Peramalan Tekanan Udara Bulanan Di Kota Medan Dengan Metode Box-Jenkins

PERAMALAN TEKANAN UDARA BULANAN DI KOTA MEDAN

DENGAN METODE BOX-JENKINS

TUGAS AKHIR

PRIMA JANA A S

072407020

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2010

PERSETUJUAN

Judul : PERAMALAN TEKANAN UDARA BULANAN DI KOTA MEDAN DENGAN METODE BOX-JENKINS

Kategori : TUGAS AKHIR

Nama : PRIMA JANA A S

Nomor Induk Mahasiswa : 072407020

Program Studi : DIPLOMA (D3) STATISTIKA Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di Medan, Mei 2010

Diketahui

Departemen Matematika FMIPA USU Pembimbing 1 Ketua,

Dr. Saib Suwilo, M.Sc Drs. Marwan Harahap, M.Eng NIP. 19640109 198803 1 004 NIP. 19461225 197403 1 001

iii

PERNYATAAN

PERAMALAN TEKANAN UDARA BULANAN DI KOTA MEDAN DENGAN METODE BOX-JENKINS

TUGAS AKHIR

Saya mengakui bahwa tugas akhir ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing – masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juni 2010

PRIMA JANA A S 072407020

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis ucapkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas Berkat dan RahmatNya akhirnya penulis dapat menyelesaikan penulisan Tugas Akhir dengan judul “PERAMALAN TEKANAN UDARA BULANAN DI KOTA MEDAN DENGAN METODE BOX-JENKINS” ini tepat pada waktunya.

Pada kesempatan ini penulis menghaturkan terimakasih atas petunjuk dan bimbingan yang berharga yang telah diberikan kepada penulis sehingga akhirnya penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir ini, terutama kepada : Bapak Dr. Edi Marlianto, M.Sc selaku dekan Fakultas MIPA USU, Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Ketua Pelaksana program studi D3 FMIPA USU dan Bapak Drs. Marwan Harahap, M.Eng selaku pembimbing penulis di Fakultas MIPA yang telah banyak memberikan bantuan, bimbingan serta saran.

Secara khusus dengan penuh rasa hormat penulis mengucapkan terimakasih kepada Ibunda tercinta dan kedua adik penulis yang selalu menjadi inspirasi dan memberikan semangat, bimbingan, pengorbanan dan dukungan mereka selama ini. Terima kasih juga kepada sahabat-sahabat penulis yang selalu membantu penulis dalam menyelesaikan Tugas Akhir ini.

Akhir kata, penulis dengan segala kerendahannya mohon bimbingan, karena penulis menyadari sepenuhnya bahwa Tugas akhir ini tidak liput dari kesalahan. Untuk itu penulis memberanikan diri untuk menerima tanggapan, kritikan sebagai masukan untuk dapat menyempurnakan Tugas Akhir ini. Semoga Tugas Akhir ini dapat memberikan ilmu dan pengetahuan kepada setiap orang yang membacanya.

v

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Daftas Isi v

Daftar Tabel vi

Daftar Gambar vii

BAB 1 Pendahuluan

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Tinjauan Pustaka 3

1.4 Tujuan Penelitian 5

1.5 Kontribusi Penelitian 5

1.6 Metode Penelitian 6

1.7 Sistematika Penulisan 7

BAB 2 Landasan Teori

2.1 Peramalan 8

2.2 Jenis-jenis Peramalan 9

2.2.1 Peramalan Kualitatif 9

2.2.2 Peramalan Kuantitatif 9

2.3 Metode Peramalan 10

2.4 Jenis-Jenis Metode Peramalan Kualitatif 10 2.5 Pemilihan Teknik dan Metode Peramalan 11 2.6 Metode Deret Berkala (Time Series) Box – Jenkins (ARIMA) 13

2.7 Metode Auto Regressive (AR) 14

2.8 Metode Rataan Bergerak / Moving Average (MA) 15

2.9 Metode Box-Jenkins 16

BAB 3 Analisa dan Evaluasi

3.1 Studi Kasus 18

3.2 Analisis Plot Data Awal 19

3.3 Pengecekan Model 27

3.4 Peramalan 28

BAB 4 Kesimpulan dan Saran

4.1 Kesimpulan 30

4.2 Saran 31

Daftar Pustaka 32

DAFTAR TABEL

Halaman Tabel 3.1.1 Data Tekanan Udara Bulan Januari 2005 – Bulan

Desember 2009 18

Tabel 3.2.1 Nilai Nilai Pembedaan Pertama 22

Tabel 3.2.2 Nilai Nilai Pembedaan Kedua 25

Tabel 3.4.1 Validasi antara Prediksi Tahun 2009 dan Data Aktual 2009 28

vii

DAFTAR GAMBAR

Halaman Gambar 3.2.1 Plot Nilai Tekanan Udara Kota Medan

Tahun 2005-2009 19

Gambar 3.2.2 Autokorelasi Tekanan Udara Kota Medan

Tahun 2005-2009 20

Gambar 3.2.3 Autokorelasi Parsial Tekanan Udara Kota Medan

Tahun 2005-2009 20

Gambar 3.2.4 Plot Tekanan Udara Menggunakan Pembedaan pertama 22 Gambar 3.2.5 Autokorelasi Tekanan Udara Menggunakan Pembedaan

Pertama 23

Gambar 3.2.6 Autokorelasi Parsial Tekanan Udara Menggunakan

Pembedaan Pertama 23

Gambar 3.2.7 Plot Tekanan Udara Menggunakan Pembedaan Kedua 26 Gambar 3.2.8 Autokorelasi Tekanan Udara Menggunakan Pembedaan

Kedua 26

Gambar 3.2.9 Autokorelasi Parsial Tekanan Udara Menggunkan

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Di Indonesia meteorologi diasuh dalam Badan Meteorologi dan Geofisika di Jakarta yang sejak tahun enam puluhan telah diterapkan menjadi suatu direktorat perhubungan udara. Direktorat BMG tersebut bertugas mengadakan penelitian dan pelayanan meteorologi dan geofisika yang salah satu bidangnya adalah iklim.

Iklim merupakan kebiasaan alam yang digerakkan oleh gabungan beberapa unsur yaitu radiasi matahari, temperatur, kelembaban, curah hujan, suhu udara, tekanan udara dan angin. Unsur-unsur itu berbeda pada tempat yang satu dengan tempat yang lainnya. Perbedaan itu disebabkan karena ketinggian tempat, garis lintang, daerah tekanan, arus laut dan permukaan tanah.

Pengaruh timbal balik antara faktor tersebut akan menentukan pola yang diperlihatkan oleh unsur. Tetapi sebaliknya, unsur-unsur tersebut pada suatu batas tertentu akan mempengaruhi faktor juga, sehingga keadaan cenderung untuk melanjutkan proses timbal balik tadi. Batas pola yang ditentukan itu umumnya stabil. Terjadinya penyimpangan tidak dapat dihindari pada proses tersebut. Penyimpangan yang dimaksud sesungguhnya merupakan pengecualian yang harus diperhatikan.

2

Penyimpangan tersebut dapat menimbulkan bencana, baik bagi manusia, ternak, tumbuh-tumbuhan, seperti halnya banjir, badai atau angin topan, kekeringan, dan lain sebagainya.

Iklim beserta unsurnya penting untuk diperhatikan dan dipelajari dengan sebaik-baiknya, karena pengaruhnya sering menimbulkan masalah bagi manusia serta makhluk hidup lainnya. Masalah tersebut merupakan tantangan bagi manusia karena harus berusaha untuk mengatasinya dengan menghindari atau memperkecil pengaruh yang tidak menguntungkan kehidupan manusia.

Dari keadaan di atas penulis ingin mengadakan penelitian terhadap data tekanan udara pada masa yang lalu (dari bulan Januari 2005 sampai dengan bulan Desember 2009), untuk meramalkan tekanan udara pada masa yang akan datang, sebagai bahan penulisan tugas akhir dengan judul "PERAMALAN TEKANAN UDARA BULANAN DI KOTA MEDAN DENGAN METODE BOX-JENKINS".

1.2 Perumusan Masalah

Untuk memudahkan penelitian, maka penulis meramalkan tekanan udara yang akan datang (bulan Januari 2010) menggunakan data tekanan udara pada bulan Januari 2005 sampai dengan Desember 2009 dengan metode Box-Jenkins.

1.3 Tinjauan Pustaka

Metodologi ARIMA Box-Jenkins merupakan suatu pendekatan pembentukan model yang sangat kuat untuk analisis deret berkala. Ia memberikan kajian yang teliti, tetapi ia tidak dapat diterapkan dengan baik kecuali apabila dimengerti dengan baik. Untuk nilai p, d, q, P, D dan Q yang sangat kecil pada model umum ARIMA (p, d, q) (P, D, Q)S data dapat diprediksi.

