Fungsi Dengan Pole Ganda

3.4.5. Fungsi Dengan Pole Ganda

Pada kondisi tertentu, fungsi F(s) dapat mempunyai pole ganda. Pen- guraian F(s) yang demikian ini dilakukan dengan “memecah” faktor yang mengandung pole ganda dengan tujuan untuk mendapatkan bentuk fungsi dengan pole sederhana yang dapat diuraikan seperti biasanya. Un- tuk jelasnya kita ambil suatu fungsi yang mengandung pole ganda (dua pole sama) seperti pada (3.19) berikut ini.

( s − p 1 )( s − p 2 ) 2

Dengan mengeluarkan salah satu faktor yang mengandung pole ganda kita dapatkan

1  (3.20) s − p 2  ( s − p 1 )( s − p 2 ) 

Bagian yang didalam tanda kurung dari (3.20) mengandung pole sederhana sehingga kita dapat menguraikannya seperti biasa.

2 (3.21)  ( s − p 1 )( s − p 2 )  s − p 1 s − p 2

Residu pada (3.21) dapat ditentukan, misalnya k 1 = A dan k 2 = B , dan faktor yang kita keluarkan kita masukkan kembali sehingga (3.20) menjadi

+ s − p 2  s − p 1 s − p 2  ( s − p 2 )( s − p 1 ) ( s − p 2 ) 2

dan suku pertama ruas kanan diuraikan lebih lanjut menjadi

k 11 k

12 + B (3.22)

s − 2 ( s − p 1 2 p 2 ) Transformasi balik dari (3.22) adalah

f ( t ) k e p 1 t k e p 2 t Bte p 2 = t 11 + 12 +

CONTOH-3.11: Tentukan transformasi balik dari fungsi:

74 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)

Transformasi Laplace menyatakan secara timbal balik bahwa jika f ( t ) = f 1 ( t ) + f 2 ( t ) maka F (s) = F 1 ( s ) + F 2 ( s )

jika F ( s ) = F 1 ( s ) + F 2 ( s ) maka f (t) = f 1 ( t ) + f 2 ( t ) Kelinieran dari transformasi Laplace ini tidak mencakup perkalian. Jadi jika F ( s ) = F 1 ( s ) F 2 ( s ) maka f ( t ) ≠ f 1 ( t ) f 2 ( t ) Mencari fungsi f(t) dari suatu fungsi F(s) yang merupakan hasil kali dua

fungsi s yang berlainan, melibatkan sifat transformasi Laplace yang kita sebut konvolusi. Sifat ini dapat dinyatakan sebagai berikut.

jika F ( s ) = F 1 ( s ) F 2 ( s ) maka

Kita katakan bahwa transformasi balik dari perkalian dua F(s) diperoleh dengan melakukan konvolusi dari kedua bentuk gelombang yang ber- sangkutan. Kedua bentuk integral pada (3.24) disebut integral konvolusi.

Pandanglah dua fungsi waktu f 1 ( τ ) dan f 2 (t). Transformasi Laplace mas- ing-masing adalah

∞ − st

1 ( s ) = ∫ f 1 ( τ ) e d τ dan F ( s ) = ∫ 0 f 2 0 2 ( t ) e dt .

Jika kedua ruas dari persamaan pertama kita kalikan dengan F 2 (s) akan kita peroleh

− s Sifat translasi di kawasan waktu menyatakan bahwa e τ F

2 (s) adalah transformasi Laplace dari [ f 2 (t − τ ) ] u(t −τ ) sehingga persamaan tersebut dapat ditulis

st

F 1 ( s ) F 2 ( s ) = ∫ f 1 ( τ )  ∫ f 2 ( t − τ ) u ( t − τ ) e − dt  d τ

0  0  Karena untuk τ > t nilai u(t −τ ) = 0, maka integrasi yang berada di dalam

kurung pada persamaan di atas cukup dilakukan dari 0 sampai t saja, se- hingga

F 1 s ) F − ( st 2 ( s ) = ∫ f 1 ( τ )  ∫ f 2 ( t − τ ) e dt  d τ

st

 f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) e − dt  d τ

0  0  Dengan mempertukarkan urutan integrasi, kita peroleh

F 1 ( s ) F − 2 st ( s ) = ∫∫

0  f 0 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) d τ  e dt = L     ∫ f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) d τ 0  

CONTOH-3.12: Carilah f(t) dari F(s) berikut.

Solusi : a). Fungsi ini kita pandang sebagai perkalian dari dua fungsi.

76 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)

F ( s ) = F 1 ( s ) F 2 ( s ) dengan F 1 ( s ) = F 2 ( s ) = ( s + a )

→ at f

ax f a ( t ) = ∫ f

1 ( x ) f − − ( − 0 ) 2 ( t − x ) dx = ∫ e e dx 0

t − ax − at + ax

− at = t ∫ e dx = e dx − at = te

b). Fungsi ini juga merupakan perkalian dari dua fungsi.