BAB IV
ELABORASI PENELITIAN TEORITIS
4.1. Quantum Dot Tanpa Medan Magnet Luar
Model yang digunakan dalam perhitungan diberikan sebagai berikut. Tanpa pengaruh medan magnet luar, sistem quantum dot dalam potensial parabolik dua
dimensi dilukiskan oleh Hamiltonian berbentuk L.P. Kouwenhoven dkk, 2001
2 2
2
ˆ 2
1 2
ˆ r
m m
p H
ω +
=
∧
4.1 dengan suku pertama menyatakan tenaga kinetik elektron dan suku kedua adalah
potensial pengungkung osilator harmonis dua dimensi untuk m adalah massa
efektif elektron, dan
.
Untuk menyelesaikan masalah ini secara lebih mudah, Hamiltonian 4.1 dibawa ke koordinat bola berbentuk Wahyu Tri
Cahyanto dkk, 2007
2 2
2
y x
r +
=
2 2
2 2
2 2
2
2 1
1 1
2 r
m r
r r
r m
H
ω ϕ
+ ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ −
= h
4.2 dengan demikian, penyelesaian persamaan Schrödinger merupakan produk dari
penyelesaian azimuth ϕ
Φ dan penyelesaian radial Rr menurut
, ϕ
φ ϕ
ψ r
R r
= 4.3
Perhitungan swanilai quantum dot dua dimensi dalam pengaruh medan magnet luar yang tegak lurus terhadap dot dilakukan dengan metode yang sama, yaitu
metode pemisahan variabel secara analitik. Hadirnya medan magnet luar menyebabkan gerakan orbital elektron pada bidang akan terpengaruh medan
magnet melalui ketergantungan vektor potensial r
A r
r terhadap momentum
r A
c e
p P
r r
r r
− =
dengan r
A r
r dipilih sedemikian rupa sehingga memenuhi
simetri gauge. Akibat lain yang muncul jika medan ini mengkopel spin elektron
Universitas Sumatera Utara
adalah adanya pemecahan aras-aras tenaga oleh spin melalui efek Zeeman dan efek interaksi spin orbit.
Persamaan swanilai untuk sistem ini tanpa medan magnet luar dalam sistem koordinat polar, berbentuk Wahyu Tri Cahyanto dkk, 2007
ψ ψ
ω ψ
ϕ
E r
m r
r r
r m
= +
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
−
2 2
2 2
2 2
2
2 1
1 1
2 h
4.4 Dengan metode pemisahan variabel
, φ
ϕ ψ
Φ = r
R r
,
,
bagian angular persamaan Schrödinger dapat diselesaikan sebagai
ϕ φ
ϕ ψ
r R
r =
, dengan adalah swa-fungsi untuk L
z
. Bagian radial persamaan Schrödinger akan memenuhi kaitan Wahyu Tri Cahyanto dkk, 2007
ϕ im
e
−
[ ]
1
2 2
2 2
2 2
2
= −
+ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ −
∂ ∂
+ ∂
∂ r
R r
k r
R r
m r
r R
r r
r R
λ 4.5
dengan
2 2
2m k
E h
=
,
dan h
ω λ
m =
adalah karakteristik osilator.
Syarat fisis yang harus dipenuhi oleh fungsi gelombang radial Rr adalah bahwa
, Rr haruslah tetap finit, dan saat
→ r
→ r
R
∞ →
r
.
Selanjutnya persamaan diferensial 4.5 disekitar
≈ r
pada orde terendah dinyatakan sebagai 1
2 2
2 2
= −
∂ ∂
+ ∂
∂ r
R r
m r
r R
r r
r R
4.6
Karena Rr harus finit di sekitar , maka Rr dapat dituliskan
sebagai ekspansi Taylor untuk
→ r
≈ r
dan suku pertama ekspansi haruslah berbentuk
dengan s adalah integer. Dari syarat kompatibilitas , nilai s haruslah
s
r r
R ≈
2 2
= − m
s
m s
=
untuk menjaga Rr finit pada titik asalnya . Dengan alasan sama untuk asimtot dari
saat
→ r
→ r
R
∞ →
r
, Rr akan
Universitas Sumatera Utara
berbentuk . Selanjutnya, kombinasi dua hasil di atas mengahasilkan
bentuk fungsi gelombang bagian radial Wahyu Tri Cahyanto dkk, 2007
2
2
r
e r
R
λ
−
≈
2
2
r F
e r
r R
r m
λ
−
=
4.7 dengan Fr haruslah bernilai konstan tidak nol saat
dan tidak dapat mengembang lebih cepat dari
saat
→ r
2
2
r
e
λ
−
∞ →
r
. Subtitusi persamaan 4.7 kepersamaan 4.5 memberikan Wahyu Tri Cahyanto dkk, 2007
[ ]
1 2
2 1
2
2 2
2
= −
+ −
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
− +
+ r
F k
m dr
r dF
r r
