuaca buruk, produk satu membutuhkan 3 unit �
1
dan 4 unit �
2
, produk dua membutuhkan 10 unit
�
1
dan 2 unit �
2
, dan produk ketiga membutuhkan 5 unit �
1
dan 5 unit
�
2
Bahan baku �
1
dan �
2
pada cuaca baik meningkat sebesar 150 dan 60, dan pada cuaca buruk
�
1
dan �
2
menurun sebesar 90 dan 40. Tujuan perusahaan yakni memaximumkan keuntungan dan meminimumkan polusi.
Variabel keputusan �
1
: Jumlah produk satu yang diproduksi
�
2
: Jumlah produk kedua yang diproduksi
�
3
: Jumlah produk ketiga yang diproduksi
Universitas Sumatera Utara
17
Memodelkan Fugsi Tujuan dan kendala Tujuan pertama adalah Maximum keuntungan jika keuntungan produk satu sebesar 5 unit,
keuntungan produk kedua sebesar 10 unit, dan keuntungan produk ketiga sebesar 12unit. Maximum
1
∶ 5�
1
+ 10 �
2
+ 12 �
3
3.8 Pada fungsi tujuan ke pertama di kali -1 agar menjadi minimum maka fungsi tujuannya
adalah Minimumkan
−
1
∶ −5�
1
− 10�
2
− 12�
3
3.9 Tujuan kedua adalah Minimum polusi jika diketahui produk satu menyebabkan 1 satuan
polusi, pada produk dua menyebabkan 2 satuan polusi, dan pada produk tiga menyebabkan 2 satuan polusi.
Minimum
2
∶ �
1
+ 2 �
2
+ 2 �
3
3.10 Bahan baku
�
1
merupakan kasus fuzzy triangular. Terdapat 90,100,150 bahan baku �
1
. Dimana
�
1
membutuhkan 1,2,3 �
1
, �
2
membutuhkan 5,8,10 �
1
dan �
3
membutuhkan 2,4,5
�
1
, maka pers dalam bilangan fuzzy 1,2,3 �
1
+ 5,8,10 �
2
+ 2,4,5 �
3
90,100,150 Bahan baku
�
2
merupakan kasus fuzzy triangular. Terdapat 40,50,90 bahan baku �
1
. Dimana
�
1
membutuhkan 1,3,4 �
1
, �
2
membutuhkan 0.25,1,2 �
1
dan �
3
membutuhkan 2,4,5
�
1
maka pers dalam bilangan fuzzy 1,3,4 �
1
+ 0.25,1,2 �
2
+ 2,4,5 �
3
40,50,90 Bahan Baku
�
3
tersedia sebanyak 50 unit dan digunakan produk �
1
sebanyak 4 unit, pada produk
�
3
sebanyak 3 unit 4
�
1
+ 2 �
3
50 3.11
Universitas Sumatera Utara
18
Maka persamaan BLP pada contoh kasus diatas dengan kendala fuzzy adalah
Minimum −
1
∶ −5�
1
− 10�
2
− 12�
3 2
∶ �
1
+ 2 �
2
+ 2 �
3
Kendala 1,2,3 �
1
+ 5,8,10 �
2
+ 2,4,5 �
3
90,100,150 1,3,4 �
1
+ 0.25,1,2 �
2
+ 2,4,5 �
3
40,50,90 4
�
1
+ 2 �
3
50 Mengubah kendala bahan baku
�
1
ke dalam interval � −
