98
Kelas XI SMAMASMKMAK
Garis singgung g tegak lurus garis PA, sehingga gradien garis singgung g adalah
m m
x a
y b
g PA
= − = −
− −
1
1 1
Persamaan garis singgung g adalah y – y
1
m
g
x – x
1
⇔ y y x
a y
b x
x −
= − −
− −
1 1
1 1
⇔ y – y
1
y1 – b = – x
1
– ax – x
1
⇔ yy
1
– yb – y
1 2
+ y
1
b = –x
1
x – x
1 2
– ax + ax
1
⇔ yy
1
– yb – y
1 2
+ yb = –x
1
x + x
1 2
+ ax – ax
1
⇔ xx
1
– xa + x
1
a + yy
1
– yb + y
1
b = x
1 2
– y
1 2
Karena Ax
1
, y
1
terletak pada lingkaran x – a
2
+ y – b
2
= r
2
, maka diperoleh x
1
– a
2
+ y
1
– b
2
= r
2
⇔ x
1 2
– 2x
1
a + a
2
+ y
1 2
– 2y
1
b + b
2
= r
2
⇔ x
1 2
+ y
1 2
= r
2
+ 2x
1
– a
2
+ a
2
+ 2y
1
b – b
2
Substitusikan x
1 2
+ y
1 2
= r
2
+ 2x
1
– a
2
+ a
2
+ 2y
1
b – b
2
ke persamaan garis singgung di atas, diperoleh
xx
1
– xa + x
1
a + yy
1
– yb + y
1
b = r
2
+ 2x
1
a – a
2
+ 2
1
yb – b
2
⇔ xx
1
– xa + x
1
a + a
2
+ yy
1
– yb + y
1
b + b
2
= r
2
⇔ x – ax
1
– a+ y – by
1
– b = r
2
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik Pa, b dan berjari- jari r yang melalui titik Ax
1
, y
1
pada lingkaran x – a
2
+ y – b
2
= r
2
adalah x – ax
1
– a + y – by
1
– b = r
2
Gambar 9.20 : Lingkaran dilalui titik Ax
1
, y
1
99
Matematika
Sifat 9.6
Persamaan garis singgung yang melalui titik x
1
, y
1
pada lingkaran x – a
2
+ y – b
2
= r
2
adalah x – ax
1
– q + y
1
– b = r
2
Contoh 9.12
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik 2, 4 dengan persamaan lingkarannya adalah x – 1
2
+ y – 2
2
= 5.
Alternatif Penyelesaian:
Persamaan garis singgung lingkaran x – 1
2
+ y – 2
2
= 5 yang melalui titik 2, 4 adalah
x – ax
1
– a + y – by
1
– b = r
2
⇔ x – 1x
1
– 1 + y – 2y
1
– 2 = 5 ⇔ x – 12 – 1 + y – 24 –2 = 5
⇔ x – 11 + y – 22 = 5 ⇔ x – 1 + 2y – 4 = 5
⇔ x + 2y = 0
Jadi persamaan garis singgung lingkaran x – 1
2
+ y – 2
2
= 5 adalah x + 2y = 0
Latihan 9.7
1. Misalkan titik Ax
1
, y
1
terletak pada lingkaran x
2
+ y
2
+ ax + by + c = 0. Tentukanlah persamaan garis singgung pada lingkaran x
2
+ y
2
+ ax + by + c = 0 yang melalui titik Ax
1
, y
1
2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x
2
+ y
2
+ 10x – 12y + 25 = 0 di titik a. 5, 12
b. 1, 6 c. –5, 0
100
Kelas XI SMAMASMKMAK
c. Persamaan Garis Singgung Lingkaran melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran
Masalah-9.9
Permainan tutup botol juga dapat dimainkan dengan versi yang berbeda. Beberapa membuat tutup botol dalam keadaan tertidur seperti pada gambar,
lalu bagian belakangnya disentil dengan jari telunjuk ataupun jari tengah agar tutup botol itu meluncur ke depan.
Gambar 9.21 Dua buah tutup botol
Setelah itu mereka lalu berlari mengejar tutup botol yang melaju kencang itu. Mereka tertawa ketika tutup botol salah satu pemain berhasil meluncur dan
mengenai tutup botol lainnya. Dari gambar di atas jelas terlihat bahwa salah satu tutup botol akan menyinggung tutup botol yang lain di dua titik. Misalkan
Ax
1
, y
1
adalah titik yang berada pada tutup botol I dan sasarannya adalah tepi tutup botol II. Berdasarkan keadaan di atas tentukanlah persamaan garis g
1
dan g
2
tersebut
Alternatif Penyelesaian:
Misalkan titik Ax
1
, y
1
terletak di luar lingkaran. Terdapat dua garis singgung
lingkaran yang melalui titik Ax
1
, y
1
dan digambarkan sebagai berikut.
Langkah-langkah untuk menentukan persamaan garis singgungnya adalah sebagai
berikut:
1. Misalkan gradien garis singgung yang melalui titik Ax
1
, y
1
adalah m sehingga diperoleh persamaan.
Gambar 9.22 : Dua Buah garis yang menyinggung Lingkaran
101
Matematika
y – y
1
= mx – x
1
⇔ y – y
1
= mx – mx
1
⇔ y = mx – mx
1
+ y
1
2. Dari langkah 1 substitusikan nilai y = mx – mx
1
+ y
1
ke dalam persamaan lingkaran, sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam variabel x, kemudian tentukan nilai
diskriminannya, dari persamaan kuadrat tersebut. 3. Karena garis singgung itu merupakan garis lurus dan menyinggung lingkaran
akibatnya nilai diskriminan nol, Setelah itu carilah nilai m. Selanjutnya nilai m tersebut substitusikan ke persamaan y = mx – mx
1
+ y
1
sehingga diperoleh persamaan-persamaan garis singgung tersebut.
Contoh 9.13
Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat P0, 0 dan berjari- jari 5 yang melalui titik 7, 1.
Alternatif Penyelesaian:
Titik 7, 1 berada di luar lingkaran x
2
+ y
2
= 25 sebab jika titik 7, 1 disubstitusikan ke persamaan lingkaran tersebut diperoleh 72 + 12 = 50 25
Persamaan lingkaran dengan pusat P0, 0 dan berjari-jari 5 adalah x
2
+ y
2
= 25 Garis yang melalui titik 7, 1 dengan gradient m, memiliki persamaan
y = mx – mx
1
+ y
1
⇒ y = mx –7m + 1 Substitusikan nilai y = mx –7m + 1 ke persamaan lingkaran x
2
+ y
2
= 25 diperoleh x
2
+ mx – 7m + 1
2
= 25 ⇔ x
2
+ m
2
x
2
– 49m
2
+ 1 – 14m
2
x + 2m – 14m = 25 ⇔ 1 + m
2
x
2
+ 2m – 14m
2
x + –49m
2
– 14m – 24 = 0
