commit to user
alternatif LSTAR, namun uji ini memiliki kemampuan yang sama untuk alternatif ESTAR. Cara intuitif untuk memahami hal ini adalah dengan membandingkan
persamaan 2.9 dan 2.11 yang digunakan untuk menghitung statistik statistik
2
LM dan
3
LM . Terlihat bahwa semua regreser bantuan dalam persamaan 2.11 terkandung dalam persamaan 2.9. Oleh karena itu, statistik
3
LM diduga memiliki kemampuan yang sama baiknya terhadap ESTAR Van Dijk, 1999.
Statistik
3
LM berdasarkan persamaan 2.9 dapat diperoleh dengan cara 1. meregresikan
t
X terhadap
t
X ~
, menghitung residual
t
εˆ , dan jumlah kuadrat residual
∑
=
=
T i
t
SSR
1 2
ˆ ε
, 2. menduga regresi bantuan auxiliary regression
t
εˆ terhadap
1,
t
X
dan ,
1, 2,3
i t
t d
X i
−
= X
,
2 3
0,0 1
2 3
ˆ
t t
t t d
t t d
t t d
t
β X
X X
e ε
− −
−
= +
+ +
+ +
β X β X β X
β X
, kemudian menghitung jumlah residual kuadrat
∑
=
=
T i
t
e SSR
1 2
1
ˆ
, 3. dengan hipotesis
... ...
... :
, 3
1 ,
3 ,
2 1
, 2
, 1
1 ,
1
= =
= =
= =
p p
p
H β
β β
β β
β model linear,
nol dengan
sama tidak
yang satu
ada minimal
:
1
β
H model nonlinear,
statistik uji
3
LM dapat dihitung berdasarkan
1 3
SSR SSR
SSR T
LM −
=
, di mana distribusinya mengikuti distribusi
2 3 p
χ .
2.1.6 Pemilihan Variabel Transisi
Variabel transisi dapat ditentukan lebih dahulu tanpa menspesifikasikan bentuk alternatif dari fungsi transisi. Dengan menghitung statistik uji
3
LM untuk beberapa kandidat dari variabel transisi, dipilih variabel transisi dengan p-value
commit to user
terkecil atau statistik uji
3
LM terbesar. Dasar pemikiran di balik prosedur ini adalah bahwa uji harus memiliki kekuatan maksimum dalam hal model alternatif
telah dispesifikasikan dengan benar.
2.1.7 Pemilihan Fungsi Transisi
Jika uji nonlinearitas ditolak, dan variabel transisi yang tepat telah dipilih maka langkah selanjutnya adalah memilih bentuk dari fungsi transisi
d t
X c
G
−
, ,
γ berdasarkan statistik uji
3
LM Van Dijk, 1999. Berdasarkan model regresi bantuan pada persamaan 2.9 ,
2 3
0,0 1
2 3
t t
t t d
t t d
t t d
t
X X
X X
e β
− −
−
= +
+ +
+ +
β X β X β X
β X
, uji hipotesisnya adalah
linear, model
... ...
... :
, 3
1 ,
3 ,
2 1
, 2
, 1
1 ,
1
= =
= =
= =
p p
p
H
β β
β β
β β
dengan sama
tidak yang
satu ada
minimal :
1
β
H nonlinear.
Pemilihan fungsi transisi
d t
X c
G
−
, ,
γ dilakukan dengan menguji urutan hipotesis
nol berikut
0,3 3
0,2 2
3 0,1
1 3
2
i :
0 , ii
: 0,
iii : 0,
H H
H =
= =
= = =
β β
β β
β β
yaitu i jika
3
≠
β
maka model adalah LSTAR, ii jika
3
0, =
β
tetapi
2
≠ β
maka model adalah ESTAR, iii jika
3
= β
dan
2
0, =
β
tetapi
1
≠ β
maka model adalah LSTAR dan jika
1
0, =
β
maka model adalah ESTAR.
2.1.8 Estimasi Parameter Model STAR
Van Dijk 1999 menggunakan metode nonlinear least square NLS untuk mengestimasi parameter dari model STARp,d. Estimasi parameter pada
commit to user
metode NLS ditentukan dengan memiminimumkan jumlah kuadrat residu yang didefinisikan sebagai
2 1
ˆ arg min
arg min ,
T T
t t
t
Q X
F X
=
= =
−
∑
θ θ
θ
, dengan
1,0 1,
2,0 2,
1 1
, 1
, , , ,
,
p p
t j
t j t d
j t j
t d j
j
F X X
G c X
X G
c X φ
φ γ
φ φ
γ
− −
− −
= =
⎛ ⎞
⎛ ⎞
= +
− +
+ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎝
⎠ ⎝
⎠
∑ ∑
θ
di mana ,
exp 1
1 ,
, −
− +
=
− −
γ γ
γ c
X X
c G
d t
d t
untuk model LSTAR, dan
, exp
1 ,
,
2
− −
− =
− −
γ γ
γ
c X
X c
G
d t
d t
untuk model ESTAR. Proses pencarian nilai parameter pada metode NLS ini dilakukan dengan
menggunakan metode numerik untuk melakukan estimasi secara iterasi.