fuzzy triangular ⟺ 2 − 1 � + 1,3 − 3 − 2 � �
1
+ 8 − 5 � + 5,10 − 10 − 8 � �
2
+ 4 − 2 � + 2,5 − 5 − 4 � �
3
100 − 90 � + 90,150 − 150 − 100 � ⟺ � + 2 �
1
, 3 − ��
1
+ 3� + 5 �
2
, 10 − 2��
2
+ 2� + 2 �
3
, 5 − ��
3
10� + 90 , 150 − 50� 3.12 Mengubah kendala bahan baku
�
3
ke dalam interval � −
fuzzy triangular ⟺ 3 − 1 � + 1,4 − 4 − 3 � �
1
+ 1 − 0.25 � + 0.25,2 − 2 − 1 � �
2
+ 4 − 2 � + 2,5 − 5 − 4 � �
3
50 − 40 � + 40,90 − 90 − 50 � ⟺ 2� + 1 �
1
, 4 − ��
1
+ 0.75� + 0.25 �
2
, 2 − ��
2
+ 2� + 2 �
3
, 5 − ��
3
10� + 40 , 90 − 40� 3.13
Universitas Sumatera Utara
19
Maka persamaan BLP pada contoh kasus diatas dengan kendala interval adalah
Minimum −
1
∶ −5�
1
− 10�
2
− 12�
3 2
∶ �
1
+ 2 �
2
+ 2 �
3
3.14
kendala � + 1 �
1
, 3 − ��
1
+ 3� + 5 �
2
, 10 − 2��
2
+ 2� + 2 �
3
, 5 − ��
3
10� + 90 , 150 − 50� 2� + 1 �
1
, 4 − ��
1
+ 0.75� + 0.25 �
2
, 2 − ��
2
+ 2� + 2 �
3
, 5 − ��
3
10� + 40 , 90 − 40� 4
�
1
+ 2 �
3
100 � 0
Andaikan jika � = 1
Maka 3.14 memiliki � = 1 dapat diselesaikan tanpa menentukan best efficient dan worst
efficient.
Minimum −
1
∶ −5�
1
− 10�
2
− 12�
3 2
∶ �
1
+ 2 �
2
+ 2 �
3
3.15
kendala 2
�
1
+ 8 �
2
+ 4 �
3
100 3
�
1
+ �
2
+ 4 �
3
50 4
�
1
+ 2 �
3
100 � 0
Universitas Sumatera Utara
20
Memodelkan 3.14 ke dalam Parametric Simplex Algorithm Minimum
4� + 1 �
1
+ −8� + 2 �
2
+ −10� + 2 �
3
3.16 kendala
2 �
1
+ 8 �
2
+ 4 �
3
+ �
4
100 3
�
1
+ �
2
+ 4 �
3
+ �
5
50 4
�
1
+ 2 �
3
+ �
6
100 � 0
Penyelesaian 3.16
Tabel 3.2 Tabel Simplex iterasi 1 � =
�
1
�
2
�
3
�
4
�
5
�
6 1
-5 -10
-12
2
1 2
2 �
4
2 8
4 1
100 �
5
3 1
4 1
50 �
6
4 2
1 100
ℬ ={4,5,6}, � ={1,2,3}, �
′
= �
5 6
,
5 6
,
6 7
=
6 7
, = 3 dan � = 5
Tabel 3.3 Tabel Simplex iterasi 1 � =
�
1
�
2
�
3
�
4
�
5
�
6 1
-12 1 12
-12 -25
2
4 -7
3 150
�
4
-1 7
1 -1
50 �
3
34 14
1 14
12 12 �
6
2 12 - 12
-12 1
75 ℬ ={3,4,6}, � ={1,2}, �
′
= �
9 11
=
9 11
, = 2 dan � = 4
Universitas Sumatera Utara
21
Tabel 3.4 Tabel Simplex iterasi 1 � =
�
1
�
2
�
3
�
4
�
5
�
6 1
-27 -314
-27 -35 57
2
3 1
2 200
�
2
-17 1
17 -17
7 17 �
3
1114 1
-128 27
10 57 �
6
2 37 114
-47 1
78 47 ℬ ={2,3,6}, � ={∅}, Penylesain efficient �
1
= 0, �
2
= 1
1 7
dan �
3
= 10
5 7
−
1
= −200 dan
2
= 35
5 7
.
