Energi Sinyal

11.3. Energi Sinyal

Energi total yang dibawa oleh suatu bentuk gelombang sinyal didefinisi- kan sebagai

W total = ∫ p ( t ) dt

dengan p(t) adalah daya yang diberikan oleh sinyal kepada suatu beban. v 2 (

2 t t ) ) = i ( t ) R = ; dan jika R bebannya adalah resistor 1 Ω maka

Jika beban berupa resistor maka p (

1 Ω = ∫ f ( t ) dt − ∞

(11.7) dengan f ( t ) berupa arus ataupun t egangan

Persamaan (11.7) digunakan sebagai definisi untuk menyatakan energi yang dibawa oleh suatu bentuk gelombang sinyal. Dengan kata lain, en- ergi yang diberikan oleh suatu gelombang sinyal pada resistor 1 Ω men- jadi pernyataan kandungan energi gelombang tersebut.

Teorema Parseval menyatakan bahwa energi total yang dibawa oleh sua- tu bentuk gelombang dapat dihitung baik di kawasan waktu maupun ka- wasan frekuensi. Pernyataan ini dituliskan sebagai

W 1 Ω = ∫ f ( t ) dt = ∫ | F ( ω ) 2 | d ω (11.8)

Karena |F( 2 ω )| merupakan fungsi genap, maka (11.8) dapat dituliskan

W 1 Ω = ∫ | F ( ω ) 2 | d ω (11.9)

230 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)

Jadi di kawasan waktu energi gelombang adalah integral untuk seluruh waktu dari kuadrat bentuk gelombang, dan di kawasan frekuensi ener- ginya adalah (1/2 π ) kali integrasi untuk seluruh frekuensi dari kuadrat besarnya (nilai mutlak) transformasi Fourier dari sinyal.

Penurunan teorema ini dimulai dari (11.7).

( t ) dt = ∫ f ( t )  ∫ F ( ) e j ω ω t d ω  dt

 Integrasi yang berada di dalam tanda kurung adalah integrasi terhadap ω

dan bukan terhadap t. Oleh karena itu f(t) dapat dimasukkan ke dalam integrasi tersebut menjadi

∫∫  f ( t ) F ( ω ) e j ω t d ω dt 2 π − ∞  − ∞  

Dengan mempertukarkan urutan integrasi, akan diperoleh

∫∫  f ( t F e j ω ) t ( ω ) dt d 2 ω π − ∞  − ∞  

 ∫ f ( t ) e dt  d ω

2 π − ∞ Teorema Parseval menganggap bahwa integrasi pada persamaan (11.8)

ataupun (11.9) adalah konvergen, mempunyai nilai berhingga. Sinyal yang bersifat demikian disebut sinyal energi; sebagai contoh: sinyal kausal eksponensial, eksponensial dua sisi, pulsa persegi, sinus teredam. Jadi tidak semua sinyal merupakan sinyal energi. Contoh sinyal yang mempunyai transformasi Fourier tetapi bukan sinyal energi adalah sinyal impuls, sinyal anak tangga, signum, dan sinus (tanpa henti). Hal ini bukan berarti bahwa sinyal ini, anak tangga dan sinyal sinus misalnya, tidak dapat digunakan untuk menyalurkan energi bahkan penyaluran en- ergi akan berlangsung sampai tak hingga; justru karena itu ia tidak dise- but sinyal energi melainkan disebut sinyal daya.

CONTOH-11.5: Hitunglah energi yang dibawa oleh gelombang

v ( t ) 10 e − 1000 t = [ ] u ( t ) V

Solusi:

Kita dapat menghitung di kawasan waktu

] dt

10 e − 1000 t

e − 2000 t

Untuk menghitung di kawasan frekuensi, kita cari lebih dulu

V ( ω )=10/(j ω +1000).

1 ∞   2 100 ∞ 100 W

d tan − 1 1 ω Ω =   ω =

Pemahaman: Kedua cara perhitungan memberikan hasil yang sama. Fungsi |F( 2 ω )| menunjukkan kerapatan energi dalam spektrum sinyal.

Persamaan (11.9) adalah energi total yang dikandung oleh seluruh spek- trum sinyal. Jika batas integrasi adalah ω 1 dan ω 2 maka kita memperoleh persamaan

W 12 = ∫ | F ( ω ) | 2 d ω (11.10)

yang menunjukkan energi yang dikandung oleh gelombang dalam selang frekuensi ω 1 dan ω 2 .

Jika hubungan antara sinyal keluaran dan masukan suatu pemroses sinyal adalah Y ( ω ) = H ( ω ) X ( ω ) maka energi sinyal keluaran adalah

| H ( ω ) | 1 2 Ω ∫ | X ( ω ) | 2 d ω (11.11)

Dengan hubungan-hubungan yang kita peroleh ini, kita dapat menghi- tung energi sinyal langsung menggunakan transformasi Fouriernya tanpa harus mengetahui bentuk gelombang sinyalnya.

