Tanggapan Rangkaian Orde-2 Terhadap Sinyal Sinus

Tanggapan Rangkaian Orde-2 Terhadap Sinyal Sinus - Analisis Transien Rangkaian Orde-2

===

2.5. Tanggapan Rangkaian Orde-2 Terhadap Sinyal Sinus

Masukan sinyal sinus secara umum dapat kita nyatakan dengan x(t) =

A cos( ω t + θ ) u(t). Untuk peninjauan pada t > 0 faktor u(t) tak perlu ditulis lagi. Dengan demikian persamaan umum rangkaian orde-2 dengan ma- sukan sinyal sinus akan berbentuk

a 2 + b + cy = A cos( ω t + θ ) dt

dy

dt

Persamaan karakterisik serta akar-akarnya tidak berbeda dengan apa yang telah kita bahas untuk sumber tegangan konstan, dan memberikan tanggapan alami yang berbentuk

Untuk masukan sinus, tanggapan paksa diduga akan berbentuk

v p =A c cos ω t +A s sin ω t

46 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)

CONTOH-2.6: Carilah v dan i untuk t > 0 pada rangkaian di samping ini jika v s = 26cos3t u(t) V

5 sedangkan i(0) = 2 A dan v(0) =

Aplikasi HTK untuk rangkaian ini akan memberikan

di

5 dv 1 d 2 v

2 + v = 26 cos 3 t dt atau 6 dt 6 dt

2 + 5 + 6 v = 156 cos 3 t dt dt

dv

Persamaan karakteris tik : s 2 + 5 s + 6 = 0 = ( s + 2 )( s + 3 ); akar - akar : s 1 , s 2 = − 2 , − 3 Dugaan tan ggapan lengkap : v = v p + K e − 2 t + K e − 3 1 t 2

Dugaan ta nggapan paksa : v p = A c cos 3 t + A s sin 3 t

→ ( − 9 A c + 15 A s + 6 A c ) cos 3 t + ( − 9 A s − 15 A c + 6 A s ) sin 3 t = 156 cos 3 t

Tanggapan t lengkap : v = − 2 cos 3 t + 10 sin 3 t + K −

Kondisi awal : v ( 0 + ) = 6 dan i ( 0 + ) = 2 =

1 dv dv

6 dt dt Aplikasi kondisi awal pertama : 6 = − 2 + K 1 + K 2 → K 2 = 8 − K 1

Aplikasi kondisi awal kedua : 12 = 30 − 2 K 1 − 3 K 2

− 3 + t 10 sin 3 t + 6 e + 2 e V ⇒

Tanggapan lengkap : v = − 2 cos 3 t

1 dv

t i = = sin 3 t + 5 cos 3 t − 2 e − 2 −

6 dt

CONTOH-2.7: Pada rangkaian di samping ini, v s = 10cos5t u(t) V. Ten- tukanlah tegangan kapasi-

A tor v untuk t > 0, jika te-

gangan awal kapasitor dan arusawal induktor adalah

6 Ω + nol.

− B 0,25F v

1H

Solusi:

Simpul A : v +

Simpul B : + ∫ v B dt + i L ( 0 ) − = 0 → v B + 6 ∫ v B dt − v = 0

d 2 v dv → dv

1 , 5 2 + 10 , 5 + 15 v = 9 v + 1 s s , 5 atau dt

dt

dt

dt Dengan tegangan masukan v s = 10cos5t maka persamaan rangkaian

dt

menjadi

48 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)

2 + 7 + 10 v = 60 cos 5 t − 50 sin 5 t dt dt

dv

Persamaan karakteris tik : s 2 + 7 s + 10 = 0

→ s 1 , s s = − 3 , 5 ± 3 , 5 2 − 10 = − 2 , − 5 .

Dugaan ta nggapan lengkap : v = v p + K −

1 e 2 t + K 5 2 e t Dugaan ta nggapan paksa : v p = A c cos 5 t + A s sin 5 t

 ( − 25 A c + 35 A s + 10 A c ) cos 6 t 

 + ( − 25 A s  − 35 A c + 10 A s ) sin 6 t 

→  = 60cos6t − 50sin6t

→ − 15 A c + 35 A s = 60 dan − 15 A s − 35 A c = − 50 ⇒ A s = 0,93 A ; c = − 1 , 83 ⇒ v p = − 1 , 83 cos 5 t + 0 , 93 sin 5 t

1 e + K 2 e Kondisi awal :

Tanggapan lengkap : v = − 1 , 83 cos 5 t + 0 , 93 sin 5 t + K − 2 t

Aplikasi kedua kondisi awal ini pada tanggapa n lengkap : v ( 0 + ) = 0 = − 1 , 83 + K 1 + K 2 → K 2 = 1 , 83 − K 1

dv +

( 0 ) = 10 = 4 , 65 − 2 K 1 − 5 K 2 → 5 , 35 = − 2 K 1 − 5 ( 1 . 83 − K 1 ) dt ⇒ K 1 = 4 , 83 ⇒ K 2 = − 3

Tanggapan lengkap : v = − 1 , 83 cos 5 t + 0 , 93 sin 5 t + 4 , 83 e − 2 t − 3 e − 5 t

Soal-Soal

1. Carilah bentuk gelombang tegangan yang memenuhi persamaan diferensial berikut.

a) dv .

