Penentuan Minimum Spanning Tree dengan Algoritme Prim Penentuan Sirkuit

Tabel 2 Tabel biaya yang berhubungan dengan model penugasan Kar y awa n Pekerjaan 1 2 1 11 12 1 2 21 22 2 1 2 Metode ini dimulai dengan mengurangi setiap elemen pada baris dengan nilai minimum baris tersebut, kemudian setiap elemen kolom dari tabel yang dihasilkan dikurangi dengan nilai minimum kolom tersebut. Tabel biaya yang dihasilkan akan memuat paling sedikit satu nol pada setiap baris dan kolom. Semua elemen tabel yang dihasilkan bernilai taknegatif. Dengan elemen-elemen nol ini akan ditentukan suatu penugasan yang fisibel yaitu pada matriks yang dihasilkan tersebut dapat dipilih tepat 1 nol pada setiap baris dan 1 nol pada setiap kolom. Jika itu mungkin maka penugasan itu optimal, karena elemen-elemen biaya adalah taknegatif dan nilai minimum fungsi tujuan lebih kecil daripada nol sehingga suatu penugasan dengan biaya nol adalah optimum. Jika penugasan yang fisibel pada elemen- elemen nol tidak diperoleh, maka aturan lebih lanjut diperlukan untuk menemukan penugasan yang fisibel. Aturan tersebut diberikan sebagai berikut: 1 Sejumlah minimum garis yang melalui beberapa baris dan kolom digambarkan sedemikian sehingga menutup semua elemen nol. Sejumlah minimum garis yang dibutuhkan adalah sama dengan jumlah maksimum pekerja yang dapat ditugaskan dengan menggunakan elemen nol. 2. Pilih elemen minimum yang tidak tertutupi garis, elemen ini dikurangi dengan setiap baris elemen yang tidak tertutupi garis dan ditambahkan ke setiap elemen yang berada di titik potong antara dua garis. Jika solusi optimum tidak ditemukan dalam langkah di atas, prosedur penggambaran garis tersebut harus diulangi sampai satu penugasan yang fisibel diperoleh. Untuk menyelesaikan masalah penugasan dengan tujuan memaksimumkan, masalah diubah ke masalah meminimumkan sebelum diaplikasikan ke metode Hungaria, yaitu dengan cara mengalikan semua elemen dari matriks penugasan dengan −1. Ravindran et al. 1987. Contoh Penggunaan Metode Hungaria Diberikan tabel biaya sebagai berikut: 1 2 3 1 3 6 8 2 6 4 3 3 1 5 4 Dengan metode Hungaria Lampiran 1 didapatkan Minimum Bipartite Matching pada tabel berikut. 1 2 3 1 3 2 5 3 1 1 Tabel terakhir memberikan biaya minimum yang ditunjukkan dengan elemen nol yang diberi kotak, yaitu elemen 1,2, 2,3, 3,1 sehingga diperoleh minimum dari bipartite matching, yaitu himpunan sisi {{1,2}, {2,3}, {3,1}} dengan total biayanya adalah 6 + 3 + 1 = 10.

2.5 Penentuan Minimum Spanning Tree dengan Algoritme Prim

Minimum spanning tree adalah spanning tree T yang memiliki bobot atau nilai minimum. Salah satu cara untuk menentukan minimum spanning tree dari suatu grafdigraf adalah dengan menggunakan algoritme Prim. Algoritme Prim membentuk minimum spanning tree dengan langkah per langkah. Pada setiap langkah diambil sisi graf yang memiliki bobot minimum namun yang terhubung dengan spanning tree T yang telah terbentuk. Misalkan diberikan graf dengan banyaknya verteks adalah , maka: Langkah 1. Ambil sisi dari graf yang berbobot minimum, masukkan ke dalam T. Langkah 2. Pilih sisi , di graf yang memiliki bobot minimum dan adjacent dengan sisi di T. Jika , tidak membentuk cycle, maka , ditambahkan ke dalam T dan lanjut ke langkah 3. Sebaliknya, jika penambahan sisi , membentuk cycle, maka sisi tersebut tidak dipilih dan kembali ke langkah kedua. Langkah 3. Proses berhenti jika T memiliki − 1 sisi. Balakrishnan 1997 Contoh Penggunaan Algoritme Prim Diberikan graf berbobot tak berarah sebagai berikut: 2 4 3 1 6 8 5 1 3 5 2 4 Gambar 28 Graf contoh algoritme Prim. Dengan algoritme Prim Lampiran 2 didapatkan minimum spanning tree dengan bobot minimum seperti pada gambar berikut: 2 1 2 5 1 4 3 3 5 Gambar 29 Minimum spanning tree dari graf pada Gambar 28.

2.6 Penentuan Sirkuit

Euler dengan Algoritme van Aardenne-Ehrenfest - de Bruijn Misalkan = , adalah digraf yang balans. Langkah 1. Bentuk sebuah spanning arborescence dari digraf balans yang berakar di . Langkah 2. Sisi berarah yang keluar dari tiap-tiap verteks diurutkan dan dilabeli, dan sisi berarah yang terakhir dilabeli adalah sisi berarah pada spanning arborescence. Langkah 3. Tentukan sirkuit Euler dengan melintasi tiap-tiap sisi berarah yang telah dilabeli, mulai dari label yang terkecil sampai dengan label terbesar. Proses berhenti jika tiap sisi berarah yang dilabeli telah dilewati. Eiselt et al. 1995a Contoh Penggunaan Algoritme van Aardenne-Ehrenfest - de Bruijn Misalkan diberikan digraf balans sebagai berikut: 11 : 3 3 1 3 2 2 4 3 2 4 2 4 5 6 1 3 Gambar 30 Graf untuk contoh algoritme van Aardenne-Ehrenfest - de Bruijn. Langkah pertama yang akan ditentukan adalah penentuan spanning arborescence dari digraf balans tersebut, misalkan diambil spanning arborescence yang berawal di verteks 1 adalah sebagai berikut: 2 4 5 6 1 3 Gambar 31 Spanning arborescence dari digraf 11 . Semua sisi berarah diurutkan dan dilabeli, dengan label terakhir terbesar adalah label untuk sisi berarah pada spanning arborescence. L 1 L 1 L 2 L 2 L 2 L 1 L 1 L 1 L 1 L 2 2 4 5 6 1 3 Gambar 32 Pelabelan pada algoritme van Aardenne-Ehrenfest - de Bruijn. Sirkuit Euler yang diperoleh, misalkan mulai dari verteks 1, adalah 1-2-6-3-5-2-3-4-5-6-1 dengan total bobot 27.

2.7 Penentuan Sirkuit