ARIMA dikembangkan oleh Box dan Jenkins. Metode ini merupakan gabungan dari metode penghalusan, metode regresi dan metode dekomposisi. Metode ini banyak digunakan untuk peramalan harga saham, penjualan dan variabel runtun waktu lainnya. Model runtun waktu ini biasanya digunakan bila hanya sedikit yang diketahui mengenai variabel-variabel tak bebas yang dapat digunakan untuk menjelaskan variabel bebas yang diminati. Dalam meramalkan tekanan udara, maka dapat digunakan beberapa buku antara lain :

Makridakis, S [1] menguraikan bahwa dalam metode dan aplikasi peramalan Makridakis, pada dasarnya ada dua model dari metode Box-Jenkins yaitu model linier untuk deret statis (Stationery Series) dan model linier yang tidak statis (Non Stationery Series). Model-model untuk deret statis menggunakan teknik penyaringan untuk deret waktu yaitu apa yang disebut dengan ARMA (Auto Regresive-Moving Average) untuk suatu kumpulan data, sedangkan untuk model yang tidak statis menggunakan apa yang disebut ARIMA (Auto Regresive-Integrate-Moving Average). Untuk kumpulan data, model ARIMA (p,q) menjadi :

− + Φ

+ + Φ

+ Φ

= t− t− p t−p t

t X X X e

4

Untuk data yang dikumpulkan secara bulanan, pembedaan satu musim penuh (tahun) dapat dihitung Xt −Xt−12 =

(

1−B12

)

Xt. Sehingga untuk model ARIMA (p,d,f),

(

)

s

Q D

P, , dengan s adalah jumlah periode per musim.

Assauri, S [2] menguraikan tentang definisi peramalan adalah kegiatan memperkirakan apa yang akan terjadi pada masa yang akan datang. Sedangkan ramalan adalah situasi atau kondisi yang diperlukan akan terjadi pada masa yang akan datang. Ramalan tersebut dapat didasarkan atas bermacam-macam cara yang dikenal dengan metode peramalan.

Daldjoeni, N [3] menguraikan tentang klimatologi yakni selukbeluknya, klasifikasinya serta pernyataan secara wilayah. Dalam beberapa uraiannya diusahakan relevansinya dengan kehidupan makhluk hidup.

Maljoivi [4] menguraikan tentang peramalan usaha dengan berbagai metode, salah satunya dengan menggunakan metode runtun waktu lanjutan yang di dalamnya terdapat bermacam-macam metode antara lain : metode otokorelasi

(

Y_t =Y_t−n

)

, metode otoregresi

(

Y_t =Φ₁Y_t−1 +...+Φ_nY_t−n +e_t

)

, dan metode Box-Jenkins.

Mudrajad [5] menguraikan tentang analisis kurs valas menggunakan pendekatan Box-Jenkins dengan ARMA (Auto-Regresi-Moving-Average) adalah metode yang menggabungkan banyak unsur dalam teori dan banyak dipakai untuk tujuan peramalan.

Sudjana [6] menguraikan tentang data yang terdiri atas dua atau lebih variabel untuk mempelajari cara bagaimana data itu berhubungan. Hubungan yang didapat pada umumnya dinyatakan dalam bentuk persamaan matematika yang menyatakan hubungan fungsional antara variabel-variabel. Untuk keperluan analisis, variabel bebas akan dinyatakan dengan X₁,X₂,...,X_k(k≥1)sedangkan variabel tak bebas akan dinyatakan dengan Y.

Sosrodarsono, Suyono [7] menguraikan tentang faktor iklim dan unsur iklim dimana iklim di suatu tempat atau daerah ditentukan oleh suhu udara, curah hujan, angin, penyinaran matahari dan sebagainya. Faktor dan unsur iklim tersebut berpengaruh terhadap tanaman, hewan, manusia dan kependudukan.

1.4 Tujuan Penelitian

Secara umum penelitian ini bertujuan untuk menganalisa tekanan udara di kota Medan dengan metode Box-Jenkins.

1.5 Kontribusi penelitian

Penganalisaan dengan metode Box-Jenkins diharapkan dapat menjadi nilai tambah dan bermanfaat bagi pihak instansi (BMG), PERUMKIM, penerbangan, peternakan dan perkebunan untuk memberikan gambaran tentang tekanan udara di waktu yang akan datang.

6

1.6 Metode Penelitian

Peramalan merupakan kegiatan memperkirakan apa yang akan terjadi pada masa yang akan datang. Metode peramalan adalah cara memperkirakan apa yang akan terjadi pada masa depan, berdasarkan data yang relevan pada masa yang lalu.

Data sekunder yang diperoleh dari Badan Meteorologi dan Geofisika stasiun Klimatologi Sampali Medan, yaitu data tekanan udara dari bulan Januari 2005 sampai dengan desember 2009. Model peramalan Box-Jenkins untuk ARMA (p, q) yang umum adalah :

− + Φ

+ + Φ

+ Φ

= t− t− p t−p t

t X X X e

X _{1 1 2 2} ... θ₁e_t−1 −...−θ_qe_t−q

Dimana :

t

X = Variabel yang diramalkan (Dependent Variable)

p t

X ₋ = Variabel pertama dari periode ke 1,2,...,p

p

Φ = Parameter Auto Regresive

t

e = Nilai kesalahan pada t

q

θ = Parameter-parameter dari MA (1,2,...,p)

q t

1.7 Sistematika Penulisan

Penulisan Tugas Akhir ini disusun secara sistematis di dalamnya dikemukakan beberapa hal, dimana setiap bab seperti yang tercantum di bawah :

BAB 1 : PENDAHULUAN

Menjelaskan latar belakang masalah, perumusan masalah, tinjauan pustaka, tujuan penelitian, kontribusi penelitian, metode penelitian dan sistematika penulisan.

BAB 2 : LANDASAN TEORI

Menjelaskan uraian teoritis tentang segala sesuatu yang berhubungan dengan masalah Tugas Akhir.

BAB 3 : ANALISA DAN EVALUASI Menyajikan pembahasan dan hasil penelitian.

BAB 4 : KESIMPULAN DAN SARAN

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Peramalan

Peramalan adalah kegiatan memperkirakan apa yang akan terjadi pada masa yang akan datang. Kegunaan dari peramalan terlihat pada saat pengambilan keputusan. Keputusan yang baik adalah keputusan yang didasarkan atas pertimbangan apa yang akan terjadi pada waktu keputusan itu dilaksanakan.

Penggunaan teknik peramalan diawali dengan pengeksplorasian kondisi (pola data) pada waktu-waktu yang lalu guna mengembangkan model yang sesuai dengan pola data itu dengan menggunakan asumsi bahwa pola data pada waktu yang lalu itu akan berulang lagi pada waktu yang akan dating. Ramalan diperlukan untuk memberikan informasi sebagai dasar untuk membuat suatu keputusan dalam berbagai kegiatan, seperti : peternakan, perkebunan, cuaca dan sebagainya.

Tekanan udara adalah tekanan yang diberikan oleh udara karena beratnya kepada tiap 1 2

cm bidang mendatar dari permukaan bumi hingga batas atmosfer. Tekanan udara tersebut bekerja ke segala arah dan tidak tetap. Bila kita naik maka tekanannya akan semakin rendah karena kerapatan udara makin rendah dan kolom udaranya makin pendek.

2.2 Jenis-jenis Peramalan

Berdasarkan sifatnya peramalan dibedakan atas dua macam yaitu Peramalan Kualitatif dan Peramalan Kuantitatif.

2.2.1 Peramalan Kualitatif

Peramalan kualitatif merupakan peramalan yang didasarkan atas data kualitatif pada masa lalu. Hal ini penting karena hasil peramalan tersebut ditentukan berdasarkan pemikiran yang bersifat intuisi, pendapat dan pengetahuan serta pengalaman penyusunnya.

2.2.2 Peramalan Kuantitatif

Peramalan kuantitatif merupakan peramalan yang didasarkan atas data kuantitatif pada masa lalu. Hasil peramalan yang dibuat sangat tergantung pada metode yang dipergunakandalam peramalan tersebut. Baik tidaknya metode yang digunakan ditentukan oleh perbedaan antara penyimpangan hasil ramalan dengan kenyataan yang terjadi. Peramalan kuantitatif hanya dapat digunakan apabila terdapat tiga kondisi sebagai berikut :

1. Adanya informasi masa lalu yang dapat dipergunakan. 2. Informasi tersebut dapat dikuantitatifkan dalam bentuk data.

3. Dapat diasumsikan bahwa pola yang lalu akan berkelanjutan pada masa yang akan datang.

10

Peramalan yang baik merupakan peramalan yang dilakukan dengan mengikuti langkah-langkah atau prosedur penyusunan yang baik. Pada dasarnya ada tiga langkah peramalan yang penting, yaitu :

1. Menganalisa data masa lalu.

2. Menentukan metode yang dipergunakan.

3. Memproyeksikan data yang lalu dengan menggunakan metode yang dipergunakan dan mempertimbangkan adanya beberapa faktor perubahan.

2.3 Metode Peramalan

Metode peramalan merupakan cara memperkirakan secara kuantitatif apa yang akan terjadi pada masa depan berdasarkan data yang relevan pada masa lalu. Metode peramalan sangat berguna untuk membantu dalam mengadakan pendekatan analisis terhadap pola dari data yang lalu, sehingga dapat memberikan cara pemikiran, pekerjaan dan pemecahan yang sistematis, serta memberikan tingkat keyakinan yang lebih atas ketepatan hasil ramalan yang dibuat.

