I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teori graf merupakan topik yang banyak mendapat perhatian saat ini karena teori graf
dapat diaplikasikan di berbagai bidang. Pada penerapannya, dapat dihubungkan dengan
berbagai bidang ilmu dan juga kehidupan sehari-hari seperti masalah transportasi yang
bertujuan menentukan jarak atau biaya optimal.
Salah satu teori graf yang dikembangkan untuk menyelesaikan masalah transportasi
adalah Rural Postman Problem RPP yang merupakan kasus khusus dari Chinese
Postman Problem CPP. Eiselt et al. 1995a menyatakan bahwa CPP bertujuan mencari
jarak minimum dalam suatu lintasan dengan kondisi setiap jalur harus dilewati paling tidak
satu kali. Jika diharuskan melewati jalur yang telah ditentukan, maka permasalahannya
menjadi RPP Eiselt et al. 1995b. RPP pertama kali diperkenalkan oleh Orloff pada
tahun 1974. Dalam jurnalnya Orloff 1974, disebutkan bahwa RPP merupakan formulasi
masalah untuk menentukan biaya minimum yang melintasi setiap jalur yang diperlukan
pada suatu lintasan. RPP dengan graf berarah biasanya digunakan untuk lintasan yang
memiliki jalur satu arah saja, sedangkan jalur yang memiliki dua arah menggunakan RPP
dengan graf tidak berarah. Jika kedua jalur, baik yang satu arah atau pun dua arah, bisa
dilayani secara bersamaan, maka dapat digunakan RPP dengan graf campuran.
Contoh aplikasi RPP sangat banyak, di antaranya
penentuan rute
terpendek penyapuan jalan, pengiriman surat atau barang
dengan rute
terpendek atau
biaya minimumnya, penentuan rute bus sekolah,
penentuan rute pengiriman bahan bakar, rute pengiriman katering, dsb. Ada beberapa tema
yang dibahas dalam RPP, yaitu undirected RPP, directed RPP, Stacker Crane Problem
SCP, dan Capacitated Arc Routing Problem CARP.
Pada karya ilmiah ini akan dibahas penyelesaian
Stacker Crane
Problem menggunakan dua macam algoritme heuristik,
yaitu Largearcs
dan Smallarcs
yang bersumber dari Eiselt et al. 1995b.
1.2 Tujuan Penulisan
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah: 1.
menyelesaikan masalah SCP dengan dua macam
algoritme heuristik,
yaitu algoritme
Largearcs dan
algoritme Smallarcs,
2. mengaplikasikan masalah SCP ke dalam
masalah penentuan
rute pengiriman
katering.
II LANDASAN TEORI
Dalam bab ini akan dibahas beberapa landasan teori yang berkaitan dengan bahasan
karya ilmiah ini. 2.1 Graf dan Digraf
Teori graf merupakan salah satu dari beberapa bidang matematika yang diketahui
dengan pasti awal perkembangannya. Teori ini pertama kali dikenal sejak Euler 1736
mengemukakan penelitiannya tentang masalah jembatan Königsberg. Dua abad kemudian
1936, untuk pertama kalinya dibuat buku tentang teori graf yang ditulis oleh Denes
König. Dalam periode yang sangat singkat, teori graf kini mengalami perkembangan yang
sangat pesat.
Chartrand Oellermann 1993
Definisi 1 Graf
Suatu graf adalah pasangan terurut
, dengan adalah himpunan berhingga dan takkosong dari elemen-elemen graf yang
disebut verteks node, simpul dan adalah himpunan pasangan yang menghubungkan
dua elemen subhimpunan dari yang biasa disebut sisi edge, line.
dapat dituliskan dan = , setiap sisi , pada
dapat dinotasikan dengan atau
. Banyaknya verteks dari graf disebut order
dari dan banyaknya sisi dari graf disebut size dari graf .
Chartrand Zhang 2009
:
e
13
e
14
e
3
e
4
e
5
e
6
e
9
e
10
e
12
e
11
e
7
e
2
e
1
e
8
v
1
v
8
v
3
v
2
v
5
v
6
v
7
v
4
v
9
Gambar 1 Graf. Pada Gambar 1 diperlihatkan bahwa
=
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
dan E = {e
1
, e
2
, e
3
, e
4
, e
5
, e
6
, e
7
, e
8
, e
9
, e
10
, e
11
, e
12
, e
13
, e
14
}
Definsi 2 Graf berarahdigraf
Digraf atau graf berarah directed graph adalah pasangan terurut
, dengan adalah himpunan takkosong yang hingga, dan
adalah himpunan pasangan terurut yang menghubungkan
elemen-elemen di
. Elemen-elemen dari
disebut sisi berarah arc. Notasi sisi berarah secara umum ialah
, , yaitu sisi berarah dari verteks ke verteks .