Andaikan jika � = 0.5
Maka 3.14 jika memiliki � = 0.5 maka bentuk umum BLP menjadi
Minimum −
1
∶ −5�
1
− 10�
2
− 12�
3 2
∶ �
1
+ 2 �
2
+ 2 �
3
3.17
kendala 1.5 , 2.5 �
1
+ 6.5 , 9 �
2
+ 3 , 4.5 �
3
[95 , 120] 2 , 3.5 �
1
+ 0.625 , 1.5 �
2
+ 3 , 4.5 �
3
[45,70] 4
�
1
+ 2 �
3
100 � 0
Universitas Sumatera Utara
22
Maka Model best efficient 3.17
Minimum −
1
∶ −5�
1
− 10�
2
− 12�
3 2
∶ �
1
+ 2 �
2
+ 2 �
3
3.18
Kendala 1.5
�
1
+ 6.5 �
2
+ 3 �
3
125 2
�
1
+ 0.625 �
2
+ 3 �
3
70 4
�
1
+ 2 �
3
100 � 0
Memodelkan 3.18 best ke dalam Parametric Simplex Algorithm Minimum
4� + 1 �
1
+ −8� + 2 �
2
+ −10� + 2 �
3
3.19 kendala
1.5 �
1
+ 6.5 �
2
+ 3 �
3
125 2
�
1
+ 0.625 �
2
+ 3 �
3
70 4
�
1
+ 2 �
3
100 � 0
Penyelesaian 3.19 Tabel 3.5 Tabel Simplex iterasi 1
� = �
1
�
2
�
3
�
4
�
5
�
6 1
1 2
2
2
-5 -10
-12 �
4
1 12 6 12
3 1
125 �
5
2 58
3 1
70 �
6
4 2
1 100
ℬ ={4,5,6}, � ={1,2,3}, �
′
= �
5 6
,
5 6
,
6 7
=
6 7
, = 3 dan � = 5
Universitas Sumatera Utara
23
Tabel 3.6 Tabel Simplex iterasi 1 � =
�
1
�
2
�
3
�
4
�
5
�
6 1
- 13 1 712
- 23 -46 23
2
3 -7 12
4 280
�
4
- 12 5 78
1 -1
55 �
3
23 524
1 13
23 13 �
6
2 23 - 512
- 23 1
53 13 ℬ ={3,4,6}, � ={1,2}, �
′
= �
9 11
=
9 11
, = 2 dan � = 4
Tabel 3.7 Tabel Simplex iterasi 1
� =
� �
�
1
�
2
�
3
�
4
�
5
�
6 1
- 15 - 726
- 2768 -61 2347
2
2 1747 1 1347
2 3447 350 1047
�
2
- 447 1
847 - 847
9 1747 �
3
1319 1
- 128 719
21 1847 �
6
2 1219 114
- 5980 1
57 1147 ℬ ={2,3,6}, � ={∅}, Penylesain efficient �
1
= 0, �
2
= 9
17 47
dan �
3
= 21
18 47
−
1
= −350
10 47
dan
2
= 61
23 47
.
Maka Model worst efficient 3.17
Minimum −
1
∶ −5�
1
− 10�
2
− 12�
3 2
∶ �
1
+ 2 �
2
+ 2 �
3
3.20
Kendala 2.5
�
1
+ 9 �
2
+ 4.5 �
3
95 3.5
�
1
+ 1.5 �
2
+ 4.5 �
3
45 4
�
1
+ 2 �
3
100 � 0
Universitas Sumatera Utara
24
Memodelkan 3.20 best ke dalam Parametric Simplex Algorithm Minimum
4� + 1 �
1
+ −8� + 2 �
2
+ −10� + 2 �
3
3.21 Kendala
2.5 �
1
+ 9 �
2
+ 4.5 �
3
95 3.5
�
1
+ 1.5 �
2
+ 4.5 �
3
45 4
�
1
+ 2 �
3
100 � 0
Penyelesaian 3.21
Tabel 3.8 Tabel Simplex iterasi 1 � =
�
1
�
2
�
3
�
4
�
5
�
6 1
1 2
2
2
-5 -10
-12 �
4
2 12 9
4 12 1
95 �
5
3 12 1 12
4 12 1
45 �
6
4 2
1 100
ℬ ={4,5,6}, � ={1,2,3}, �
′
= �
5 6
,
5 6
,
6 7
=
6 7
, = 3 dan � = 5
Tabel 3.9 Tabel Simplex iterasi 1 � =
�
1
�
2
�
3
�
4
�
5
�
6 1
- 59 1 13
- 49 -20
2
4 13 -6
2 23 120
�
4
-1 7 12
1 -1
50 �
3
79 13
1 29
10 �
6
2 49 - 23
- 49 1
80 ℬ ={3,4,6}, � ={1,2}, �
′
= �
9 11
=
9 11
, = 2 dan � = 4
Universitas Sumatera Utara
25
Tabel 3.10 Tabel Simplex iterasi 1
� =
�
�
1
�
2
�
3
�
4
�
5
�
6 1
- 1745 - 845
- 415 -28 89
2
3 815 45
1 1315 0 160
�
2
- 215 1
215 - 215
6 23 �
3
3745 1
- 245 415
7 79 �
6
2 1645 445
- 815 1
84 49 ℬ ={2,3,6}, � ={∅}, Penylesain efficient �
1
= 0, �
2
= 6
2 3
dan �
3
= 7
7 9
−
1
= −160 dan
2
= 28
8 9
.
