Gambar 2.2: a struktur dan b energi potensial quantum well Borovitskaya E,
dan Shur M.S, 2003
2.1.1 Fungsi Gelombang dan Sub Energi
Untuk memudahkan analisa, sumur potensial dianggab ideal berupa fungsi tangga
berikut Gambar 2.2b Borovitskaya E, dan Shur M.S, 2003:
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
≥ ≤
= 2
2 L
z untuk
V L
z untuk
z V
b
2.4 dengan V
b
, dan L berturut-turut adalah kedalaman, dan ketebalan sumur potensial. Karena fungsi potensial hanya fungsi dari sumbu z saja, maka pergerakan elektron
pada sumbu x dan y bersifat bebas dan dapat dinyatakan dengan sebuah fungsi gelombang bidang plane wafe. Dengan teknik separasi variabel, fungsi
gelombang elektron dapat ditulis menjadi: ,
, z
e z
y x
y k
x k
y x
χ ψ
+
= 2.5
Persamaan Schrödinger untuk fungsi gelombang z
χ adalah χ
χ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ −
= ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ +
∂ ∂
−
2 2
2 2
2
2 2
m k
E z
V z
m v
h h
2.6
,
2 y
x
k k
k =
v
dan kuantitas
2 2
2 m
k v
h
adalah energi kinetik elektron pada sumbu x dan y. jika didefenisikan
ε yang menyatakan energi pada arah sumbu-z
2
2m k
E v
h −
= ε
2.7
Universitas Sumatera Utara
Maka persamaan 2.6 dapat direduksi menjadi persamaan satu dimensi berikut
εχ χ
= ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ +
∂ ∂
− 2
2 2
2
z V
z m
h
2.8 Untuk kasus bound state dengan
b
V 〈
ε , solusi persamaan Schrödinger di luar
sumur adalah ⎪⎩
⎪ ⎨
⎧ −
≤ ≤
=
− −
−
2 2
2 2
L z
untuk Be
L z
untuk Ae
z
L z
k L
z k
b b
χ 2.9
dengan
2
2 h
b b
V m
k −
− =
ε sedangkan solusi persamaan Schrödinger di dalam sumur adalah kombinasi linier
dari fungsi gelombang bidang berikut z
k D
z k
C z
w w
cos sin
+ =
χ 2.10
dengan
2
2 h
ε m
k
w
− =
, dan A,B,C, serta D adalah konstanta sembarang. Pada kasus ini, solusi umum didapat dengan mengkombinasikan solusi genap dan ganjil
dengan syarat A=B untuk solusi genap dan A= -B untuk solusi ganjil. Untuk solusi genap
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
≤ ≥
=
− ±
2 cos
2
2
L z
untuk z
k D
L z
untuk Ae
z
w L
z k
b
χ 2.11
Untuk solusi ganjil
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
≤ ≥
± =
− ±
2 cos
2
2
L z
untuk z
k C
L z
untuk Ae
z
w L
z k
b
χ 2.12
tahapan berikutnya adalah matching function serta turunannya pada titik , untuk solusi genap diperoleh
2 L
z ±
=
b w
w w
Ak L
k Dk
A L
k D
= =
2 sin
2 cos
2.13 untuk solusi ganjil diperoleh
b w
w w
Ak L
k Ck
A L
k C
− =
= 2
sin 2
cos 2.14
Universitas Sumatera Utara
Dari persamaan 2.13 dan 2.14 dapat diperoleh ungkapan akhir tingkat energi pada quantum well berikut
2
2 2
2 ,
y x
n k
n
k k
m E
+ +
= h
v
ε 2.15
dengan
2 2
2 2
2 L
m n
n
π ε
h =
. Pengurunganelektron pada arah-z yang dinyatakan oleh
n
ε , memunculkan sub-sub energi subbands energy yang mempengaruhi spektrum
energi sistem seperti terlihat pada Gambar 2.3. Keberadaan sub-sub energi
tersebut merubah beberapa karakteristik perilaku elektron dibandingkan pada bulk material sebagai contoh, pada bulk material, adanya impuritas impurity
menciptakan sederetan level energi pada pita elektron, sementara pada quantum well, setiap sub energi membangkitkan sederajat level-level impuritas Abraha
Kamsul, 2007.
Gambar 2.3: Spektrum energi elektron dua-dimensi Abraha Kamsul, 2007
2.1.2 Rapat Keadaan Energi Quantum Well
Kategori