Chartrand Zhang 2009 :
e
2
e
5
e
6
e
4
e
3
e
1
v
1
v
4
v
2
v
5
v
3
Gambar 2 Digraf. Pada Gambar 2 terdapat contoh sisi
berarah, yaitu
1
,
3
,
2
,
1
,
3
,
2
,
3
,
5
,
4
,
2
,
4
,
5
.
Definisi 3 Adjacent dan incident
Misalkan dan verteks pada graf .
Verteks dikatakan tetangga adjacent dari jika ada sisi yang menghubungkan verteks
dan , yaitu
= . Himpunan semua
tetangga dari verteks dinotasikan dengan . Jika =
adalah sisi pada graf maka dikatakan incident dengan verteks
dan . Chartrand Zhang 2009
Ilustrasi adjacent
dan incident
diperlihatkan pada Gambar 1. Verteks
9
adjacent dengan verteks
7
dan verteks
8
, tetapi verteks
9
tidak adjacent dengan verteks
5
dan verteks
6
. Verteks
9
incident dengan sisi
13
dan sisi
14
, tetapi verteks
6
tidak incident dengan sisi
1
dan sisi
2
.
Definisi 4 Graf berbobot
Suatu graf =
, dikatakan berbobot jika terdapat sebuah fungsi
∶ → dengan
adalah himpunan bilangan real yang disebut bobot. Setiap bobot
dengan ∈ dinotasikan dengan
. Foulds 1992
1
: 5
v
1
4 2
6 v
3
v
4
v
2
Gambar 3 Graf berbobot. Graf
1
pada Gambar 3 merupakan contoh graf berbobot dengan bobot
sebagai berikut:
sisi
1 2
memiliki bobot
1 2
= 5, sisi
1 4
memiliki bobot
1 4
= 4, dan seterusnya.
Definisi 5 Graf campuran
Graf campuran G = V, A ∪ E merupakan
graf yang setidaknya memiliki satu sisi berarah dan satu sisi tidak berarah.
merupakan himpunan sisi-sisi berarah pada dan
merupakan himpunan sisi-sisi tidak berarah pada .
Balakrishnan 1997
2
: v
1
v
2
v
3
Gambar 4 Graf campuran.
Definisi 6 Subgraf
Graf =
, adalah subgraf dari =
, jika
dan
. Chartrand Oellermann 1993
3
:
e
1
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
e
3
e
4
e
6
e
5
e
2
Gambar 5 Graf
3
. :
e
2
e
4
e
3
e
1
v
1
v
4
v
2
v
3
Gambar 6 Subgraf dari
3
.
Definisi 7 Spanning subgraph
Suatu subgraf dikatakan spanning
subgraph dari graf jika semua verteks pada graf terdapat pada subgraf .
Vasudev 2006
1
∶
e
1
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
e
4
e
5
e
2
Gambar 7 Spanning subgraph dari
3
.
Definisi 8 Multigraf dan multidigraf
Suatu graf digraf dikatakan multigraf multidigraf bila graf digraf tersebut
memiliki lebih dari satu sisi sisi berarah yang incident dengan satu pasang verteks.
Foulds 1992 Ilustrasi multigraf dapat dilihat pada
gambar berikut:
v
2
v
3
v
4
v
1
Gambar 8 Multigraf. Gambar 8 merupakan contoh multigraf
karena verteks
3
dan
4
dihubungkan oleh lebih dari satu sisi. Ilustrasi multidigraf bisa
dilihat pada Gambar 9 berikut.
v
2
v
3
v
4
v
1
Gambar 9 Multidigraf.
Definisi 9 Derajatdegree
Derajat suatu verteks adalah banyaknya sisi yang incident pada verteks, dan
dinotasikan dengan deg
G
atau deg atau .
Vasudev 2006 Pada Gambar 8 diperlihatkan bahwa
1
= 2,
2
= 2,
3
=
4
= 3.
Definisi 10 Graf genap
Suatu graf dikatakan graf genap, jika
setiap verteksnya berderajat genap.
Eiselt et al. 1995 Graf
1
pada Gambar 3, merupakan graf genap karena pada Gambar 3 setiap verteks
berderajat genap.
Definisi 11 Derajat masukindegree
Pada graf berarah, indegree suatu verteks , yang dinotasikan dengan
−
, adalah banyaknya sisi berarah yang berakhir di
verteks . Vasudev 2006
Pada Gambar 9 diperlihatkan derajat masuk tiap verteksnya, yaitu
− 1
=
− 2
=
− 3
=1,
− 4
= 2.
Definisi 12 Derajat keluaroutdegree
Pada graf berarah, outdegree suatu verteks , yang dinotasikan dengan
+
, adalah banyaknya sisi berarah yang dimulai dari
verteks . Vasudev 2006
Pada Gambar 9 diperlihatkan derajat keluar tiap verteksnya, yaitu
+ 1
=
+ 2
=
+ 4
=1,
+ 3
= 2.
