Pemilihan Variabel Transisi Pemilihan Fungsi Transisi Estimasi Parameter Model STAR

commit to user alternatif LSTAR, namun uji ini memiliki kemampuan yang sama untuk alternatif ESTAR. Cara intuitif untuk memahami hal ini adalah dengan membandingkan persamaan 2.9 dan 2.11 yang digunakan untuk menghitung statistik statistik 2 LM dan 3 LM . Terlihat bahwa semua regreser bantuan dalam persamaan 2.11 terkandung dalam persamaan 2.9. Oleh karena itu, statistik 3 LM diduga memiliki kemampuan yang sama baiknya terhadap ESTAR Van Dijk, 1999. Statistik 3 LM berdasarkan persamaan 2.9 dapat diperoleh dengan cara 1. meregresikan t X terhadap t X ~ , menghitung residual t εˆ , dan jumlah kuadrat residual ∑ = = T i t SSR 1 2 ˆ ε , 2. menduga regresi bantuan auxiliary regression t εˆ terhadap 1, t X dan , 1, 2,3 i t t d X i − = X , 2 3 0,0 1 2 3 ˆ t t t t d t t d t t d t β X X X e ε − − − = + + + + + β X β X β X β X , kemudian menghitung jumlah residual kuadrat ∑ = = T i t e SSR 1 2 1 ˆ , 3. dengan hipotesis ... ... ... : , 3 1 , 3 , 2 1 , 2 , 1 1 , 1 = = = = = = p p p H β β β β β β model linear, nol dengan sama tidak yang satu ada minimal : 1 β H model nonlinear, statistik uji 3 LM dapat dihitung berdasarkan 1 3 SSR SSR SSR T LM − = , di mana distribusinya mengikuti distribusi 2 3 p χ .

2.1.6 Pemilihan Variabel Transisi

Variabel transisi dapat ditentukan lebih dahulu tanpa menspesifikasikan bentuk alternatif dari fungsi transisi. Dengan menghitung statistik uji 3 LM untuk beberapa kandidat dari variabel transisi, dipilih variabel transisi dengan p-value commit to user terkecil atau statistik uji 3 LM terbesar. Dasar pemikiran di balik prosedur ini adalah bahwa uji harus memiliki kekuatan maksimum dalam hal model alternatif telah dispesifikasikan dengan benar.

2.1.7 Pemilihan Fungsi Transisi

Jika uji nonlinearitas ditolak, dan variabel transisi yang tepat telah dipilih maka langkah selanjutnya adalah memilih bentuk dari fungsi transisi d t X c G − , , γ berdasarkan statistik uji 3 LM Van Dijk, 1999. Berdasarkan model regresi bantuan pada persamaan 2.9 , 2 3 0,0 1 2 3 t t t t d t t d t t d t X X X X e β − − − = + + + + + β X β X β X β X , uji hipotesisnya adalah linear, model ... ... ... : , 3 1 , 3 , 2 1 , 2 , 1 1 , 1 = = = = = = p p p H β β β β β β dengan sama tidak yang satu ada minimal : 1 β H nonlinear. Pemilihan fungsi transisi d t X c G − , , γ dilakukan dengan menguji urutan hipotesis nol berikut 0,3 3 0,2 2 3 0,1 1 3 2 i : 0 , ii : 0, iii : 0, H H H = = = = = = β β β β β β yaitu i jika 3 ≠ β maka model adalah LSTAR, ii jika 3 0, = β tetapi 2 ≠ β maka model adalah ESTAR, iii jika 3 = β dan 2 0, = β tetapi 1 ≠ β maka model adalah LSTAR dan jika 1 0, = β maka model adalah ESTAR.

