yang menyebabkan terjadi kuantisasi spektrum energi elektron sehingga menghasilkan sub-sub energi pada satu dan dua dimensi. Pada struktur demikian
masih menyisakan derajat kebebasan elektron untuk bergerak pada dua dan satu dimensi. Pada bagian ini, akan dibahas perilaku elektron yang terkurung dalam
tiga dimensi atau dengan kata lain seluruh derajat kebebasan elektron menjadi terkuantisasi. Struktur semacam ini menunjukkan sifat seperti atom yang akan
dibahas secara mendetail di bagian ini L.P. Kouwenhoven, C.Marcus, 1998.
2.3.1 Fungsi Gelombang dan Tingkat-Tingkat Energi Quantum Dot
Ketika meninjau spektrum energi dari sebuah sistem berdimensi nol, perlu dikaji persamaan Schrödinger bebas waktu S.P Singh, M.K Badge, Kamal Singh, 1983
Ψ =
Ψ +
Ψ ∇
− E
V m
2 2
2 h
2.32 Dengan potensial yang merupakan fungsi dari tiga koordinat dan mengurung
elektron pada tiga arah. Bentuk potensial yang paling sederhana untuk memodelkan quantum dot adalah potensial kotak:
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
∞ +
= kotak
luar di
kotak dalam
di z
y x
V ,
, 2.33
Kotak yang dimaksud oleh potensial tersebut dibatasi kondisi
x
L x
≤ ≤
,
y
L y
≤ ≤
,
z
L z
≤ ≤
Gambar 2.7: Model quantum box S.P Singh, M.K Badge, Kamal Singh, 1983
Universitas Sumatera Utara
Solusi persamaan Schrödinger dengan demikian akan berbentuk S.P Singh, M.K Badge, Kamal Singh, 1983
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
=
z y
x z
y x
n n
n
L z
n L
y n
L x
n L
L L
z y
x π
π π
ψ
3 2
1 ,
,
sin sin
sin 8
, ,
3 2
1
2.34
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
+ +
=
2 2
3 2
2 2
2 2
1 2
2 ,
,
2
3 2
1
z y
x n
n n
L n
L n
L n
m E
π h
2.35 dengan n
1,
n
2,
n
3
= 1,2,3,…, bilangan bulat positif. Uniknya solusi persamaan Schrödinger untuk kotak kuantum sebagai model quantum dot ini terletak pada
kemunculan tiga bilangan kuantum diskret yang berasal dari tiga arah kuantisasi. Keadaan ini berarti telah diperoleh tingkat-tingkat energi yang bercabang tiga dan
fungsi gelombang elektron terlokalisasi pada seluruh tiga dimensi di dalam kotak. Secara umum, seluruh energi memiliki nilai yang berbeda, atau tidak ada
degenerasi. Akan tetapi, jika dua atau seluruh ukuran dimensi kotak L
x
, L
y
, L
z
memiliki nilai yang sama atau perbandingannya bilangan bulat, maka akan ada tingkat-tingkat energi yang sama. Situasi ini menghasilkan keadaan degenerasi:
satu tingkat energi bercabang dua jika dua dimensi kotak bernilai sama dan bercabang enam jika kotak benar-benar berbentuk kubus. Spektrum energi diskret
inilah yang membedakan kotak kuantum sebagai model quantum dot terhadap bentuk-bentuk lainnya quantum well dan quantum wires. Dengan pemecahan
persamaan Schrödinger yang telah diuraikan sebelumnya, tampak jelas kemunculan sifat tingkat energi pada quantum dot yang pada awalnya hanya
teramati untuk atom biasa. Jadi sangatlah wajar para ilmuwan menyebut quantum dot sebagai artificial atom. Kemiripan sifat antara quantum dot dengan atom juga