2 ++++ 7 ++++ 10 v ==== 0 , dt dt

v ( 0 ++++ ) ==== 0 ,

dv

( 0 ++++ ) ==== 15 V/s

dt

dv

b). 2 ++++ 4 ++++ 4 v ==== 0 ,

v ( 0 ++++ ) ==== 0 V, ( 0 ++++ ) ==== 10 V/s

dt

dv

c). ++++ 4 ++++ 5 v ==== 0 ,

dt 2 dt

dv

v ( 0 ++++ ) ==== 0 V, ( 0 ++++ ) ==== 5 V/s

dt

2. Ulangi soal 1 untuk persamaan berikut.

a) dv .

2 ++++ 10 ++++ 24 v ==== 100 u ( t ) ,

==== 25 V/s

dt

b). 2 ++++ 10 ++++ 25 v ==== 100 u ( t ) , dt

v ( 0 ) ==== 5 V, ==== 10 V/s

dt

dv

c). 2 ++++ 8 ++++ 25 v ==== 100 u ( t ) ,

( 0 ) ==== 5 V, ==== 10 V/s

dt

50 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)

3. Ulangi soal 1 untuk persamaan berikut. d 2 v

a) . 2 ++++ 6 ++++ 8 v ==== 100 [cos 1000 t u ] ( t ) , dt

( 0 ++++ ) ==== 0 V/s

dt

d 2 v b). dv 2 ++++ 6 ++++ 9 v ==== 100 [cos 1000 t u ] ( t ) ,

v ( 0 ++++ ) ==== 0 V, ( 0 ++++ ) ==== 0 V/s

dt

d 2 v c). dv 2 ++++ 2 ++++ 10 v ==== 100 [cos 1000 t u ] ( t ) dt , dt

dv

v ( 0 ++++ ) ==== 0 V, ( 0 ++++ ) ==== 0 V/s

dt

4. Saklar S pada rangkaian di bawah ini, telah berada pada posisi A da- lam waktu yang lama. Pada t = 0, ia dipindahkan ke posisi B. Caril-

ah v C untuk t > 0

6k Ω B 0,4H + 6k Ω + − 10 V 25pF v c −

5. Saklar S pada rangkaian di bawah ini telah berada di posisi A dalam waktu yang lama. Pada t = 0 , saklar dipindahkan ke posisi B. Ten- tukan i L (t) untuk t > 0.

10k Ω +

2,5k Ω

2H

− 15V

0,02 µ F

6. Saklar S pada rangkaian di bawah ini telah berada di posisi A dalam waktu yang lama. Pada t = 0 , saklar dipindahkan ke posisi B. Ten- tukan i L (t) untuk t > 0.

0,01 µ F 10mH

7. Saklar S pada rangkaian di bawah ini, telah lama terbuka. Pada t = 0,

ia ditutup. Carilah v C untuk t > 0

+ 3k Ω 3k Ω 0,4H +

− 10 V 0,1 µ F v c S −

8. Saklar S pada rangkaian di bawah ini telah berada di posisi A dalam waktu yang lama. Pada t = 0 , saklar dipindahkan ke posisi B. Ten-

tukan v C untuk t > 0.

0,4k Ω B

25k Ω 10mH

9. Tegangan masukan v s pada rangkaian di bawah ini adalah v s = 100u(t)

V. Tentukan tegangan kapasitor untuk t>0.

+ 4k Ω + v s − 50mH 50pF v C −

52 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)

10. Setelah terbuka dalam waktu cukup lama, saklar S pada rangkaian di bawah ini ditutup pada t = 0. Tentukan v 1 dan v 2 untuk t > 0.

+ 12V + 4 Ω 4 Ω +

+ − v 1 v 2 6V −

0,05F − 0,05F −

11. Rangkaian berikut tidak mempunyai simpanan energi awal. Saklar S pada rangkaian berikut ditutup pada t = 0. Carilah i untuk t > 0.

0,25F

v 1 − 8 12V 0,25F 2v 1 −

12. Rangkaian di bawah ini tidak memiliki simpanan energi awal. Ten- tukan v untuk t > 0 jika i s = [2cos2t] u(t) A dan v s = [6cos2t] u(t) V.

5H 0,05F

F dimuati sampai mencapai tegangan 200 V. Muatan kapasitor ini kemudian dilepaskan melalui hubungan seri in- duktor 100 µ

13. Sebuah kapasitor 1 µ

H dan resistor 20 Ω . Berapa lama waktu diperlukan un-

tuk menunrunkan jumlah muatan kapasitor hingga tinggal 10% dari jumlah muatan semula ?

14. Sebuah kumparan mempunyai induktansi 9 H dan resistansi 0,1 Ω , dihubungkan paralel dengan kapasitor 100 µ

F. Hubungan paralel ini

diberi tegangan searah sehingga di kumparan mengalir arus sebesar 1

A. Jika sumber tegangan diputus secara tiba-tiba, berapakah tegangan maksimum yang akan timbul di kapasitor dan pada frekuensi berapa arus berosilasi ?

15. Kabel sepanjang 2 kM digunakan untuk mencatu sebuah beban pada tegangan searah 20 kV. Resistansi beban 200 Ω dan induktansinya 1

H (seri). Kabel penyalur daya ini mempunyai resistansi total 0,2 Ω sedangkan antara konduktor dan pelindung metalnya membentuk ka- pasitor dengan kapasitansi total 0,5 µ

F. Bagaimanakah perubahan te-

gangan beban apabila tiba-tiba sumber terputus? (Kabel dimodelkan sebagai kapasitor; resistansi konduktor kabel diabaikan terhadap re- sistansi beban).

54 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)