Definisi 13 Balans
Suatu digraf dikatakan balans jika setiap verteks
pada digraf tersebut memiliki � = 0, dengan � adalah selisih dari
derajat masuk dengan derajat keluar dari verteks .
Diestel 1997
v
4
v
1
v
3
v
2
Gambar 10 Digraf balans. Digraf pada Gambar 10 merupakan digraf
balans karena setiap verteks memiliki
� = 0
.
Definisi 14 Underlying graph
Jika suatu graf didapat dengan cara menghapus semua arah dari sisi berarah pada
digraf, maka graf tersebut adalah underlying graph dari digraf.
Vasudev 2006 Ilustrasi underlying graph bisa dilihat dari
Gambar 3 dan Gambar 10. Graf pada Gambar 3 merupakan underlying graph dari digraf
pada Gambar 10. Definisi 15 Jalanwalk
Suatu walk W pada graf adalah barisan bergantian antara verteks dan sisi yang
dimulai dan diakhiri oleh verteks. Walk yang dimulai dari
dan berakhir di disebut
walk − dan walk memunyai panjang
karena melalui sisi tidak harus berbeda. Walk yang sisi-sisinya memiliki orientasi arah
disebut directed walk atau walk berarah. Chartrand Oellermann 1993
Ilustrasi walk dapat dilihat pada Gambar 1, yaitu W = v
1
e
1
v
2
e
4
v
4
e
6
v
6
e
10
v
5
. Ilustrasi walk berarah dapat dilihat pada Gambar 2, yaitu
=
1 2 3
5 5
.
Definisi 16 Walk tertutup
Suatu walk pada graf dikatakan tertutup closed jika verteks awal dan verteks akhir
pada walk tersebut adalah sama. Foulds 1992
Ilustrasi walk tertutup dapat dilihat pada Gambar 1, yaitu W
T
= v
1
e
8
v
7
e
11
v
5
e
7
v
3
e
2
v
1
merupakan walk tertutup karena verteksnya dimulai dan diakhiri dengan verteks yang
sama. Definisi 17 Jalurpath
Path adalah walk dengan tidak ada verteks yang diulang.
Chartrand Oellermann 1993 Ilustrasi path dapat dilihat pada Gambar 1,
yaitu � =
1 2 3 7 5 10 6
merupakan path karena tidak ada verteks yang diulang.
Definisi 18 Cycle
Cycle adalah walk tertutup, yang memuat sedikitnya tiga verteks, dan semua verteks
pada walk tersebut berbeda. Foulds 1992
Ilustrasi cycle dapat dilihat pada Gambar 1. C
E
= v
7
e
12
v
8
e
13
v
9
e
14
v
7
merupakan cycle karena tidak ada verteks yang diulang dan
verteksnya dimulai di
7
dan berakhir di
7
.
Definisi 19 Lintasantrail
Trail adalah walk dengan tidak ada sisi yang diulang.
Chartrand Oellermann 1993 Ilustrasi trail dapat dilihat pada Gambar 1,
yaitu = v
3
e
3
v
4
e
6
v
6
e
10
v
5
e
7
v
3
e
2
v
1
merupakan trail karena tidak ada sisi pada yang diulang.
Definisi 20 Circuit
Circuit adalah trail yang tertutup. Chartrand Oellermann 1993
Ilustrasi circuit dapat dilihat pada Gambar 1, yaitu
= v
6
e
9
v
8
e
12
v
7
e
14
v
9
e
13
v
8
e
5
v
2
e
4
v
4
e
6
v
6
merupakan circuit karena tidak ada sisi pada
yang diulang dan merupakan walk tertutup.
Definisi 21 Graf lengkap
Graf lengkap adalah graf dengan
verteks sehingga terdapat tepat satu sisi yang menghubungkan tiap pasang verteks.
Balakrishnan 1997
4
:
v
1
v
2
v
4
v
3
Gambar 11 Graf lengkap.
Definisi 22 Terhubungconnected
Suatu graf =
, dikatakan terhubung connected jika untuk setiap pasang verteks
dan di , maka dihubungkan dengan . Jika terdapat pasangan verteks
− di sehingga tidak ada path
− , maka graf tersebut
dikatakan tak
terhubung
disconnected.
Chartrand Oellermann 1993
5 :
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
6
Gambar 12 Graf terhubung.
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
6
Gambar 13 Graf tak terhubung.
Definisi 23 Komponen graf
Suatu subgraf terhubung yang tidak termuat pada subgraf lainnya yang juga
terhubung disebut komponen graf. Banyaknya komponen dari graf
dituliskan sebagai
.
