commit to user
tertentu dengan mean konstan µ
ε =
t
E biasanya diasumsikan nol, variansi
2
σ , dan
, =
=
+k t
t
Cov k
ε ε
γ untuk setiap
≠ k
Wei, 1990.
Proses Autoregresif Orde p
Menurut Wei 1990, proses ARp dapat didefinisikan sebagai
t p
t p
t t
t
X X
X X
ε φ
φ φ
+ +
+ +
=
− −
−
...
2 2
1 1
, dengan ARp adalah proses autoregresif sampai lag ke-p dan
t
ε adalah nilai residu sampai waktu ke-t dari model ARp, atau dapat ditulis dalam bentuk
t t
X B
ε φ
=
, di mana
p p
B B
B B
φ φ
φ φ
− −
− −
= ...
1
2 2
1
dan operator backward-shift lag operator didefinisikan sebagai
,
j t
t j
X X
B
−
= Z
t j
∈ ,
.
2.1.3 Estimasi Parameter AR Linear
Menurut Cryer 1983, estimasi dari parameter model dapat diperoleh dengan menggunakan metode kuadrat terkecil least square method, yaitu dengan
meminimumkan jumlah kuadrat residu sum squared error berikut
2 2
2 2
1 1
2
...
∑ ∑
= −
− −
− −
− −
= =
T t
p t
p t
t t
t
X X
X X
SSE
φ φ
φ ε
. Jumlah kuadrat residu pada persamaan 2.1 di atas akan minimum jika turunan
parsial pertama terhadap
p
φ φ
φ ,...,
,
2 1
sama dengan nol.
Misal dipunyai model AR1 sebagai berikut
t t
t
X X
ε φ
+ =
−1
, dengan t=1, 2, ...,T dan
t
ε ~
,
2
σ WN
. Nilai estimasi dari φ dapat diperoleh
dengan meminimumkan jumlah kuadrat residu berikut
2 2
1 2
∑ ∑
= −
− =
=
T t
t t
t
X X
SSE
φ ε
. Jumlah kuadrat residu pada persamaan 2.3 di atas akan minimum jika turunan
parsial terhadap φ sama dengan nol,
2.3 2.2
2.1
commit to user
. 2
2 2
1 2
1 2
2 1
2 1
2 1
1
∑ ∑
∑ ∑
∑
= −
= −
= −
= −
= −
−
= ⇔
= −
⇔ =
− −
= ∂
∂
T t
t T
t t
t T
t t
T t
t t
T t
t t
t
X X
X X
X X
X X
X SSE
φ φ
φ φ
Estimasi dari φ dapat dinyatakan sebagai
∑ ∑
= −
= −
=
T t
t T
t t
t
X X
X
2 2
1 2
1
ˆ φ
.
Untuk model ARp
t p
t p
t t
t
X X
X X
ε φ
φ φ
+ +
+ +
=
− −
−
...
2 2
1 1
,
dengan t=1,...,T, R
p
∈ φ
φ φ
,..., ,
2 1
, dan
t
ε ~ ,
2
σ WN
diperoleh sistem persamaan linear dengan p parameter sebagai berikut
... 2
2 2
2 1
1 1
1
= −
− −
− −
= ∂
∂
∑
= −
− −
− T
t p
t p
t t
t t
X X
X X
X SSE
φ φ
φ φ
. ...
2 ...
2
2 2
2 1
1 2
2 2
1 1
2 2
= −
− −
− −
= ∂
∂ =
− −
− −
− =
∂ ∂
∑ ∑
= −
− −
− =
− −
− −
T t
p t
p t
t t
p t
p T
t p
t p
t t
t t
X X
X X
X SSE
X X
X X
X SSE
φ φ
φ φ
φ φ
φ φ
M
Dari persamaan 2.4 diperoleh
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
= −
= −
= −
− −
= −
= −
= −
− =
− −
= −
= −
= −
− =
− −
= −
= +
+ +
= +
+ +
= +
+ +
T t
t p
t T
t p
t p
T t
t p
t p
t T
t t
T t
t t
T t
p t
t p
T t
t t
T t
t T
t t
t T
t p
t t
p T
t t
t T
t t
X X
X X
X X
X X
X X
X X
X X
X X
X X
X X
X
2 2
2 2
2 2
2 1
1 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 1
1 2
1 2
1 2
2 1
2 2
2 1
1
... ...
...
φ φ
φ φ
φ φ
φ φ
φ
M
2.5 2.4
commit to user
Jika direpresentasikan ke dalam bentuk matriks maka persamaan 2.5 dapat disederhanakan menjadi
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
= ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
∑ ∑
∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑
= −
= −
= −
= −
= −
− =
− −
= −
− =
− =
− −
= −
− =
− −
= −
T t
t p
t T
t t
t T
t t
t
p T
t p
t T
t t
p t
T t
t p
t T
t p
t t
T t
t T
t t
t T
t p
t t
T t
t t
T t
t
X X
X X
X X
X X
X X
X X
X X
X X
X X
X X
X
2 2
2 2
1 2
1
2 2
2 2
2 1
2 2
2 2
2 2
1 2
2 1
2 2
1 2
2 1
M M
L M
O M
M L
L
φ φ
φ
atau dapat dituliskan menjadi =
xx xX
φ ,
dengan
1 1
1 2
1 2
2 2
3 2
1 1
t t
t p t
t t p
n t p n t p
n t n
X X
X X
X X
X X
X
− −
− −
− − −
− − −
−
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
x
L L
M M
O M
L ,
1 2
t t
nt
X X
X ⎡
⎤ ⎢
⎥ ⎢
⎥ = ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
X M
, dan
1 2
p
φ φ
φ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎣ ⎦
M φ
.
Estimasi parameter dari ˆ φ dalam bentuk vektor menjadi sebagai berikut
-1
= xx xX
φ .
2.1.4 Model Smooth Transition Autoregressive STAR
