2.7 Penentuan Sirkuit
Euler dengan
Algoritme Fleury
Misalkan =
, adalah
graf terhubung yang semua verteksnya berderajat
genap. Langkah 1. Inisialisasikan i = 0. Dimulai
dari verteks dan didefinisikan trail
: .
Langkah 2. Misalkan T
i
= v e
1
v
1
e
2
v
2
e
3
... e
i
v
i
sebagai trail dari ke
pada iterasi ke- , lalu dipilih sebuah sisi
+1
yang menghubungkan
dengan
+1
yang bukan merupakan
bridge dari
himpunan sisi
= −
1
,
2
, … . Jika
+1
adalah bridge pada subgraf yang didapat dari
setelah menghapus sisi yang dimiliki E
i
dari , dan tidak ada pilihan lain yang bisa
diambil, maka sisi tersebut dimasukkan ke dalam trail
=
0 1 1 2 2 3
…
+1
. Jika tidak ada sisi lagi yang bisa dipilih maka
proses berhenti. Langkah 3.
Kemudian diganti menjadi + 1, lalu kembali ke Langkah 2.
Trail yang terbentuk dari urutan sisi yang diambil merupakan sirkuit Euler pada graf .
Balakrishnan 1997
Contoh Penggunaan Algoritme Fleury
Misalkan diberikan graf seperti pada Gambar 33.
12
:
3 3
1 3
2 2
4 3
2 4
2 4
5 6
1 3
Gambar 33 Graf Euler
untuk contoh
algoritme Fleury. Untuk mencari sirkuit Euler pada graf
tersebut dengan algoritme Fleury, dilakukan prosedur sebagai berikut:
1. dipilih sembarang verteks, misalkan
verteks 1, yang dilabeli sebagai ,
3 v
3 1
3 2
2 4
3 2
4 2
4 5
6 1
3
Gambar 34 Iterasi pertama: inisialisasi .
2. dipilih sisi yang incident dengan
dan bukan merupakan bridge pada graf.
Misalkan sisi {1,6} dipilih, lalu sisi tersebut dihapus dan didefinisikan verteks
6 sebagai verteks
1
, sehingga graf menjadi seperti pada Gambar 35.
v
1
v 3
1 3
2 2
4 3
2 4
2 4
5 6
1 3
Gambar 35 Iterasi kedua: sisi {1,6} dihapus. 3.
dipilih sisi {6,2} yang bukan bridge pada subgraf , sehingga graf menjadi seperti
pada Gambar 36.
v
2
v
1
v 1
3 2
2 4
3 2
4 2
4 5
6 1
3
Gambar 36 Iterasi ketiga: sisi {6,2} dihapus. Iterasi
selanjutnya diberikan
secara lengkap pada Lampiran 3. Setelah semua sisi
dihapus, sehingga dihasilkan graf seperti pada Gambar 37, maka sirkuit Euler sudah bisa
ditemukan.
v
10
v
9
v
8
v
7
v
6
v
5
v
4
v
3
v
2
v
1
v 2
4 5
6 1
3
Gambar 37 Graf terakhir dari algoritme Fleury.
Dari urutan verteks yang dipilih dan sisi yang dihapus akan diperoleh solusi sirkuit
Euler yang dimulai dari verteks 1, yaitu 1-6-2- 5-3-6-5-4-3-2-1 dengan total bobot 27.
III PENYELESAIAN STACKER CRANE PROBLEM
Rural Postman Problem RPP merupakan permasalahan dalam pencarian rute terpendek
dengan biaya minimum dan hanya sebagian sisi atau sisi berarah yang diperlukan saja
yang harus dilewati. Misalkan diberikan graf campuran
= , ∪
dengan himpunan sisi berarah dan
himpunan sisi tidak berarah pada graf
. Misalkan merupakan himpunan sisi berarah yang harus
dilewati minimal satu kali required arc pada , yaitu
⊆ ∪ . Selanjutnya, diberikan bobotnilai untuk setiap sisi berarah
, dan sisi tidak berarah
{ , } yang dinotasikan dengan
. RPP memiliki banyak jenis yaitu URPP
Undirected RPPRPP yang tidak berarah, DRPP Directed RPPRPP yang berarah,
SCP Stacker Crane ProblemRPP dengan graf campuran, dan CARP Capacitated Arc
Routing
ProblemRPP dengan
graf berkapasitas.
Pada karya ilmiah ini, hanya dibahas kasus SCP Stacker Crane Problem
saja, yaitu RPP dengan himpunan sisi berarah yang harus dilewati minimal satu kali
= .
Stacker Crane Problem SCP dapat
dinyatakan sebagai permasalahan dalam pencarian rute dengan biaya atau jarak
minimum dan diharuskan melewati ruas jalan yang telah ditentukan
paling tidak satu kali. Arah sisi berarah dari
dapat dilihat sebagai pergerakan yang harus dilakukan oleh
sebuah crane dengan arah yang telah ditentukan, masing-masing tepat satu kali.
Permasalahan tersebut juga dapat dinyatakan sebagai masalah menemukan sirkuit Euler
yang merepresentasikan rute terpendek yang melewati sisi yang telah ditentukan tepat satu
kali pada suatu graf Euler.
Frederickson et al. 1978 mengajukan dua metode heuristik untuk menyelesaikan SCP
dengan ketentuan
graf campuran
= , ∪ memenuhi syarat berikut:
Syarat 1. Setiap verteks adalah incident
dengan setidaknya satu sisi berarah di A.
Syarat 2. Fungsi bobot pada sisi
, yaitu
, memenuhi pertidaksamaan segitiga, yaitu
+ ,
∀ , , ∈ .
Apabila graf tidak memenuhi kedua syarat tersebut,
algoritme Preprocess
akan mengubahnya menjadi graf yang memenuhi
kedua syarat Frederickson tersebut.
3.1 Algoritme Preprocess Input : Graf campuran
Kategori