Andaikan jika � = 0
Maka 3.14 jika memiliki � = 0 maka bentuk umum BLP menjadi
Minimum −
1
∶ −5�
1
− 10�
2
− 12�
3 2
∶ �
1
+ 2 �
2
+ 2 �
3
3.22
kendala 1,3 �
1
+ 5,10 �
2
+ 2,5 �
3
[90,150] 1,4 �
1
+ 0.25,2 �
2
+ 2,5 �
3
40,90 4
�
1
+ 2 �
3
100 � 0
Maka Model best efficient 3.22
Minimum −
1
∶ −5�
1
− 10�
2
− 12�
3 2
∶ �
1
+ 2 �
2
+ 2 �
3
3.23
Kendala �
1
+ 5 �
2
+ 2 �
3
150 �
1
+ 0.25 �
2
+ 2 �
3
90 4
�
1
+ 2 �
3
100
Universitas Sumatera Utara
26
Memodelkan 3.23 best ke dalam Parametric Simplex Algorithm Minimum
4� + 1 �
1
+ −8� + 2 �
2
+ −10� + 2 �
3
3.24 kendala
�
1
+ 5 �
2
+ 2 �
3
150 �
1
+ 0.25 �
2
+ 2 �
3
90 4
�
1
+ 2 �
3
100 � 0
Penyelesaian 3.24
Tabel 3.11 Tabel Simplex iterasi 1
� = �
1
�
2
�
3
�
4
�
5
�
6 1
1 2
2
2
-5 -10
-12 �
4
1 5
2 1
150 �
5
1 0.25
2 1
90 �
6
4 2
1 100
ℬ ={4,5,6}, � ={1,2,3}, �
′
= �
5 6
,
5 6
,
6 7
=
6 7
, = 3 dan � = 5
Tabel 3.12 Tabel Simplex iterasi 1 � =
�
1
�
2
�
3
�
4
�
5
�
6 1
1 34 -1
-90
2
1 -8 12
6 540
�
4
4 34 1
-1 60
�
3
12 18
1 12
45 �
6
3 - 14
-1 1
10 ℬ ={3,4,6}, � ={1,2}, �
′
= �
9 11
=
9 11
, = 2 dan � = 4
Universitas Sumatera Utara
27
Tabel 3.13 Tabel Simplex iterasi 1 � =
�
1
�
2
�
3
�
4
�
5
�
6 1
- 719 - 1219
-112 19
2
1 1 1519
4 419 647 719
�
2
1 419
- 419 12 1219
�
3
12 1
- 138 1019
43 819 �
6
3 119
-1 119 1
13 319 ℬ ={2,3,6}, � ={∅}, Penylesain efficient �
1
= 0, �
2
= 12
12 19
dan �
3
= 43
8 19
−
1
= −647
7 19
dan
2
= 112
2 19
.