m dr
r F
d λ
λ 4.8
dengan memperkenalkan variabel baru tak berdimensi , Fr akan menjadi
berbentuk persamaan Kummer menurut Wahyu Tri Cahyanto dkk, 2007
2
r x
λ =
[ ]
2 1
2 1
1
2 2
2
= ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ −
+ −
− +
+ x
F k
m dx
x dF
x m
dx x
F d
x
λ 4.9
yang memiliki penyelesaian di x=0 berupa deret hiper-geometrik confluent Heun Biconfluent Wahyu Tri Cahyanto dkk, 2007
; 1
, x
m a
M x
F +
=
4.10 dengan
λ 4
1 2
1
2
k m
a −
+ =
. Deret hiper-geometrik confluent Heun Biconfluent menjadi polinomial jika dan hanya jika
-n a
=
dengan n = 0,1,2,...adalah bilangan kuantum radial. Setelah kondisi ini terpenuhi, fungsi gelombang baru dapat
dinormalisasi. Selanjutnya penyelesaian persamaan 4.4 adalah Wahyu Tri Cahyanto dkk, 2007
ϕ λ
λ ϕ
ψ
im r
m nm
nm
e r
m n
M e
r C
r
− −
+ −
= ;
1 ,
,
2 2
2
4.11 dan
1 2
+ +
= m
n E
nm
ω
h
4.12 dengan C
nm
adalah faktor normalisasi dan E
nm
adalah swa-nilai energi yang bergantung pada bilangan kuantum radial dan azimut n,m. Fungsi gelombang
nm
ψ dikenal sebagai aras-aras Fock-Darwin, setelah Fock dan Darwin menghitung
Universitas Sumatera Utara
swanilai partikel dalam potensial harmonik dan swa-nilai partikel dalam medan magnet luar secara terpisah.
Faktor normalisasi C
nm
adalah faktor normalisasi pada persamaan 4.11 dapat ditentukan dari nilai khusus parameter deret hiper-geometrik confluent,
yang pada kasus ini adalah bilangan kuantum radial n dan azimut m. Untuk nilai khusus tertentu ini, deret hiper-geometrik confluent Heun Biconfluent mereduksi
menjadi polinom Laguerre. Bentuk hubungan ini diberikan oleh Zumb¨uhl Dominik Max, 2004 dan Wahyu Tri Cahyanto dkk, 2007
; 1
, x
m n
M m
n m
n x
L
m n
+ −
+ =
4.13 dan polinom Laguerre
x L
m n
dinyatakan sebagai
1 i
i m
i n
m n
x L
n i
i m
n
+ −
+ −
=
∑
=
4.14 kemudian dari kaitan ortogonalitas
,
n m
n x
L x
L x
e dx
n n
m n
m n
m x
+ =
− ∞
∫
δ 4.15
yang dikombinasikan dengan persamaan 4.11 akan menghasilkan faktor normalisasi C
nm
. Selanjutnya bentuk fungsi gelombang pada persamaan 4.11 untuk aras-aras Fock-Darwin ternormalisasi menjadi Wahyu Tri Cahyanto dkk,
2007
ϕ λ
λ π
λ ϕ
ψ
im m
n r
m m
nm
e r
L e
r m
n n
r
− −
+
+ =
2 2
2 1
2
, 4.16
diperoleh spektrum tenaga persamaan 4.12 adalah
Universitas Sumatera Utara
Gambar 4.1: . Spektrum energi quantum dot yang diperoleh secara teoritis
Masing-masing kulit berkaitan dengan energi 1
+ N
ω h
dengan
m n
N +
= 2
tetap. Masing-masing kulit merosot sebanyak N+1 tanpa memperhitungkan spin. Wahyu Tri Cahyanto dkk, 2007
Karena elektron dapat memiliki spin-up maupun spin-down, maka masing- masing level dapat terisi oleh dua elektron. Keadaan n = 0, m = 0 oleh dua
elektron dengan spin berlawanan. Keadaan berikutnya terisi penuh oleh 4 elektron, yaitu dua elektron pada 0,1 dan dua lainnya pada 0,-1, sehingga kulit
Gambar 4.2 .Hasil eksperimen quantum dot sebagai atom buatan Tarucha dkk,
1996
Universitas Sumatera Utara
Gambar 4.3 .
Hasil eksperimen quantum dot sebagai atom buatan L.P. Kowenhoven,1997 kedua terisi penuh oleh 6 elektron. Kulit ketiga dapat dipenuhi
oleh 6 elektron yang masing-masing pasangan menempati keadaan 0,2, 0,-2, dan 1,0, sehingga kulit ketiga akan terisi penuh oleh 12 elektron. Pengisian
secara penuh kulit atom buatan ini membentuk ”bilangan magic” untuk N=2,6,12,20 yang sama dengan hasil eksperimen yang dilakukan oleh L.P
Kouwnhoven dan S.M Tarucha.
4.2. Quantum Dot dengan Pengaruh Medan Magnet Luar
Kategori