2.1.8 Estimasi Parameter Model STAR

Van Dijk 1999 menggunakan metode nonlinear least square NLS untuk mengestimasi parameter dari model STARp,d. Estimasi parameter pada commit to user metode NLS ditentukan dengan memiminimumkan jumlah kuadrat residu yang didefinisikan sebagai 2 1 ˆ arg min arg min , T T t t t Q X F X = = = − ∑ θ θ θ , dengan 1,0 1, 2,0 2, 1 1 , 1 , , , , , p p t j t j t d j t j t d j j F X X G c X X G c X φ φ γ φ φ γ − − − − = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + − + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ ∑ θ di mana , exp 1 1 , , − − + = − − γ γ γ c X X c G d t d t untuk model LSTAR, dan , exp 1 , , 2 − − − = − − γ γ γ c X X c G d t d t untuk model ESTAR. Proses pencarian nilai parameter pada metode NLS ini dilakukan dengan menggunakan metode numerik untuk melakukan estimasi secara iterasi. Metode Gauss-Newton Metode Gauss-Newton merupakan suatu algoritma untuk meminimumkan jumlah kuadrat residu. Konsep yang mendasari teknik tersebut adalah uraian deret Taylor yang digunakan untuk menyatakan persamaan nonlinear semula dalam suatu bentuk pendekatan yang linear. Dengan demikian, teori NLS dapat digunakan untuk memperoleh estimator-estimator baru dari parameter yang bergerak ke arah yang meminimumkan jumlah kuadrat residu tersebut. Secara umum iterasi Gaus-Newton dinyatakan sebagai 1 1 , i i i i i t t D D D X F X − + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = − − ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ θ θ θ θ θ θ , dengan 1 2 , , , , , , i i i i T F X F X F X D ⎡ ⎤ ∂ ∂ ∂ = ⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂ ⎣ ⎦ θ θ θ θ θ θ θ L . Misal dipunyai model STARp,d sedemikian hingga t d t p j j t j d t p j j t j t X c G X X c G X X ε γ φ φ γ φ φ + ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + + − ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + = − = − − = − ∑ ∑ , , , , 1 1 , 2 , 2 1 , 1 , 1 , commit to user dengan , exp 1 1 , , − − + = − − γ γ γ c X X c G d t d t untuk model LSTAR, , exp 1 , , 2 − − − = − − γ γ γ c X X c G d t d t untuk model ESTAR, dan t ε adalah nilai residu dari model. Oleh karena itu, dimiliki vektor parameter θ sebagai 1,0 1, 2,0 2, ,..., , ,..., , , p p c φ φ φ φ γ = θ . Menurut Nainggolan 2010, langkah awal algoritma Gauss-Newton adalah menentukan nilai awal dan kemudian didekati dengan θ , t X F untuk T pengamatan oleh bentuk linear menggunakan ekspansi deret Taylor di sekitar nilai awal g , yaitu , ˆ , , t t t F X F X F X ⎡ ⎤ ∂ ≈ + ⎢ ⎥ ∂ ⎣ ⎦ θ=g θ θ g θ - g θ , dengan 1 k g g g ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ g K adalah vektor dari parameter nilai awal. Dengan penyederhanaan notasi , t t F F X = g , = − β θ g , ˆ , t t F X D = ⎡ ⎤ ∂ = ⎢ ⎥ ∂ ⎣ ⎦ θ g θ θ , pendekatan pada persamaan 2.12 dapat ditulis menjadi , t t t F X F D ≈ + θ β . Oleh karena itu, diperoleh pendekatan model nonlinear , t t t X F X ε = + θ sebagai t t t t X F D ε ≈ + + β . 2.12 commit to user Karena t t t F X X − ≈ , maka diperoleh pendekatan model regresi linear t t t X D ε ≈ + β , atau dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut ≈ + X D β ε , dengan 1 1 2 2 , , , T T X F X F X F ⎡ ⎤ = − − − ⎣ ⎦ X K 1 1 1 1 1 1 1,0 1, 2,0 2, 2 2 2 2 2 2 1,0 1, 2,0 2, 1,0 1, 2,0 2, p p p p T T T T T T p p F F F F F F c F F F F F F c F F F F F F c φ φ φ φ γ φ φ φ φ γ φ φ φ φ γ ⎡ ⎤ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎣ ⎦ D L L L L M M M M M M L L 1 , , , k β β β ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ β K . Parameter β dapat di taksir dari persamaan normal pada model regresi linear sederhana dan diperoleh 1 i − ⎡ ⎤ = − ⎣ ⎦ b θ D D D X , di mana b adalah vektor dari koefisien regresi kuadrat terkecil yang ditaksir dan dapat digunakan untuk memperoleh taksiran parameter regresi berikutnya dengan koefisien regresi 1 = + g g b . commit to user

2.1.9 Pemeriksaan Diagnostik