Maka Model worst efficient 3.22
Minimum −
1
∶ −5�
1
− 10�
2
− 12�
3 2
∶ �
1
+ 2 �
2
+ 2 �
3
3.25
Kendala 3
�
1
+ 10 �
2
+ 5 �
3
90 4
�
1
+ 2 �
2
+ 5 �
3
40 4
�
1
+ 2 �
3
100 � 0
Memodelkan 3.25 worst ke dalam Parametric Simplex Algorithm Minimum
4� + 1 �
1
+ −8� + 2 �
2
+ −10� + 2 �
3
3.26 Kendala
3 �
1
+ 10 �
2
+ 5 �
3
90 4
�
1
+ 2 �
2
+ 5 �
3
40 4
�
1
+ 2 �
3
100 � 0
Universitas Sumatera Utara
28
Penyelesaian 3.26
Tabel 3.14 Tabel Simplex iterasi 1 � =
�
1
�
2
�
3
�
4
�
5
�
6 1
1 2
2
2
-5 -10
-12 �
4
3 10
5 1
90 �
5
4 2
5 1
40 �
6
4 2
1 100
ℬ ={4,5,6}, � ={1,2,3}, �
′
= �
5 6
,
5 6
,
6 7
=
6 7
, = 3 dan � = 5
Tabel 3.15 Tabel Simplex iterasi 1 � =
�
1
�
2
�
3
�
4
�
5
�
6 1
- 35 1 15
- 25 -16
2
4 35 -5 15
2 25 96
�
4
-1 8
1 -1
50 �
3
45 25
1 15
8 �
6
2 25 - 45
- 25 1
84 ℬ ={3,4,6}, � ={1,2}, �
′
= �
9 11
=
9 11
, = 2 dan � = 4
Tabel 3.16 Tabel Simplex iterasi 1 � =
�
1
�
2
�
3
�
4
�
5
�
6 1
- 920 - 320
- 14 -23 12
2
3 1920 1320
1 34 128 12
�
2
- 18 1
18 - 18
6 14 �
3
1720 1
- 120 14
5 12 �
6
2 310 110
- 12 1
89 ℬ ={2,3,6}, � ={∅}, Penylesain efficient �
1
= 0, �
2
= 6
1 4
dan �
3
= 5
1 2
−
1
= −128
1 2
dan
2
= 23
1 2
.
Universitas Sumatera Utara
29
Hasil penyelesaian kasus numerik berupa nilai best efficient dan worst efficient dimana
� = {0,0.5,1} dapat disajikan dalam bentuk tabel dibawah ini Tabel 3.17 Nilai
best efficient
�
1
�
2
�
3 1
2
� = 0 9 1747
21 1847 350 1047
61 2347 � = 0.5
12 1219 43 89
647 719 112 219
� = 1 1 17
10 57 200
35 57
Tabel 3.18 Nilai worst efficient
�
1
�
2
�
3 1
2
� = 0 6 23
7 79 160
28 89 � = 0.5
6 14 5 ½
128 12 23 ½
� = 1 1 17
10 57 200
35 57
Dari perhitungan pada � = 0, � = 0.5, � = 1 didapati bahwa
Gambar 3.1 Best Efficient dan Worst Efficient
�
Universitas Sumatera Utara
30
Pada setiap � = 0 didapati
Best efficient dari produk satu adalah 0 dan worst efficient dari produk satu adalah 0 Best efficient dari produk dua adalah 12
12 19
dan worst efficient dari produk dua adalah 6
1 4
Best efficient dari produk tiga 43
8 9
adalah dan worst efficient dari produk tiga adalah 5
1 2
Pada setiap � = 0.5 didapati
Best efficient dari produk satu adalah 0 dan worst efficient dari produk satu adalah 0 Best efficient dari produk dua 9
17 47
adalah dan worst efficient dari produk dua adalah
Best efficient dari produk tiga adalah 21
18 47
dan worst efficient dari produk tiga adalah 7
7 9
Pada setiap � = 1 didapati
Best efficient dari produk satu 0 adalah dan worst efficient dari produk satu adalah 0 Best efficient dari produk dua adalah 7
1 7
dan worst efficient dari produk dua adalah 7
1 7
Best efficient dari produk tiga adalah 10
5 7
dan worst efficient dari produk tiga adalah 10
5 7
Gambar 3.1 Best Efficient dan Worst Efficient
�
Universitas Sumatera Utara
31
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
Kategori