2.4 Jenis-Jenis Metode Peramalan Kuantitatif

Jenis-jenis metode peramalan kuantitatif adalah :

1. Metode peramalan yang didasarkan atas penggunaan analisis pola hubungan antara variabel yang diperkirakan dengan variabel waktu yang merupakan deret berkala (time series). Metode peramalan yang termasuk data jenis ini adalah :

a. Metode pemulusan. b. Metode Box-jenkins.

c. Metode proyeksi trend dan regresi.

2. Metode peramalan yang didasarkan atas penggunaan analisis pola hubungan antara variabel yang akan diperkirakan dengan variabel yang mempengaruhinya, yang bukan waktu yang disebut metode korelasi atau sebab akibat (metode kausal).

a. Metode regresi dan korelasi. b. Metode ekonometri.

c. Metode input dan output.

2.5 Pemilihan Teknik dan Metode Peramalan

Semua tipe organisasi telah menunjukkan keinginan yang meningkat untuk mendapatkan ramalan dan menggunakan sumber daya peramalan secara lebih baik. Dengan adanya sejumlah besar metode peramalan tersedia, maka masalah yang timbul bagi para praktisi adalah dalam memahami bagaimana karakteristik suatu metode peramalan akan cocok bagi situasi pengambilan keputusan tertentu.

Adapun enam faktor utama yang dapat diidentifikasikan sebagai teknik dan metode peramalan, yaitu :

1. Horison waktu

Merupakan pemilihan yang didasarkan atas jangka waktu peramalan yaitu :

a. Peramalan yang segera dilakukan dengan waktu yang kurang dari satu bulan. b. Peramalan jangka pendek dengan waktu antara satu sampai tiga bulan.

12

c. Peramalan jangka menengah dengan waktu antara tiga bulan sampai dua tahun. d. Peramalan jangka panjang dengan waktu dua tahun ke atas.

2. Pola data

Salah satu dasar pemilihan metode peramalan adalah dengan memperhatikan pola data. Ada empat jenis pola data mendasar yang terdapat dalam suatu deretan data yaitu:

a. Pola horisontal (H) terjadi bilamana data berfruktuasi disekitar nilai rata-rata yang konstan (Deret seperti ini adalah “stasioner” terhadap nilai rata-ratanya). b. Pola musiman (M) terjadi bilamana suatu deret dipengaruhi oleh faktor

musiman (misalnya kuartal tahun tertentu, bulanan, atau hari-hari pada minggu tertentu).

c. Pola Siklis (C) terjadi bilamana data dipengaruhi oleh fluktuasi jangka panjang dan lebih lama dari pola musiman, lamanya berbeda dari satu siklus ke siklus yang lain.

d. Pola trend (T) terjadi bilamana terdapat kenaikan atau penurunan jangka panjang dalam data.

3. Jenis dari model

Untuk mengklasifikasikan metode peramalan kuantitatif perlu diperhatikan model yang didasarinya. Model sangat penting diperhatikan, karena masing-masing model mempunyai fungsi yang berbeda.

4. Biaya yang dibutuhkan

Biaya sangat diperlukan dalam meneliti suatu objek. Yang termasuk biaya dalam penggunaan metode peramalan antara lain, biaya penyimpanan data, biaya-biaya perhitungan, biaya untuk menganalisis dan biaya-biaya pengembangan.

5. Ketepatan metode peramalan

Tingkat ketepatan yang dibutuhkan sangat erat hubungannya dengan tingkat perincian yang dibutuhkan dalam suatu peramalan. Dalam mengambil keputusan, variasi atau penyimpangan atas peramalan yang dilakukan antara 10 % sampai 15% bagi maksud-maksud yang diharapkan, sedangkan untuk hal atau kasus lain mungkin menganggap bahwa daya variasi atau penyimpangan atas ramalan sebesar 5% adalah cukup berbahaya.

6. Kemudahan dalam penerapan

Metode peramalan yang digunakan adalah metode yang mudah dimengerti dan mudah diterapkan dalam pengambilan keputusan dan analisisnya.

2.6 Metode Deret Berkala (Time Series) Box-Jenkins (ARIMA)

Metode peramalan yang sering digunakan adalah deret waktu (time series), dimana sejumlah observasi, diambil selama beberapa periode dan digunakan sebagai dasar dalam penyusunan suatu ramalan untuk beberapa periode di masa depan yang diinginkan. Metode Box-Jenkins merupakan salah satu metode untuk menganalisis waktu.

Pada dasarnya ada dua model dari metode Box-Jenkins, yaitu model linier untuk deret statis (Stationery Series) dan model untuk deret data yang tidak statis (Non Stationery Series). Model-model linier untuk deret data yang statis menggunakan teknik penyaringan (filtering) untuk deret waktu, yaitu apa yang disebut dengan ARMA (Auto Regresive – Moving Average) untuk suatu kumpulan data. Sedangkan

14

untuk model yang tidak statis menggunakan apa yang disebut ARIMA (Auto Regresive – Integrated – Moving Average).

2.7 Metode Auto Regresive

Metode autoregressive merupakan model yang menggambarkan bahwa variabel dependen dipengaruhi oleh variabel dependen itu sendiri pada periode-periode yang sebelumnya, atau autokorelasi dapat diartikan juga sebagai korelasi linier deret berkala dengan deret berkala itu sendiri dengan selisih waktu (lag) 0, 1, 2 periode atau lebih. Bentuk umum model autoregressive dengan ordo p atau dituliskan dengan AR(p) mempunyai persamaan sebagai berikut :

Yt = µ + φ1Yt−1 +φ2Yt−2 +...+φpYt−p +et

Dimana :

i

φ = parameter autokorelasi ke- i dengan i = 1, 2, ...,p et = nilai kesalahan pada saat t

µ = nilai konstan

persamaan umum model AR(p) dapat juga ditulis sebagai berikut :

t t

p

pB Y e

B

B− − − = +

−φ φ ... φ ) µ

1

( _{1 2} 2

Dalam hal ini B adalah operator mundur (Backward shift Operator), bentuk umum operator bergerak mundur ini ditulis sebagai berikut :

BdYt = yt-d . Artinya jika operator Bd bekerja pada Yt maka menggeser data tersebut

Model autoregressive yang sering dijumpai dalam praktek adalah model AR(1) dan AR(2).

Persamaan AR(1) ditulis dengan : (1−φ₁B)Y_t =µ+e_t

Persamaan AR(2) ditulis dengan : (1−φ₁B−φ₂B2)Y_t =µ+e_t

2.8 Metode Rataan Bergerak / Moving Average (MA)

Metode Rataan Bergerak (Moving Average) mempunyai bentuk umum dengan ordo q atau bisa ditulis dengan MA(q) adalah sebagai berikut :

q t q t

t t

t e e e e

Y =µ+ −θ1 ₋1−θ2 ₋2 −...−θ ₋

Dimana :

i

θ : Parameter dari proses rataan bergerak ke-i, i = 1, 2, 3,..., q Yt : Variabel yang diramalkan

et-q : Nilai kesalahan pada saat t-q

persamaan untuk model MA(q) bila menggunakan operator penggerak mundur dapat ditulis sebagai berikut :

t q q

t B B B e

Y =µ+(1−θ₁ −θ₂ 2 −...−θ )

Persamaan MA(1) dapat dituliskan dengan : Y_t =µ+e_t −θ₁e_t−1

=µ+(1−θ₁B)e_t

Persamaan MA(2) dapat dituliskan dengan : Y_t =µ+(1−θ1B−θ2B2)e_t

16

Perbedaan model moving average dan model autoregressive terletak pada jenis variabel independen pada model autoregressive adalah nilai sebelumnya (lag) dari variabel dependen (Yt) itu sendiri, maka pada model moving average sebagai variabel

dependen adalah residual pada periode sebelumnya.

2.9 Model Box-Jenkins

Peramalan dengan menggunakan ARIMA dilakukan melalui lima tahap, yaitu tahap pemeriksaan kestasioneran data, pengidentifikasian model, pengestimasian parameter model, pengujian model, dan penggunaan model untuk peramalan.

Metode ARIMA meliputi tiga tahap yang harus dilakukan secara berurutan :

1. Identifikasi parameter-parameter model dengan menggunakan metode autokorelasi dan autokorelasi parsial.

2. Estimasi (penaksiran) komponen-komponen autoregresif (AR) dan rata-rata bergerak (MA) untuk melihat apakah komponen-komponen tersebut secara signifikan memberikan kontribusi pada model atau salah satunya dapat dihilangkan.

3. Pengujian dan penerapan model untuk meramalkan series data beberapa periode ke depan. Pada tahap ini digunakan try and error yang sangat bermanfaat untuk meningkatkan pemahaman dalam aplikasi model ARIMA untuk memprediksi data-data klimatologi yang berbasis time series.

Tujuan peramalan adalah untuk menduga nilai deret waktu masa yang akan datang. Jika model yang ditetapkan menunjukkan residual yang acakan, maka model itu dapat dipergunakan untuk maksud peramalan.

Metode peramalan Box-Jenkins merupakan suatu metode yang sangat tepat untuk menangani atau mengatasi kerumitan deret waktu dan situasi peramalan lainnya. Metode Box-Jenkins menggunakan dasar deret waktu dengan model matematis, agar kesalahan yang terjadi dapat sekecil mungkin. Oleh karena itu penggunaan metode ini membutuhkan identifikasi model dan estimasi parameternya. Metode ini sangat baik ketepatannya untuk peramalan jangka pendek. Data yang dibutuhkan dalam metode ini minimum dua tahun, dan lebih baik bila data yang dipunyai lebih dari dua tahun.