dapat dengan mudah dilihat pada kasus spherical dot, dengan bentuk potensial Vr berikut S.P Singh, M.K Badge, Kamal Singh, 1983
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
≥ ≤
= R
r V
R r
r V
b
2.36 dengan r adalah besar dari suatu vektor berarah radial, dan R adalah jari-jari
quantum dot. Solusi persamaan Schrödinger untuk kasus potensial di atas yang melibatkan simetri bola dapat diselesaikan dengan metode sparasi variabel,
Universitas Sumatera Utara
dimana solusi umum dari kasus di atas merupakan perkalian dari fungsi gelombang arah radial dan fungsi gelombang arah azimutal berikut
, ,
,
,
φ θ
ϕ θ
ψ
m l
Y r
R r
= 2.37
Besaran l, m berkaitan dengan bilangan kuantum magnetik dan proyeksinya terhadap sumbu-z. untuk fungsi berarah radial, persamaan Schrödingernya
menjadi:
2
2 2
2
r E
r r
V r
r m
eff
χ χ
χ =
+ ∂
∂ −
h 2.38
dengan
2 2
1 ,
r l
l r
V r
V r
rR r
eff
− +
= =
h χ
2.39 Terlihat bahwa persoalan untuk kasus di atas dapat direduksi menjadi persoalan
satu dimensi, yakni pada arah radial saja. Potensial efektif di atas hanya bergantung pada variable l saja, tetapi tidak bergantung pada bilangan kuantum m.
Dengan demikian, tingkat-tingkat energi pada quantum dot terdegenerasi oleh bilangan kuantum m dengan m=2l+1. Tingkat-tingkat energi merupakan fungsi
dari bilangan kuantum utama n dan bilangan kuantum l. Dalam quantum dot, elektron terkurung dalam sumur potensial yang memiliki kedalaman sangat besar,
sehingga dapat diasumsikan bahwa
∞ →
b
V
. Sehingga fungsi gelombang pada arah radial menjadi
2
2 1
r k
J r
k r
R
w l
+
= π
2.40
Dengan adalah fungsi Bessel speris, dan r
J
l 2
2 h
E m
k
w
= . Fungsi Bessel
speris, yang di defenisikan sebagai
2
2 1
x J
x x
j
l l
+
=
π 2.41
Universitas Sumatera Utara
dengan menggunakan fungsi duplikasi Legendre S.P Singh, M.K Badge, Kamal Singh, 1983
1 2
2 2
1
2 1
1 2
+ =
+
− −
z z
z
z
π 2.42
diperoleh
∑ ∑
∞ =
+ +
∞ =
+ +
+ +
+ −
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
+ +
− =
2 2
2 1
2 2
2 1
1 2
2 2
1 2
2 1
2 2
1 2
2 2
1 2
s s
l l
l s
s l
s l
x l
s s
l s
x x
s l
s n
s x
x j
π π
2.43
untuk kasus khusus n = 0, diperoleh
x x
x s
j
s s
s
sin 1
2 1
2
= +
− =
∑
∞ =
2.44 Selanjutnya, fungsi Bessel speris untuk orde lebih tinggi dapat diperoleh melalui
rumus rekursi berikut:
1
x j
dx d
x j
x l
x j
l l
l
− =
+
2.45
Gambar 2.8: Fungsi Bessel sperik l=0-4 untuk mencari tingkat-tingkat energi
pada quantum dot S.P Singh, M.K Badge, Kamal Singh, 1983
Universitas Sumatera Utara
Pada r = a jari-jari dot, haruslah dipenuhi Ra=0. Sehingga, akar-akar dari persamaan akan menyatakan tingkat-tingkat energi pada quantum dot.
Dalam teori spektum atom, bilangan kuantum l = 0, 1, 2, 3,.. menyatakan orbital s, p, d, … Dengan mengurutkan nilai akar-akar persamaan, yang bersesuaian dengan
nilai eigen energi, diperoleh deret tingkat-tingkat energi pada quantum dot 1s2, 1p6, 1d10, 2s2, 1f14, 2p6, …Angka dalam kurung menunjukkan jumlah
elekron yang terdapat pada tiap tingkat energi Stephanie M. Reimann, Matti Manninen, 2002
= a
k j
w l
2.3.2 Rapat Keadaan