Metode Gauss-Newton
Metode Gauss-Newton merupakan suatu algoritma untuk meminimumkan jumlah kuadrat residu. Konsep yang mendasari teknik tersebut adalah uraian deret
Taylor yang digunakan untuk menyatakan persamaan nonlinear semula dalam suatu bentuk pendekatan yang linear. Dengan demikian, teori NLS dapat
digunakan untuk memperoleh estimator-estimator baru dari parameter yang bergerak ke arah yang meminimumkan jumlah kuadrat residu tersebut.
Secara umum iterasi Gaus-Newton dinyatakan sebagai
1 1
,
i i
i i
i t
t
D D
D X
F X
− +
⎡ ⎤
⎡ ⎤
= −
− ⎣
⎦ ⎢
⎥ ⎣
⎦
θ θ
θ θ
θ θ ,
dengan
1 2
, ,
, ,
, ,
i i
i i
T
F X F X
F X D
⎡ ⎤
∂ ∂
∂ = ⎢
⎥ ∂
∂ ∂
⎣ ⎦
θ θ
θ θ
θ θ
θ
L .
Misal dipunyai model STARp,d sedemikian hingga
t d
t p
j j
t j
d t
p j
j t
j t
X c
G X
X c
G X
X ε
γ φ
φ γ
φ φ
+ ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ +
+ −
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
+ =
− =
− −
= −
∑ ∑
, ,
, ,
1
1 ,
2 ,
2 1
, 1
, 1
,
commit to user
dengan ,
exp 1
1 ,
, −
− +
=
− −
γ γ
γ c
X X
c G
d t
d t
untuk model LSTAR,
, exp
1 ,
,
2
− −
− =
− −
γ γ
γ
c X
X c
G
d t
d t
untuk model ESTAR, dan
t
ε adalah nilai residu dari model. Oleh karena itu, dimiliki vektor parameter
θ sebagai
1,0 1,
2,0 2,
,..., ,
,..., , ,
p p
c φ
φ φ φ γ
= θ
. Menurut Nainggolan 2010, langkah awal algoritma Gauss-Newton
adalah menentukan nilai awal dan kemudian didekati dengan θ
,
t
X F
untuk T pengamatan oleh bentuk linear menggunakan ekspansi deret Taylor di sekitar nilai
awal
g
, yaitu
, ˆ
, ,
t t
t
F X F X
F X ⎡
⎤ ∂
≈ + ⎢
⎥ ∂
⎣ ⎦
θ=g
θ θ
g θ - g
θ
, dengan
1 k
g g
g ⎡
⎤ = ⎣
⎦
g
K adalah vektor dari parameter nilai awal.
Dengan penyederhanaan notasi ,
t t
F F X
=
g ,
= − β
θ g ,
ˆ
,
t t
F X D
=
⎡ ⎤
∂ = ⎢
⎥ ∂
⎣ ⎦
θ g
θ θ
, pendekatan pada persamaan 2.12 dapat ditulis menjadi
,
t t
t
F X F
D ≈
+ θ
β .
Oleh karena itu, diperoleh pendekatan model nonlinear ,
t t
t
X F X
ε =
+ θ
sebagai
t t
t t
X F
D ε
≈ +
+ β
. 2.12
commit to user
Karena
t t
t
F X
X −
≈ ,
maka diperoleh pendekatan model regresi linear
t t
t
X D
ε ≈
+
β
, atau dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut
≈ +
X D
β ε ,
dengan
1 1
2 2
, ,
,
T T
X F
X F
X F
⎡ ⎤
= −
− −
⎣ ⎦
X K
1 1
1 1
1 1
1,0 1,
2,0 2,
2 2
2 2
2 2
1,0 1,
2,0 2,
1,0 1,
2,0 2,
p p
p p
T T
T T
T T
p p
F F
F F
F F
c F
F F
F F
F c
F F
F F
F F
c
φ φ
φ φ
γ
φ φ
φ φ
γ
φ φ
φ φ
γ
⎡ ⎤
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
⎢ ⎥
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
⎢ ⎥
⎢ ⎥
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
⎢ ⎥
⎢ ⎥
= ∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
⎢ ⎥
⎢ ⎥
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
⎣ ⎦
D L
L
L L
M M
M M
M M
L L
1
, ,
,
k
β β β
⎡ ⎤
= ⎣ ⎦
β
K .
Parameter
β dapat di taksir dari persamaan normal pada model regresi
linear sederhana dan diperoleh
1 i
−
⎡ ⎤
= − ⎣
⎦
b θ
D D
D X
, di mana
b adalah vektor dari koefisien regresi kuadrat terkecil yang ditaksir
dan dapat digunakan untuk memperoleh taksiran parameter regresi berikutnya dengan koefisien regresi
1
= +
g g
b .
commit to user
2.1.9 Pemeriksaan Diagnostik