BAB 3

ANALISA DAN EVALUASI

3.1 Studi Kasus

Dalam penyelesaian masalah diperlukan suatu data sebagai bahan penunjang dan diharapkan mendekati masalah. Data yang diambil merupakan data tekanan udara dari bulan Januari 2005 sampai dengan bulan Desember 2009 di kota Medan.

Tabel 3.1.1 Data Tekanan Udara Bulan Januari 2005 - Bulan Desember 2009

Bulan Tahun

2005 2006 2007 2008 2009

Januari 1010.95 1010.63 1011.67 1009.97 1011.25 Februari 1011.43 1010.41 1010.77 1010.43 1009.80 Maret 1011.10 1009.67 1009.98 1009.34 1009.98 April 1010.70 1009.48 1009.94 1008.51 1009.67 Mei 1009.30 1009.96 1009.29 1009.14 1009.44 Juni 1009.34 1009.75 1007.94 1009.39 1009.34 Juli 1009.79 1009.92 1009.35 1009.31 1009.62 Agustus 1009.90 1010.05 1009.52 1009.37 1009.74 September 1010.26 1010.87 1009.51 1010.10 1010.33 Oktober 1010.60 1011.57 1009.89 1010.55 1010.84 November 1010.39 1010.20 1009.90 1009.18 1004.02 Desember 1009.93 1010.56 1009.37 1009.93 1010.10

3.2 Analisis Plot Awal Data

Langkah pertama yang perlu dilakukan untuk menganalisis data time series adalah membuat plot data terhadap waktu dan melakukan interpretasi secara visual. Dengan membuat plot data mentah, yaitu data yang akan diolah dan dianalisis, dapat dideteksi apakah pola data mengandung unsur trend, siklik, musiman atau tidak mengandung pola tertentu.

10 20 30 40 50 60

1004 1005 1006 1007 1008 1009 1010 1011 1012

Index

T

e

ka

n

a

n

U

d

a

ra

Time Series Plot of Tekanan Udara

20

5 10 15

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 A u to co rr e la ti o n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0.14 0.04 0.10 0.01 -0.05 -0.02 0.00 -0.04 0.02 -0.07 0.11 0.19 0.00 -0.01 -0.00 1.11 0.33 0.74 0.08 -0.41 -0.15 0.02 -0.30 0.12 -0.49 0.84 1.40 0.02 -0.07 -0.01 1.29 1.41 2.04 2.05 2.25 2.28 2.28 2.40 2.42 2.74 3.70 6.52 6.52 6.52 6.52 Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ

Autocorrelation Function for Tekanan Udara

Gambar 3.2.2 Autokorelasi Tekanan Udara Kota Medan Tahun 2005-2009

5 10 15

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 P a rt ia l A u to co rr e la ti o n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0.14 0.02 0.09 -0.02 -0.06 -0.01 0.01 -0.03 0.03 -0.08 0.14 0.16 -0.05 -0.04 -0.04 1.11 0.18 0.70 -0.13 -0.47 -0.10 0.09 -0.25 0.23 -0.60 1.10 1.27 -0.36 -0.31 -0.30

Lag PAC T Lag PAC T Lag PAC T

Partial Autocorrelation Function of Tekanan Udara

Gambar 3.2.3 Autokorelasi Parsial Tekanan Udara Kota Medan Tahun 2005-2009

Plot data di atas menunjukkan data yang stasioner. Dari plot korelasi di atas terlihat tidak ada koefisien korelasi diri yang berbeda nyata dengan nol sehingga diduga ordo dari proses MA adalah 0 (q = 0). Dari plot fungsi korelasi diri parsial, ditentukan ordo dari proses regresi diri. Dari plot tersebut dapat dilihat bahwa tidak ada koefisien yang korelasinya berbeda nyata dengan nol, sehingga diduga bahwa ordo dari AR adalah 0 (p = 0). Sesuai dengan keterangan di atas maka model sementara data adalah ARIMA (0,0,0).

Namun karena ARIMA (0,0,0) tidak terdefinisi maka perlu diadakan pembedaan pertama dengan persamaan :

48 , 0

95 , 1010 43

, 1011

2 2

1 2 2 2

1

=

− =

− =

− =

− −

W W

X X W

X X

22

Tabel 3.2.1 Nilai Nilai Pembedaan Pertama

No Wt No Wt No Wt

1 * 21 0.82 41 0.63

2 0.48 22 0.7 42 0.25

3 -0.33 23 -1.37 43 -0.08

4 -0.4 24 0.36 44 0.06

5 -1.4 25 1.11 45 0.73

6 0.04 26 -0.9 46 0.45

7 0.45 27 -0.79 47 -1.37

8 0.11 28 -0.04 48 0.75

9 0.36 29 -0.65 49 1.32

10 0.34 30 -1.35 50 -1.45

11 -0.21 31 1.41 51 0.18

12 -0.46 32 0.17 52 -0.31

13 0.7 33 -0.01 53 -0.23

14 -0.22 34 0.38 54 -0.1

15 -0.74 35 0.01 55 0.28

16 -0.19 36 -0.53 56 0.12

17 0.48 37 0.6 57 0.59

18 -0.21 38 0.46 58 0.51

19 0.17 39 -1.09 59 -6.82

20 0.13 40 -0.83 60 6.08

10 20 30 40 50 60

-5 0 5

Index

P

e

m

b

e

d

a

a

n

1

Time Series Plot of Pembedaan 1

4 9 14 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 A u to co rr e la ti o n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 -0.44 -0.10 0.09 0.00 -0.06 0.00 0.04 -0.06 0.08 -0.15 0.06 0.15 -0.10 -0.01 -3.38 -0.66 0.57 0.01 -0.38 0.02 0.24 -0.41 0.50 -0.96 0.38 0.96 -0.62 -0.05 12.02 12.67 13.18 13.18 13.41 13.41 13.51 13.80 14.23 15.92 16.19 17.99 18.78 18.78

Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ

Autocorrelation Function for Pembedaan 1

Gambar 3.2.5 Autokorelasi Tekanan Udara menggunakan Pembedaan Pertama

4 9 14

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 P a rt ia l A u to co rr e la ti o n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 -0.44 -0.37 -0.19 -0.11 -0.13 -0.13 -0.08 -0.13 -0.03 -0.23 -0.22 -0.00 -0.01 0.01 -3.38 -2.81 -1.47 -0.82 -0.97 -0.98 -0.58 -1.02 -0.19 -1.76 -1.67 -0.01 -0.05 0.06

Lag PAC T Lag PAC T

Partial Autocorrelation Function of Pembedaan Pertama

Gambar 3.2.6 Autokorelasi Parsial Tekanan Udara Menggunakan Pembedaan Pertama

24

Dari plot korelasi di atas terlihat bahwa ada satu koifisien korelasi diri berbeda nyata dari nol sehingga diduga ordo dari proses MA adalah 1 (q = 1). Dari plot fungsi korelasi diri parsial, ditentukan ordo dari proses regresi diri. Dari plot tersebut dilihat bahwa ada satu koifisien korelasinya berbeda nyata dengan nol, sehingga diduga ordo dari AR adalah 1 (p =1). Sesuai dengan keterangan di atas model sementara data yang dibedakan adalah ARIMA (1,1,1). Plot data di atas memperlihatkan deret data yang tidak stasioner, maka perlu diadakan pembedaan kedua dengan persamaan :

81 , 0

48 , 0 33 , 0

2 2

1 2 2 2

1

− =

− − =

− =

− =

− −

W W

X X W

X X W_{t t t}

Tabel 3.2.2 Nilai-Nilai Pembedaan Kedua

No Wt No Wt No Wt

1 * 21 0.69 41 1.46

2 * 22 -0.12 42 -0.38

3 -0.81 23 -2.07 43 -0.33

4 -0.07 24 1.73 44 0.14

5 -1 25 0.75 45 0.67

6 1.44 26 -2.01 46 -0.28

7 0.41 27 0.11 47 -1.82

8 -0.34 28 0.75 48 2.12

9 0.25 29 -0.61 49 0.57

10 -0.02 30 -0.7 50 -2.77

11 -0.55 31 2.76 51 1.63

12 -0.25 32 -1.24 52 -0.49

13 1.16 33 -0.18 53 0.08

14 -0.92 34 0.39 54 0.13

15 -0.52 35 -0.37 55 0.38

16 0.55 36 -0.54 56 -0.16

17 0.67 37 1.13 57 0.47

18 -0.69 38 -0.14 58 -0.08

19 0.38 39 -1.55 59 -7.33

20 -0.04 40 0.26 60 12.9

10 20 30 40 50 60

-10 0 10

Index

P

e

m

b

e

d

a

a

n

2

26

Gambar 3.2.7 Plot Tekanan Udara dengan menggunakan Pembedaan Kedua

4 9 14

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 A u to co rr e la ti o n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 -0.41 -0.10 0.11 -0.00 -0.05 0.02 0.06 -0.09 0.14 -0.14 -0.02 0.15 -0.09 -0.02 -3.16 -0.68 0.71 -0.02 -0.34 0.13 0.36 -0.60 0.87 -0.87 -0.10 0.93 -0.55 -0.12 10.50 11.16 11.91 11.91 12.09 12.12 12.33 12.95 14.27 15.65 15.67 17.36 17.98 18.01