Balakrishnan 1997 Graf pada Gambar 13 terdiri atas dua
komponen, yaitu
1
dan
2
sebagai berikut:
1
:
v
1
v
2
v
3
Gambar 14 Komponen ke-1 dari graf pada Gambar 13.
2
:
v
4
v
5
v
6
Gambar 15 Komponen ke-2 dari graf pada Gambar 13.
Definisi 24 Bridge
Pada graf suatu sisi yang terhubung disebut bridge jika sisi tidak terletak pada
suatu cycle di sehingga pada saat sisi
tersebut dihilangkan menyebabkan graf menjadi tak terhubung.
Chartrand Oellermann 1993
6 :
e
4
e
5
e
2
v
1
v
3
v
2
e
3
e
7
e
6
v
5
v
6
v
4
e
1
Gambar 16 Graf yang terdapat bridge. Pada Gambar 16, sisi
2
merupakan bridge, karena jika sisi
2
dihapus, maka graf
6
menjadi tak terhubung.
Definisi 25 Tree
Suatu graf yang bersifat connected dan tidak memunyai cycle disebut tree.
Chartrand Zhang 2009 v
1
v
4
v
3
v
2
Gambar 17 Tree.
Definisi 26 Spanning Tree
Suatu spanning tree adalah subgraf yang merupakan tree.
Vasudev 2006
v
1
v
4
v
3
v
2
v
5
Gambar 18 Graf
7
.
v
1
v
4
v
3
v
2
v
5
Gambar 19 Spanning tree dari
7.
Definisi 27 Arborescence
Suatu tree yang memiliki verteks yang indegree-nya bernilai 0 nol, sementara
verteks-verteks lainnya memiliki indegree 1 satu disebut arborescence.
Balakrishnan 1997 Verteks yang indigree-nya bernilai 0 nol
pada arborescence disebut akar arborescence.
v
1
v
4
v
3
v
2
Gambar 20 Arborescence. Tree pada Gambar 20 adalah arborescence
dengan verteks
3
sebagai akar arborescence.
Definisi 28 Spanning arborescence
Spanning tree yang bersifat arborescence disebut spanning arborescence.
Vasudev 2006
v
1
v
4
v
3
v
2
v
5
Gambar 21 Graf
8
.
v
1
v
4
v
3
v
2
v
5
Gambar 22 Spanning arborescence dari
8
. Tree
pada Gambar
22 merupakan
spanning arborescence dari graf
8
pada Gambar 21 dengan akar arborescence di
verteks
1
.
Definisi 29 Graf bipartite
Graf dikatakan bipartite jika dapat
dipartisi menjadi dua subhimpunan takkosong
1
dan
2
sehingga setiap sisi di menghubungkan suatu verteks di
1
dengan verteks di
2
. Chartrand Oellermann 1993
9
: v
1
v
3
v
5
v
2
v
4
V
1
V
2
Gambar 23 Graf bipartite. Graf
9
pada Gambar 23 merupakan graf bipartite
dengan
1
=
1
,
3
,
5
dan
2
=
2
,
4
.
Definisi 30 Graf r-regular
Sebuah graf merupakan graf -regular,
atau graf regular berderajat , jika setiap
verteks pada graf memiliki derajat . Chartrand Oellermann 1993
Graf
4
pada Gambar 11, merupakan graf regular berderajat 3 karena setiap verteks
memiliki derajat 3. Definisi 31 Matching
Matching pada sebuah graf merupakan subgraf 1-regular, yaitu berupa himpunan sisi-
sisi yang tidak adjacent. Chartrand Oellermann 1993
e
5
e
1
e
2
e
4
e
3
v
1
v
3
v
4
v
2
v
5
Gambar 24 Graf dengan matching. = {
1
,
4
} adalah salah satu matching pada graf di Gambar 24.
Definisi 32 Matching yang perfect
Graf ber-order yang mempunyai
matching berkardinalitas 2, maka matching
tersebut dikatakan matching yang perfect. Chartrand Oellermann 1993
e
1
e
2
e
3
e
4
v
1
v
3
v
4
v
2
Gambar 25 Graf dengan matching perfect. Graf pada Gambar 25 ber-order 4 dan
1
= {
1
,
3
} merupakan
matching berkardinalitas 2, sehingga
1
adalah matching yang perfect.
Definisi 33 Matching berbobot minimum
Matching berbobot minimum merupakan matching dengan jumlah bobot pada sisinya
adalah minimum. Chartrand Oellermann 1993
Ilustrasi matching yang perfect dapat
dilihat pada graf Gambar 3, yaitu
2
=
1
,
2
,
3
,
4
dengan bobot 7,
3
=
1
,
4
,
2
,
3
dengan bobot 10. Jadi,
2
adalah matching yang perfect dengan bobot minimum.
2.2 Graf Euler
Kategori