commit to user
2.1.5 Uji Nonlinearitas
Diketahui model STAR dari persamaan 2.6 sebagai berikut
1 2
1 , ,
, ,
t t
t d t
t d t
X G
c X G
c X
γ γ
ε
− −
= −
+ +
X X
φ φ
. Hipotesis nol dari nonlinearitas dapat diekspresikan sebagai persamaan dari
parameter AR dalam dua rezim sebagai berikut
1 2
: H
= φ φ
model linear,
1 1,
2,
: ,
i i
H ≠
φ φ
{ }
p i
,... 1
, satu
minimal untuk
∈ model nonlinear.
Menurut Van Dijk 1999, pada masalah uji nonlinearitas untuk alternatif dari tipe STAR dianjurkan sejumlah solusi untuk mengganti fungsi transisi
d t
X c
G
−
, ,
γ dengan pendekatan Taylor yang sesuai. Nonlinearitas dapat diuji
dengan statistik Lagrange Multiplier LM, di mana statistik uji ini memiliki distribusi asimtotis standar Chi-Squared
2
χ di bawah H .
Uji terhadap LSTAR
Model STAR pada persamaan 2.6 dapat ditulis dalam bentuk
1 2
1
, ,
t t
t t d
t
X G
c X
γ ε
−
= +
− +
X X
φ φ φ
. Menurut Van Dijk 1999, fungsi transisi
d t
X c
G
−
, ,
γ diganti dengan
pendekatan Taylor orde tiga di sekitar
=
γ ,
, ,
, 48
1 4
1 2
1 ,
, ,
, 6
1 ,
, 2
1 ,
, ,
, ,
,
3 3
3 3
3 3
3 2
2 2
3
c X
R c
X c
X c
X R
c X
G c
X G
c X
G c
X G
c X
T
d t
d t
d t
d t
d t
d t
d t
d t
d t
γ γ
γ γ
γ γ
γ γ
γ γ
γ γ
γ γ
γ γ
γ
− −
− −
= −
= −
= −
− −
+ −
+ −
+ =
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
=
di mana c
X R
d t
, ,
3
γ
−
merupakan fungsi remainder. Dengan mensubstitusikan c
X T
d t
, ,
3
γ
−
dalam persamaan 2.8 pada
d t
X c
G
−
, ,
γ dalam persamaam 2.7
didapatkan model bantuan,
2 3
0,0 1
2 3
t t
t t d
t t d
t t d
t
X X
X X
e β
− −
−
= +
+ +
+ +
β X β X β X
β X
, 2.7
2.9 2.8
commit to user
di mana
2 1
3
, ,
t t
t t d
e R
X c
ε γ
−
= + −
X
φ φ , dan
β ,
i
β di mana i=1,2,3
merupakan fungsi parameter dari
1 2
, , γ
φ φ , dan c.
Uji hipotesisnya menunjukkan
: =
γ
H
berhubungan dengan
1 2
3
: H
=
β = β = β
, yang dapat diuji menggunakan uji LM. Uji statistik tersebut disebut sebagai
3
LM , di bawah hipotesis nol linear dan memiliki distribusi asimtotis Chi-Squared dengan derajat bebas 3p
2 3 p
χ Van Dijk, 1999.
Uji terhadap ESTAR
Menurut Van Dijk 1999, nonlinearitas dapat diuji melalui alternatif ESTAR yang diberikan oleh persamaan 2.7 dengan mengganti fungsi transisi
eksponensial dengan pendekatan Taylor orde pertama di sekitar =
γ ,
, ,
, ,
, exp
1 ,
, exp
exp 1
, ,
, ,
, ,
, ,
1 2
1 2
1 2
2 1
1
c X
R c
X c
X R
c X
c X
R c
X c
X c
X c
X R
c X
G c
X G
c X
T
d t
d t
d t
d t
d t
d t
d t
d t
d t
d t
d t
d t
γ γ
γ γ
γ γ
γ γ
γ γ
γ γ
γ
− −
− −
− −
− −
− =
− −
−
+ −
= +
− +
− =
+ −
− −
+ −
− −
= +
∂ ∂
+ =
di mana c
X R
d t
, ,
1
γ
−
merupakan fungsi remainder. Dengan mensubstitusikan
1
, ,
t d
T X c
γ
−
dalam persamaan 2.10 pada
d t
X c
G
−
, ,
γ dalam persamaan 2.7
didapatkan model bantuan,
2 0,0
1 2
t t
t t d
t t d
t
X X
X e
β
− −
= +
+ +
+ β X β X
β X
, di mana
2 1
1
, ,
t t
t t d
e R X
c ε
γ
−
= + −
X
φ φ , dan
β ,
i
β di mana i=1,2,3
merupakan fungsi parameter dari
1 2
, , γ
φ φ , dan c. Ekspresi dari
,
β dan ,
1, 2, 3
i
i =
β
menunjukkan bahwa pembatasan =
γ berhubungan dengan
1 2
= = β β
dalam persamaan 2.11. Uji statistik untuk hipotesis nol ini adalah
2
LM dengan distribusi asimtotis
2 2 p
χ . Pada penentuan tipe fungsi transisi model STAR digunakan prosedur dari
Terasvirta yaitu melalui uji
3
LM . Meskipun
3
LM dikembangkan untuk uji 2.11
2.10
commit to user
alternatif LSTAR, namun uji ini memiliki kemampuan yang sama untuk alternatif ESTAR. Cara intuitif untuk memahami hal ini adalah dengan membandingkan
persamaan 2.9 dan 2.11 yang digunakan untuk menghitung statistik statistik
2
LM dan
3
LM . Terlihat bahwa semua regreser bantuan dalam persamaan 2.11 terkandung dalam persamaan 2.9. Oleh karena itu, statistik
3
LM diduga memiliki kemampuan yang sama baiknya terhadap ESTAR Van Dijk, 1999.
Statistik
3
LM berdasarkan persamaan 2.9 dapat diperoleh dengan cara 1. meregresikan
t
X terhadap
t
X ~
, menghitung residual
t
εˆ , dan jumlah kuadrat residual
∑
=
=
T i
t
SSR
1 2
ˆ ε
, 2. menduga regresi bantuan auxiliary regression
t
εˆ terhadap
1,
t
X
dan ,
1, 2,3
i t
t d
X i
−
= X
,
2 3
0,0 1
2 3
ˆ
t t
t t d
t t d
t t d
t
β X
X X
e ε
− −
−
= +
+ +
+ +
β X β X β X
β X
, kemudian menghitung jumlah residual kuadrat
∑
=
=
T i
t
e SSR
1 2
1
ˆ
, 3. dengan hipotesis
... ...
... :
, 3
1 ,
3 ,
2 1
, 2
, 1
1 ,
1
= =
= =
= =
p p
p
H β
β β
β β
β model linear,
nol dengan
sama tidak
yang satu
ada minimal
:
1
β
H model nonlinear,
statistik uji
3
LM dapat dihitung berdasarkan
1 3
SSR SSR
SSR T
LM −
=
, di mana distribusinya mengikuti distribusi
2 3 p
χ .
2.1.6 Pemilihan Variabel Transisi
Kategori