Lag Corr T LBQ Lag Corr T LBQ

Autocorrelation Function for Pembedaan 2

Gambar 3.2.8 Autokorelasi Tekanan Udara menggunakan Pembedaan Kedua

4 9 14

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 P a rt ia l A u to co rr e la ti o n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 -0.41 -0.33 -0.12 -0.04 -0.05 -0.04 0.04 -0.05 0.12 -0.06 -0.09 0.07 0.01 -0.00 -3.16 -2.53 -0.89 -0.29 -0.42 -0.27 0.34 -0.40 0.91 -0.49 -0.72 0.53 0.05 -0.00

Lag PAC T Lag PAC T

Partial Autocorrelation Function of Pembedaan Kedua

Gambar 3.2.9 Autokorelasi Parsial Tekanan Udara Menggunakan Pembedaan Kedua

Dari plot korelasi di atas terlihat bahwa ada satu koefisien korelasi diri berbeda nyata dari nol sehingga diduga ordo dari proses MA adalah 1 (Q = 1). Dari plot fungsi korelasi diri parsial, ditentukan ordo dari proses regresi diri. Dari plot tersebut dilihat bahwa ada satu koefisien korelasinya berbeda nyata dari nol, sehingga diduga ordo dari AR adalah 1 (P = 1). Sesuai dengan keterangan di atas model sementara data yang dibedakan adalah ARIMA (1,1,1). Pendugaan parameter-parameter model ARIMA dari Box-Jenkins untuk model ARIMA (1,1,1) adalah :

Parameter Taksiran Standart

Error Nilai t

φ 0,0242 0,1491 0,16 θ 0,9425 0,0955 9,87

3.3 Pengecekan Model

Model variabel di bawah ini adalah dengan pengerjaan program MINITAB untuk menentukan taksiran konstanta, nilai standart error konstanta dan uji-t.

Final Estimates of Parameters

Type Coef SE Coef T P AR 1 0.0242 0.1491 0.16 0.872 MA 1 0.9425 0.0955 9.87 0.000 Constant -0.02087 0.01284 -1.63 0.110

Dalam pengujian ini akan diuji nilai taksiran konstanta terhadap nilai nol dengan menggunakan statistik uji-t. Dengan bantuan komputer diperoleh nilai

28

Taksiran Konstanta = - 0,02087 dan nilai Standart Error = 0,01284 sehingga t = -_w 0,02087/0,01284 = -1,62539, nilai t_0,05,2(59) =1,98. Ternyata nilai t < w t0,05,2(59).

Berarti taksiran tidak berbeda nyata dari nol. Jadi konstanta tidak dimasukkan dalam model.

3.4 Peramalan

Model peramalan yang digunakan untuk data ini sesuai dengan identifikasi model ARIMA. Dilakukan pengujian dengan metode try and error untuk mendapatkan hasil yang maksimal. Model ARIMA yang diujikan dengan metode try and error adalah ARIMA adalah model ARIMA (110;100), (110;001), (111;000), (011;000), (011;001).

Tabel 3.4.1 Validasi antara Prediksi Tahun 2009 dan Data Aktual 2009

Bulan ORDO Data

Aktual 2009 111;111 110;100 110;001 111;000 011;000 011;001

Januari 1010,61 1009,91 1009,85 1009,67 1009,77 1009,81 1011,25 Februari 1009,88 1010,02 1009,9 1009,53 1009,74 1009,88 1009,8 Maret 1009,18 1009,75 1009,77 1009,45 1009,72 1009,7 1009,98 April 1009,08 1009,55 1009,66 1009,39 1009,69 1009,54 1009,67 Mei 1008,38 1009,68 1009,72 1009,36 1009,66 1009,64 1009,44 Juni 1007,45 1009,72 1009,74 1009,33 1009,64 1009,7 1009,34 Juli 1008,43 1009,68 1009,69 1009,3 1009,61 1009,62 1009,62 Agustus 1008,57 1009,68 1009,67 1009,28 1009,58 1009,61 1009,74 September 1008,8 1009,83 1009,73 1009,25 1009,56 1009,71 1010,33 Oktober 1009,26 1009,91 1009,75 1009,23 1009,53 1009,75 1010,84 November 1008,94 1009,58 1009,58 1009,21 1009,5 1009,5 1004,02 Desember 1008,51 1009,74 1009,65 1009,18 1009,47 1009,62 1010,1 Korelasi 0,221 0,536 0,593 0,38 0,375 0,608

Dari tabel di atas dapat dilihat bahwa nilai korelasi yang paling tinggi adalah pada ordo 011;001 yaitu 0,608. Hal ini menunjukkan model ordo ini lebih tepat digunakan untuk peramalan data tekanan udara untuk tahun berikutnya. Maka diperoleh data prediksi tahun 2010 yaitu :

Tabel 3.4.2 Prediksi Tahun 2010 Bulan Ordo

011;001 Januari 1009.70 Februari 1009.27

Maret 1009.36 April 1009.32 Mei 1009.19 Juni 1009.12 Juli 1009.20 Agustus 1009.21 September 1009.29 Oktober 1009.38 November 1007.74 Desember 1009.20

Maka diperoleh data prediksi tekanan udara pada bulan Januari 2010 adalah 1009,70 atm.

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Dari hasil penelitian data sekunder Badan Meteorologi dan Geofisika Stasiun Klimatologi Sampali Medan yang dianalisa dari bulan Januari 2005 sampai dengan Desember 2009, dapat diambil beberapa kesimpulan sebagai berikut :

1. Berdasarkan hasil pengujian plot data aktual, menunjukkan bahwa data tekanan udara stationer.

2. Hasil identifikasi model ARIMA dengan melakukan pembedaan(difference) menunjukkan nilai ACF yang diperoleh adalah 1 dan nilai PACF adalah 1. Sehingga menghasilkan model ARIMA (111;111)

3. Hasil korelasi data aktual dan hasil prediksi, ordo (110;100) menghasilkan korelasi 0,536, ordo (110;001) menghasilkan korelasi 0,593, ordo (111;000) menghasilkan korelasi 0,38, ordo (011;000) menghasilkan korelasi 0,375 dan ordo (011;001) menghasilkan korelasi 0,608. Berdasarkan hasil korelasi tersebut maka diperoleh ordo (011;001) yang digunakan untuk meramalkan data tekanan udara untuk tahun berikutnya.

31

4.2 Saran

Dari hasil penelitian dan dari beberapa hasil kesimpulan dapat diajukan saran-saran sebagai berikut :

1. Untuk melakukan prediksi sebaiknya menggunakan data time series yang panjang agar dapat mengetahui pola dari data tersebut, sehingga dapat diketahui apakah datanya stasioner atau tidak.

2. Perlu dilakukan pengujian ordo ARIMA dengan try n error untuk memperoleh hasil yang lebih baik.

3. Pergunakanlah program MINITAB karena program ini dapat menentukan nilai taksiran konstanta, nilai standar error, uji-t dan maktriks korelasi serta dapat menghitung ARIMA.

Daldjoeni N. 1986. “ Pokok-pokok Klimatologi” . Bandung : Penerbit Alumni . Iriawan, Nur . 2006. “Mengolah Data Statostik Dengan Mudah Menggunakan MINITAB 14 ”.

Yogyakarta : Penerbit C.V Andi Offset.

Makridakis S, Wheelwright S. C dan Mc Gee V.E. 1993. “ Metode dan Aplikasi Peramalan “. Jakarta : Penerbit Erlangga.

Maljoivi, “Metode Box-Jenkins” , diakses dari :

Mudrajad, “Analisis Box-Jenkins”, diakses dari :

http://www.mudrajad.com/upload/journal_analisis-box-jenkins.pdf

Sofyan, Assauri. 1984, “ Teknik dan Metode Peramalan” . Jakarta : Penerbit Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia.

Sosrodarsona, Suyono. 2003. “ Hidrologi “ . Jakarta : Penerbit PT. Pradnya Paramita. Sudjana. 2002.”Metode Statistika “. Bandung : Penerbit Tarsito.

