commit to user
Jika direpresentasikan ke dalam bentuk matriks maka persamaan 2.5 dapat disederhanakan menjadi
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
= ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
∑ ∑
∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑
= −
= −
= −
= −
= −
− =
− −
= −
− =
− =
− −
= −
− =
− −
= −
T t
t p
t T
t t
t T
t t
t
p T
t p
t T
t t
p t
T t
t p
t T
t p
t t
T t
t T
t t
t T
t p
t t
T t
t t
T t
t
X X
X X
X X
X X
X X
X X
X X
X X
X X
X X
X
2 2
2 2
1 2
1
2 2
2 2
2 1
2 2
2 2
2 2
1 2
2 1
2 2
1 2
2 1
M M
L M
O M
M L
L
φ φ
φ
atau dapat dituliskan menjadi =
xx xX
φ ,
dengan
1 1
1 2
1 2
2 2
3 2
1 1
t t
t p t
t t p
n t p n t p
n t n
X X
X X
X X
X X
X
− −
− −
− − −
− − −
−
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
x
L L
M M
O M
L ,
1 2
t t
nt
X X
X ⎡
⎤ ⎢
⎥ ⎢
⎥ = ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
X M
, dan
1 2
p
φ φ
φ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎣ ⎦
M φ
.
Estimasi parameter dari ˆ φ dalam bentuk vektor menjadi sebagai berikut
-1
= xx xX
φ .
2.1.4 Model Smooth Transition Autoregressive STAR
Model STAR merupakan pemodelan nonlinear perluasan dari model autoregresif di mana dalam modelnya terdapat dua rezim dan nilai dari
parameternya dimuluskan dengan pemulusan transisi. Menurut Terasvirta 1994, model STARp,d untuk runtun waktu
univariat yang diobservasi pada saat t=1,…,T-1,T dimodelkan sebagai
1 2
1 , ,
, ,
t t
t d t
t d t
X G
c X G
c X γ
γ ε
− −
= −
+ +
X X
φ φ
, dengan
STARp,d : model STAR dengan orde p dan variabel transisi
d t
X
−
, 1,
t t
= X
X di mana
1 2,
, ,...,
t t
t t p
X X
X
− −
−
= X
: log return saat periode ke-t,
1 1,0
1,1 1,2
1,
, ,
,...,
p
φ φ φ φ
⎡ ⎤
= ⎣ ⎦
φ : parameter pada rezim 1,
2.6
commit to user
2 2,0
2,1 2,2
2,
, ,
,...,
p
φ φ φ φ
⎡ ⎤
= ⎣ ⎦
φ : parameter pada rezim 2,
d t
X
−
: variabel transisi di mana p
d ≤
≤ 1
,
d t
X c
G
−
, ,
γ : fungsi transisi bernilai [0,1],
c : parameter lokasi, γ : slope, dan
t
ε : nilai residu sampai waktu ke-t dari model STAR p,d. Persamaan 2.6 di atas dapat dijabarkan sebagai
, ,
, ...
, ,
1 ...
, 2
1 1
, 2
, 2
, 1
1 1
, 1
, 1
t d
t p
t p
t d
t p
t p
t t
X c
G X
X X
c G
X X
X ε
γ φ
φ φ
γ φ
φ φ
+ +
+ +
+ −
+ +
+ =
− −
− −
− −
atau dapat dituliskan menjadi
t d
t p
j j
t j
d t
p j
j t
j t
X c
G X
X c
G X
X ε
γ φ
φ γ
φ φ
+ ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ +
+ −
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
+ =
− =
− −
= −
∑ ∑
, ,
, ,
1
1 ,
2 ,
2 1
, 1
, 1
. Fungsi transisi
d t
X c
G
−
, ,
γ bergantung pada nilai variabel transisi
d t
X
−
, slope
γ , dan parameter lokasi c. Besarnya parameter slope γ menentukan kemulusan antar rezim, sedangkan nilai dari parameter lokasi c mengindikasikan
lokasi transisi. Menurut Terasvirta 1994, model STAR terbagi dalam dua tipe
berdasarkan fungsi transisinya, yaitu logistik dan eksponensial. Jika fungsi transisi pada persamaan 2.6 berupa fungsi logistik
, exp
1 1
, ,
− −
+ =
− −
γ γ
γ c
X X
c G
d t
d t
maka disebut model Logistic Smooth Transition Autoregressive LSTAR. Jika fungsi transisi pada persamaan 2.6 berupa fungsi eksponensial
, exp
1 ,
,
2
− −
− =
− −
γ γ
γ
c X
X c
G
d t
d t
maka disebut model Exponential Smooth Transition Autoregressive ESTAR. Sifat dari fungsi transisi logistik dan eksponensial yaitu pada saat parameter slope
γ = , model LSTAR dan ESTAR akan menjadi model linear.
commit to user
2.1.5 Uji Nonlinearitas