232 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)

CONTOH-11.6: Tentukan lebar pita yang diperlukan agar 90% dari

total energi gelombang exponensial v ( t ) 10 e − 1000 t = [ ] u ( t ) V dapat

diperoleh.

Solusi:

Bentuk gelombang

v ( t ) = 10 e − 1000 t [ ] u ( t ) → V ( ω ) =

j ω + 1000 Energi total :

10 π  2   20 Misalkan lebar pita yang diperlukan untuk memperoleh 90% energi

adalah β , maka β 

100 W

20 1000  20  ⇒ β = 6310 rad/s

Soal-Soal

1. Saklar S pada rangkaian berikut telah berada di posisi 1 mulai t = −∞ . Pada t = 0 ia dipindahkan keposisi 2 dan tetap pada posisi 2 sampai t = + ∞ . Jika v 1 = − 10 V, v 2 = 10 V, tentukan v in ,V in ( ω ),

V o ( ω ),v o .

+ v 2 2 v in 10 k Ω v o

2. Saklar S pada rangkaian berikut telah berada di posisi 1 mulai t = −∞ . Pada t = 0 ia dipindahkan keposisi 2 dan tetap pada posisi 2 sampai t = + ∞ . Tentukan v in ,V in ( ω ),V o ( ω ),v o , jika v 1 = − 10 V, v 2 = 5 V.

10 k Ω + v 2 2 v in 1 µ f v o

3. Saklar S pada rangkaian berikut telah berada di posisi 1 mulai t = −∞ . Pada t = 0 ia dipindahkan keposisi 2 dan tetap pada posisi 2 100t

sampai t = + ∞ . Tentukan v in ,V in ( ω ),V o ( ω ),v o , jika v 1 = 10e − 2 100t = 10e V, v V.

1H + v 2 2 v in 0,5 k Ω v o

4. Saklar S pada rangkaian berikut telah berada di posisi 1 mulai t = −∞ . Pada t = 0 ia dipindahkan keposisi 2 dan tetap pada posisi 2 sampai t = + 100t ∞ . Tentukan v

in ,V in ( ω ),V o ( ω ),v o , jika v 1 = 10e

234 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)

0,5 k Ω

+ v 2 2 v in 1H v o

5. Saklar S pada rangkaian berikut telah berada di posisi 1 mulai t = −∞ . Pada t = 0 ia dipindahkan keposisi 2 dan tetap pada posisi 2

sampai t = + ∞ . Tentukan v in ,V in ( ω ),V o ( ω ),v o , jika v 1 = 10 V, v 2 = 10e − 100t V. − + 1

1H + v 2 2 v in 100 Ω v o

F, dan R = 1 k Ω , dit- erapkan tegangan v s = 10sgn(t) V. Tentukan tegangan pada resis- tor.

6. Pada sebuah rangkaian seri L = 1 H, C = 1 µ

7. Tanggapan impuls sebuah rangkaian linier adalah h(t) = sgn(t). − Jika tagangan masukan adalah v 10t s (t) = δ (t) − 10e u (t) V, tentukan

tegangan keluarannya.

8. Tentukan tanggapan frekuensi rangkaian yang mempunyai tang-

gapan impuls

h − (t) = 10t δ (t) − 20e u (t).

9. Tentukan tegangan keluaran rangkaian soal 8, jika diberi masukan

v s (t) = sgn(t).

10. Jika tegangan masukan pada rangkaian berikut adalah v 1 = 10 cos 100 t

V, tentukan tegangan keluaran v o .

1 µ F 10k Ω

10k Ω +

11. Ulangi soal 10 untuk sinyal yang transformasinya 200

V 1 ( ω ) = 2 ω + 400

12. Tentukan enegi

dibawa oleh sinyal v ( t ) = 500 t e − 100 t u ( t ) V . Tentukan pula berapa persen energi yang dikandung dalam selang frekuensi − 100 ≤ ω ≤ +100 rad/s .

yang

13. Pada rangkaian filter RC berikut ini, tegangan masukan adalah v

Tentukan energi total masukan, persentase energi sinyal keluaran v o terhadap energi sinyal masukan, persentase energi sinyal keluaran dalam selang passband-nya.

14. Pada rangkaian berikut ini, tegangan masukan adalah v 1 = 20 e − 5 t u ( t ) V .

1 µ F 10k Ω

10k Ω +

Tentukan energi total masukan, persentase energi sinyal keluaran v o terhadap energi sinyal masukan, persentase energi sinyal keluaran dalam selang passband-nya.

236 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)