L

A

M

P

I

R

A

N

Data 1

Tahun Bulan

Data Tekanan

(atm)

Tahun Bulan

Data Tekanan

(atm) 2005 Januari 1010,95 2007 Juli 1009,35 2005 Februari 1011,43 2007 Agustus 1009,52 2005 Maret 1011,1 2007 September 1009,51 2005 April 1010,7 2007 Oktober 1009,89 2005 Mei 1009,3 2007 Nopember 1009,9 2005 Juni 1009,34 2007 Desember 1009,37 2005 Juli 1009,79 2008 Januari 1009,97 2005 Agustus 1009,9 2008 Februari 1010,43 2005 September 1010,26 2008 Maret 1009,34 2005 Oktober 1010,6 2008 April 1008,51 2005 Nopember 1010,39 2008 Mei 1009,14 2005 Desember 1009,93 2008 Juni 1009,39 2006 Januari 1010,63 2008 Juli 1009,31 2006 Februari 1010,41 2008 Agustus 1009,37 2006 Maret 1009,67 2008 September 1010,1 2006 April 1009,48 2008 Oktober 1010,55 2006 Mei 1009,96 2008 Nopember 1009,18 2006 Juni 1009,75 2008 Desember 1009,93 2006 Juli 1009,92 2009 Januari 1011,25 2006 Agustus 1010,05 2009 Februari 1009,8 2006 September 1010,87 2009 Maret 1009,98 2006 Oktober 1011,57 2009 April 1009,67 2006 Nopember 1010,2 2009 Mei 1009,44 2006 Desember 1010,56 2009 Juni 1009,34 2007 Januari 1011,67 2009 Juli 1009,62 2007 Februari 1010,77 2009 Agustus 1009,74 2007 Maret 1009,98 2009 September 1010,33 2007 April 1009,94 2009 Oktober 1010,84 2007 Mei 1009,29 2009 Nopember 1004,02 2007 Juni 1007,94 2009 Desember 1010,1

Data 2

No Tahun Bulan

Tekanan Udara

(atm)

lag 1 diff 1

1 2005 Januari 1010,95 * *

2 2005 Februari 1011,43 1010,95 0,48 3 2005 Maret 1011,1 1011,43 -0,33 4 2005 April 1010,7 1011,1 -0,4 5 2005 Mei 1009,3 1010,7 -1,4 6 2005 Juni 1009,34 1009,3 0,04 7 2005 Juli 1009,79 1009,34 0,45 8 2005 Agustus 1009,9 1009,79 0,11 9 2005 September 1010,26 1009,9 0,36 10 2005 Oktober 1010,6 1010,26 0,34 11 2005 Nopember 1010,39 1010,6 -0,21 12 2005 Desember 1009,93 1010,39 -0,46 13 2006 Januari 1010,63 1009,93 0,7 14 2006 Februari 1010,41 1010,63 -0,22 15 2006 Maret 1009,67 1010,41 -0,74 16 2006 April 1009,48 1009,67 -0,19 17 2006 Mei 1009,96 1009,48 0,48 18 2006 Juni 1009,75 1009,96 -0,21 19 2006 Juli 1009,92 1009,75 0,17 20 2006 Agustus 1010,05 1009,92 0,13 21 2006 September 1010,87 1010,05 0,82 22 2006 Oktober 1011,57 1010,87 0,7 23 2006 Nopember 1010,2 1011,57 -1,37 24 2006 Desember 1010,56 1010,2 0,36 25 2007 Januari 1011,67 1010,56 1,11 26 2007 Februari 1010,77 1011,67 -0,9 27 2007 Maret 1009,98 1010,77 -0,79 28 2007 April 1009,94 1009,98 -0,04 29 2007 Mei 1009,29 1009,94 -0,65 30 2007 Juni 1007,94 1009,29 -1,35 31 2007 Juli 1009,35 1007,94 1,41 32 2007 Agustus 1009,52 1009,35 0,17 33 2007 September 1009,51 1009,52 -0,01 34 2007 Oktober 1009,89 1009,51 0,38 35 2007 Nopember 1009,9 1009,89 0,01 36 2007 Desember 1009,37 1009,9 -0,53 37 2008 Januari 1009,97 1009,37 0,6 38 2008 Februari 1010,43 1009,97 0,46

40 2008 April 1008,51 1009,34 -0,83 41 2008 Mei 1009,14 1008,51 0,63 42 2008 Juni 1009,39 1009,14 0,25 43 2008 Juli 1009,31 1009,39 -0,08 44 2008 Agustus 1009,37 1009,31 0,06 45 2008 September 1010,1 1009,37 0,73 46 2008 Oktober 1010,55 1010,1 0,45 47 2008 Nopember 1009,18 1010,55 -1,37 48 2008 Desember 1009,93 1009,18 0,75 49 2009 Januari 1011,25 1009,93 1,32 50 2009 Februari 1009,8 1011,25 -1,45 51 2009 Maret 1009,98 1009,8 0,18 52 2009 April 1009,67 1009,98 -0,31 53 2009 Mei 1009,44 1009,67 -0,23 54 2009 Juni 1009,34 1009,44 -0,1 55 2009 Juli 1009,62 1009,34 0,28 56 2009 Agustus 1009,74 1009,62 0,12 57 2009 September 1010,33 1009,74 0,59 58 2009 Oktober 1010,84 1010,33 0,51 59 2009 Nopember 1004,02 1010,84 -6,82 60 2009 Desember 1010,1 1004,02 6,08

Data 3

No Tahun Bulan

Tekanan Udara

(atm)

lag 2 diff 2 1 2005 Januari 1010,95 * * 2 2005 Februari 1011,43 * * 3 2005 Maret 1011,1 1010,95 -0,81 4 2005 April 1010,7 1011,43 -0,07 5 2005 Mei 1009,3 1011,1 -1 6 2005 Juni 1009,34 1010,7 1,44 7 2005 Juli 1009,79 1009,3 0,41 8 2005 Agustus 1009,9 1009,34 -0,34 9 2005 September 1010,26 1009,79 0,25 10 2005 Oktober 1010,6 1009,9 -0,02 11 2005 Nopember 1010,39 1010,26 -0,55 12 2005 Desember 1009,93 1010,6 -0,25 13 2006 Januari 1010,63 1010,39 1,16 14 2006 Februari 1010,41 1009,93 -0,92 15 2006 Maret 1009,67 1010,63 -0,52 16 2006 April 1009,48 1010,41 0,55 17 2006 Mei 1009,96 1009,67 0,67 18 2006 Juni 1009,75 1009,48 -0,69 19 2006 Juli 1009,92 1009,96 0,38 20 2006 Agustus 1010,05 1009,75 -0,04 21 2006 September 1010,87 1009,92 0,69 22 2006 Oktober 1011,57 1010,05 -0,12 23 2006 Nopember 1010,2 1010,87 -2,07 24 2006 Desember 1010,56 1011,57 1,73 25 2007 Januari 1011,67 1010,2 0,75 26 2007 Februari 1010,77 1010,56 -2,01 27 2007 Maret 1009,98 1011,67 0,11 28 2007 April 1009,94 1010,77 0,75 29 2007 Mei 1009,29 1009,98 -0,61 30 2007 Juni 1007,94 1009,94 -0,7 31 2007 Juli 1009,35 1009,29 2,76 32 2007 Agustus 1009,52 1007,94 -1,24 33 2007 September 1009,51 1009,35 -0,18 34 2007 Oktober 1009,89 1009,52 0,39 35 2007 Nopember 1009,9 1009,51 -0,37 36 2007 Desember 1009,37 1009,89 -0,54 37 2008 Januari 1009,97 1009,9 1,13 38 2008 Februari 1010,43 1009,37 -0,14

39 2008 Maret 1009,34 1009,97 -1,55 40 2008 April 1008,51 1010,43 0,26 41 2008 Mei 1009,14 1009,34 1,46 42 2008 Juni 1009,39 1008,51 -0,38 43 2008 Juli 1009,31 1009,14 -0,33 44 2008 Agustus 1009,37 1009,39 0,14 45 2008 September 1010,1 1009,31 0,67 46 2008 Oktober 1010,55 1009,37 -0,28 47 2008 Nopember 1009,18 1010,1 -1,82 48 2008 Desember 1009,93 1010,55 2,12 49 2009 Januari 1011,25 1009,18 0,57 50 2009 Februari 1009,8 1009,93 -2,77 51 2009 Maret 1009,98 1011,25 1,63 52 2009 April 1009,67 1009,8 -0,49 53 2009 Mei 1009,44 1009,98 0,08 54 2009 Juni 1009,34 1009,67 0,13 55 2009 Juli 1009,62 1009,44 0,38 56 2009 Agustus 1009,74 1009,34 -0,16 57 2009 September 1010,33 1009,62 0,47 58 2009 Oktober 1010,84 1009,74 -0,08 59 2009 Nopember 1004,02 1010,33 -7,33 60 2009 Desember 1010,1 1010,84 12,9

Correlations: data aktual 2009, (111;111)

Pearson correlation of data aktual 2009 and (111;111) = 0.221 P-Value = 0.491

ARIMA Model: tekanan udara

ARIMA model for tekanan udara

Estimates at each iteration

Iteration SSE Parameters

0 28.6738 0.100 0.100 0.100 0.100 0.101 1 25.2355 0.118 -0.050 0.137 0.062 0.089 2 24.9973 0.266 -0.048 0.287 0.070 0.073 3 24.7792 0.413 -0.044 0.437 0.078 0.057 4 24.4361 0.558 -0.040 0.587 0.092 0.041 5 23.4660 0.692 -0.030 0.737 0.129 0.025 6 19.2393 0.686 -0.018 0.809 0.279 0.011 7 14.6576 0.642 -0.168 0.859 0.324 0.002 8 11.3786 0.589 -0.318 0.897 0.350 -0.003 9 10.0039 0.578 -0.468 0.922 0.315 0.002 10 8.2850 0.555 -0.447 0.961 0.465 -0.003 11 7.0941 0.555 -0.522 0.987 0.503 -0.004 12 6.5503 0.558 -0.546 1.033 0.578 -0.004 13 6.5021 0.563 -0.553 1.039 0.728 -0.004 14 6.2765 0.561 -0.551 1.038 0.758 -0.004 15 5.8584 0.565 -0.551 1.037 0.757 -0.004 Unable to reduce sum of squares any further

Final Estimates of Parameters

Type Coef SE Coef T P AR 1 0.5646 0.1908 2.96 0.006 SAR 12 -0.5509 0.1758 -3.13 0.004 MA 1 1.0370 0.0665 15.58 0.000 SMA 12 0.7567 0.3136 2.41 0.022 Constant-0.0039163 0.0003152 -12.42 0.000

Differencing: 1 regular, 1 seasonal of order 12

Number of observations: Original series 48, after differencing 35 Residuals: SS = 4.06367 (backforecasts excluded)

DF 7 19 * * P-Value 0.000 0.000 * *

Forecasts from period 48

95 Percent Limits

Period Forecast Lower Upper Actual 49 1010.61 1009.89 1011.34

50 1009.88 1009.07 1010.70 51 1009.18 1008.34 1010.02 52 1009.08 1008.24 1009.92 53 1008.38 1007.54 1009.22 54 1007.45 1006.61 1008.30 55 1008.43 1007.59 1009.27 56 1008.57 1007.73 1009.42 57 1008.80 1007.95 1009.64 58 1009.26 1008.41 1010.10 59 1008.94 1008.09 1009.79 60 1008.51 1007.66 1009.36

Correlations: data aktual 2009, (110;100)

Pearson correlation of data aktual 2009 and (110;100) = 0.536 P-Value = 0.073

ARIMA Model: tekanan udara

ARIMA model for tekanan udara

Estimates at each iteration

Iteration SSE Parameters

0 21.9205 0.100 0.100 0.063 1 20.6315 -0.050 0.140 0.002 2 20.3929 -0.137 0.185 -0.020 3 20.3757 -0.148 0.208 -0.020 4 20.3724 -0.150 0.219 -0.020 5 20.3717 -0.151 0.223 -0.020 6 20.3716 -0.152 0.226 -0.020 7 20.3715 -0.152 0.227 -0.020 8 20.3715 -0.152 0.227 -0.020 9 20.3715 -0.152 0.227 -0.020 Relative change in each estimate less than 0.0010

Final Estimates of Parameters

Type Coef SE Coef T P AR 1 -0.1519 0.1531 -0.99 0.326 SAR 12 0.2272 0.1747 1.30 0.200 Constant -0.01967 0.09891 -0.20 0.843

Differencing: 1 regular difference

Number of observations: Original series 48, after differencing 47 Residuals: SS = 20.2012 (backforecasts excluded)

MS = 0.4591 DF = 44

Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag 12 24 36 48 Chi-Square 33.6 51.7 65.2 * DF 9 21 33 * P-Value 0.000 0.000 0.001 *

Forecasts from period 48

51 1009.75 1007.66 1011.85 52 1009.55 1007.16 1011.94 53 1009.68 1007.02 1012.33 54 1009.72 1006.82 1012.61 55 1009.68 1006.57 1012.79 56 1009.68 1006.36 1013.00 57 1009.83 1006.31 1013.34 58 1009.91 1006.21 1013.61 59 1009.58 1005.71 1013.46 60 1009.74 1005.69 1013.78

Correlations: data aktual 2009, (110;001)

Pearson correlation of data aktual 2009 and (110;001) = 0.593 P-Value = 0.042

ARIMA Model: tekanan udara

ARIMA model for tekanan udara

Estimates at each iteration

Iteration SSE Parameters

0 22.9680 0.100 0.100 0.070 1 20.9238 -0.042 -0.050 0.008 2 20.6743 -0.125 -0.116 -0.024 3 20.6709 -0.132 -0.105 -0.027 4 20.6709 -0.133 -0.107 -0.027 5 20.6709 -0.133 -0.107 -0.027 6 20.6709 -0.133 -0.107 -0.027 Relative change in each estimate less than 0.0010

Final Estimates of Parameters

Type Coef SE Coef T P AR 1 -0.1328 0.1534 -0.87 0.391 SMA 12 -0.1070 0.1819 -0.59 0.559 Constant -0.0268 0.1109 -0.24 0.810

Differencing: 1 regular difference

Number of observations: Original series 48, after differencing 47 Residuals: SS = 20.6331 (backforecasts excluded)

MS = 0.4689 DF = 44

Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag 12 24 36 48 Chi-Square 25.8 42.9 54.7 * DF 9 21 33 * P-Value 0.002 0.003 0.010 *

Forecasts from period 48

95 Percent Limits

Period Forecast Lower Upper Actual 49 1009.85 1008.51 1011.19

53 1009.72 1007.00 1012.43 54 1009.74 1006.77 1012.70 55 1009.69 1006.50 1012.88 56 1009.67 1006.27 1013.08 57 1009.73 1006.13 1013.34 58 1009.75 1005.96 1013.55 59 1009.58 1005.61 1013.56 60 1009.65 1005.50 1013.80

Correlations: data aktual 2009, (111;000)

Pearson correlation of data aktual 2009 and (111;000) = 0.380 P-Value = 0.223

ARIMA Model: tekanan udara

ARIMA model for tekanan udara

Estimates at each iteration

Iteration SSE Parameters

0 21.6837 0.100 0.100 0.070 1 20.5807 0.028 0.172 -0.033 2 20.3040 0.174 0.322 -0.027 3 20.0276 0.317 0.472 -0.022 4 19.6687 0.454 0.622 -0.017 5 19.1072 0.585 0.772 -0.012 6 18.1648 0.704 0.922 -0.008 7 17.4668 0.677 0.963 -0.009 8 16.8072 0.527 0.956 -0.011 9 16.7680 0.509 0.963 -0.011 10 16.7664 0.503 0.961 -0.011 Unable to reduce sum of squares any further

Final Estimates of Parameters

Type Coef SE Coef T P AR 1 0.5033 0.1746 2.88 0.006 MA 1 0.9613 0.1395 6.89 0.000 Constant -0.011258 0.008211 -1.37 0.177

Differencing: 1 regular difference

Number of observations: Original series 48, after differencing 47 Residuals: SS = 16.5245 (backforecasts excluded)

MS = 0.3756 DF = 44

Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag 12 24 36 48 Chi-Square 17.6 35.3 44.5 * DF 9 21 33 * P-Value 0.040 0.026 0.087 *

49 1009.67 1008.47 1010.87 50 1009.53 1008.16 1010.90 51 1009.45 1008.03 1010.86 52 1009.39 1007.96 1010.83 53 1009.36 1007.91 1010.80 54 1009.33 1007.88 1010.78 55 1009.30 1007.84 1010.76 56 1009.28 1007.82 1010.73 57 1009.25 1007.79 1010.71 58 1009.23 1007.76 1010.69 59 1009.21 1007.74 1010.67 60 1009.18 1007.71 1010.65

Correlations: data aktual 2009, (011;000)

Pearson correlation of data aktual 2009 and (011;000) = 0.375 P-Value = 0.229

ARIMA Model: tekanan udara

ARIMA model for tekanan udara

Estimates at each iteration

Iteration SSE Parameters 0 21.3876 0.100 0.078 1 20.5129 0.185 -0.029 2 20.3937 0.243 -0.026 3 20.3552 0.276 -0.026 4 20.3441 0.294 -0.027 5 20.3411 0.304 -0.027 6 20.3402 0.308 -0.027 7 20.3400 0.311 -0.027 8 20.3400 0.312 -0.027 9 20.3399 0.313 -0.027 10 20.3399 0.313 -0.027 11 20.3399 0.313 -0.027

Relative change in each estimate less than 0.0010

Final Estimates of Parameters

Type Coef SE Coef T P MA 1 0.3134 0.1416 2.21 0.032 Constant -0.02678 0.06738 -0.40 0.693

Differencing: 1 regular difference

Number of observations: Original series 48, after differencing 47 Residuals: SS = 20.3289 (backforecasts excluded)

MS = 0.4518 DF = 45

Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag 12 24 36 48 Chi-Square 21.0 40.1 51.5 * DF 10 22 34 * P-Value 0.021 0.011 0.028 *

49 1009.77 1008.45 1011.09 50 1009.74 1008.14 1011.34 51 1009.72 1007.88 1011.55 52 1009.69 1007.64 1011.74 53 1009.66 1007.42 1011.90 54 1009.64 1007.22 1012.05 55 1009.61 1007.03 1012.19 56 1009.58 1006.85 1012.31 57 1009.56 1006.68 1012.43 58 1009.53 1006.51 1012.55 59 1009.50 1006.35 1012.65 60 1009.47 1006.20 1012.75

Correlations: data aktual 2009, (011;001)

Pearson correlation of data aktual 2009 and (011;001) = 0.608 P-Value = 0.036

ARIMA Model: tekanan udara

ARIMA model for tekanan udara

Estimates at each iteration

Iteration SSE Parameters

0 22.2365 0.100 0.100 0.078 1 20.4995 0.161 -0.050 0.021 2 20.0486 0.252 -0.142 -0.023 3 19.9846 0.302 -0.217 -0.020 4 19.8111 0.344 -0.147 -0.028 5 19.7945 0.365 -0.159 -0.026 6 19.7902 0.376 -0.161 -0.026 7 19.7890 0.382 -0.162 -0.026 8 19.7886 0.385 -0.163 -0.026 9 19.7885 0.387 -0.163 -0.026 10 19.7885 0.388 -0.164 -0.026 11 19.7885 0.388 -0.164 -0.026 12 19.7885 0.388 -0.164 -0.026 Relative change in each estimate less than 0.0010

Final Estimates of Parameters

Type Coef SE Coef T P MA 1 0.3883 0.1427 2.72 0.009 SMA 12 -0.1637 0.1821 -0.90 0.374 Constant -0.02615 0.06985 -0.37 0.710

Differencing: 1 regular difference

Number of observations: Original series 48, after differencing 47 Residuals: SS = 19.6820 (backforecasts excluded)

MS = 0.4473 DF = 44

Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag 12 24 36 48 Chi-Square 22.1 41.7 54.0 * DF 9 21 33 * P-Value 0.009 0.005 0.012 *

Period Forecast Lower Upper Actual 49 1009.81 1008.50 1011.12

50 1009.88 1008.35 1011.42 51 1009.70 1007.97 1011.43 52 1009.54 1007.63 1011.45 53 1009.64 1007.57 1011.71 54 1009.70 1007.48 1011.92 55 1009.62 1007.26 1011.99 56 1009.61 1007.11 1012.10 57 1009.71 1007.09 1012.33 58 1009.75 1007.01 1012.49 59 1009.50 1006.64 1012.35 60 1009.62 1006.65 1012.58

ARIMA Model: 2005-2009

ARIMA model for 2005-2009

Estimates at each iteration

Iteration SSE Parameters

0 104.789 0.100 0.100 0.086 1 89.141 0.231 -0.050 0.051 2 77.412 0.362 -0.200 0.018 3 67.848 0.512 -0.325 -0.024 4 62.414 0.662 -0.409 -0.044 5 60.778 0.781 -0.451 -0.044 6 60.523 0.804 -0.422 -0.035 7 60.246 0.828 -0.388 -0.032 8 59.867 0.856 -0.354 -0.029 9 59.207 0.893 -0.320 -0.025 10 58.979 0.945 -0.289 -0.021 11 56.714 0.977 -0.300 -0.017 12 56.541 0.977 -0.258 -0.020 13 56.512 0.979 -0.251 -0.020 Unable to reduce sum of squares any further

Final Estimates of Parameters

Type Coef SE Coef T P MA 1 0.9786 0.0576 16.98 0.000 SMA 12 -0.2510 0.2037 -1.23 0.223 Constant -0.01995 0.01049 -1.90 0.062

Differencing: 1 regular difference

Number of observations: Original series 60, after differencing 59 Residuals: SS = 55.8485 (backforecasts excluded)

MS = 0.9973 DF = 56

Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag 12 24 36 48 Chi-Square 4.6 14.7 23.5 31.3 DF 9 21 33 45 P-Value 0.866 0.838 0.889 0.939

Forecasts from period 60

95 Percent Limits

64 1009.32 1007.36 1011.28 65 1009.19 1007.23 1011.15 66 1009.12 1007.16 1011.08 67 1009.20 1007.24 1011.16 68 1009.21 1007.25 1011.17 69 1009.29 1007.33 1011.25 70 1009.38 1007.42 1011.34 71 1007.74 1005.78 1009.71 72 1009.20 1007.23 1011.16

Correlations: data aktual 2009, (011;000)

Pearson correlation of data aktual 2009 and (011;000) = 0.375 P-Value = 0.229

ARIMA Model: tekanan udara

ARIMA model for tekanan udara

Estimates at each iteration

Iteration SSE Parameters 0 21.3876 0.100 0.078 1 20.5129 0.185 -0.029 2 20.3937 0.243 -0.026 3 20.3552 0.276 -0.026 4 20.3441 0.294 -0.027 5 20.3411 0.304 -0.027 6 20.3402 0.308 -0.027 7 20.3400 0.311 -0.027 8 20.3400 0.312 -0.027 9 20.3399 0.313 -0.027 10 20.3399 0.313 -0.027 11 20.3399 0.313 -0.027

Relative change in each estimate less than 0.0010

Final Estimates of Parameters

Type Coef SE Coef T P MA 1 0.3134 0.1416 2.21 0.032 Constant -0.02678 0.06738 -0.40 0.693

Differencing: 1 regular difference

Number of observations: Original series 48, after differencing 47 Residuals: SS = 20.3289 (backforecasts excluded)

MS = 0.4518 DF = 45

Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag 12 24 36 48 Chi-Square 21.0 40.1 51.5 * DF 10 22 34 * P-Value 0.021 0.011 0.028 *

Forecasts from period 48

95 Percent Limits

Period Forecast Lower Upper Actual 49 1009.77 1008.45 1011.09

50 1009.74 1008.14 1011.34 51 1009.72 1007.88 1011.55 52 1009.69 1007.64 1011.74 53 1009.66 1007.42 1011.90 54 1009.64 1007.22 1012.05 55 1009.61 1007.03 1012.19 56 1009.58 1006.85 1012.31 57 1009.56 1006.68 1012.43 58 1009.53 1006.51 1012.55 59 1009.50 1006.35 1012.65 60 1009.47 1006.20 1012.75

Correlations: data aktual 2009, (011;001)

Pearson correlation of data aktual 2009 and (011;001) = 0.608 P-Value = 0.036

ARIMA Model: tekanan udara

ARIMA model for tekanan udara

Estimates at each iteration

Iteration SSE Parameters

0 22.2365 0.100 0.100 0.078 1 20.4995 0.161 -0.050 0.021 2 20.0486 0.252 -0.142 -0.023 3 19.9846 0.302 -0.217 -0.020 4 19.8111 0.344 -0.147 -0.028 5 19.7945 0.365 -0.159 -0.026 6 19.7902 0.376 -0.161 -0.026 7 19.7890 0.382 -0.162 -0.026 8 19.7886 0.385 -0.163 -0.026 9 19.7885 0.387 -0.163 -0.026 10 19.7885 0.388 -0.164 -0.026 11 19.7885 0.388 -0.164 -0.026 12 19.7885 0.388 -0.164 -0.026 Relative change in each estimate less than 0.0010

Final Estimates of Parameters

Type Coef SE Coef T P MA 1 0.3883 0.1427 2.72 0.009 SMA 12 -0.1637 0.1821 -0.90 0.374 Constant -0.02615 0.06985 -0.37 0.710

Differencing: 1 regular difference

Number of observations: Original series 48, after differencing 47 Residuals: SS = 19.6820 (backforecasts excluded)

MS = 0.4473 DF = 44

Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag 12 24 36 48 Chi-Square 22.1 41.7 54.0 * DF 9 21 33 * P-Value 0.009 0.005 0.012 *

Forecasts from period 48

95 Percent Limits

Period Forecast Lower Upper Actual 49 1009.81 1008.50 1011.12

50 1009.88 1008.35 1011.42 51 1009.70 1007.97 1011.43 52 1009.54 1007.63 1011.45 53 1009.64 1007.57 1011.71 54 1009.70 1007.48 1011.92 55 1009.62 1007.26 1011.99 56 1009.61 1007.11 1012.10 57 1009.71 1007.09 1012.33 58 1009.75 1007.01 1012.49 59 1009.50 1006.64 1012.35 60 1009.62 1006.65 1012.58

ARIMA Model: 2005-2009

ARIMA model for 2005-2009

Estimates at each iteration

Iteration SSE Parameters

0 104.789 0.100 0.100 0.086 1 89.141 0.231 -0.050 0.051 2 77.412 0.362 -0.200 0.018 3 67.848 0.512 -0.325 -0.024 4 62.414 0.662 -0.409 -0.044 5 60.778 0.781 -0.451 -0.044 6 60.523 0.804 -0.422 -0.035 7 60.246 0.828 -0.388 -0.032 8 59.867 0.856 -0.354 -0.029 9 59.207 0.893 -0.320 -0.025 10 58.979 0.945 -0.289 -0.021 11 56.714 0.977 -0.300 -0.017 12 56.541 0.977 -0.258 -0.020 13 56.512 0.979 -0.251 -0.020 Unable to reduce sum of squares any further

Final Estimates of Parameters

Type Coef SE Coef T P MA 1 0.9786 0.0576 16.98 0.000 SMA 12 -0.2510 0.2037 -1.23 0.223 Constant -0.01995 0.01049 -1.90 0.062

Differencing: 1 regular difference

Number of observations: Original series 60, after differencing 59 Residuals: SS = 55.8485 (backforecasts excluded)

MS = 0.9973 DF = 56

Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag 12 24 36 48 Chi-Square 4.6 14.7 23.5 31.3 DF 9 21 33 45 P-Value 0.866 0.838 0.889 0.939

Forecasts from period 60

95 Percent Limits

Period Forecast Lower Upper Actual

61 1009.70 1007.74 1011.65 62 1009.27 1007.32 1011.23 63 1009.36 1007.40 1011.32 64 1009.32 1007.36 1011.28 65 1009.19 1007.23 1011.15 66 1009.12 1007.16 1011.08 67 1009.20 1007.24 1011.16 68 1009.21 1007.25 1011.17 69 1009.29 1007.33 1011.25 70 1009.38 1007.42 1011.34 71 1007.74 1005.78 1009.71 72 1009.20 1007.23 1011.16