Rangkaian Orde-2 Yang Memiliki Pole Kompleks Konjugat

7.5. Rangkaian Orde-2 Yang Memiliki Pole Kompleks Konjugat

Rangkaian orde ke-dua yang memiliki pole kompleks konjugat dinyatakan oleh fungsi alih yang berbentuk

T ( s ) = (7.9) ( s + α + j β ) ( s + α − j β )

yang memberikan fungsi gain

Gb.7.10. memperlihatkan diagram pole-zero rangkaian orde-2 dengan fungsi alih yang mengandung pole kompleks konjugat dalam tiga

keadaan yaitu frekuensi ω 1 < ω 2 < ω 3 .

158 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)

Gb.7.10. Diagram pole-zero sistem orde-2 dengan pole kompleks konju-

gat.

Dari Gb.7.10. terlihat bahwa peningkatan ω akan selalu diikuti oleh bertambahnya nilai A 1 ( ω ). Akan tetapi tidak demikian halnya dengan

A 2 ( ω ). Pada awalnya peningkatan ω diikuti oleh turunnya nilai A 2 ( ω ) sampai mencapai nilai minimum yaitu pada saat ω = ω 2 = β seperti pada Gb.7.10.b. Setelah itu A 2 ( ω ) meningkat dengan meningkatnya ω . Hasilnya adalah fungsi gain |T(j ω )| meningkat pada awal peningkatan ω sampai mencapai nilai maksimum dan kemudian menurun lagi. Puncak tanggapan gain disebut resonansi.

Untuk mempelajari tanggapan frekuensi di sekitar frekuensi resonansi, kita tuliskan fungsi alih rangkaian orde-2 dalam bentuk

Ks

T ( s ) = 2 (7.10)

s + bs + c

yang dapat kita tuliskan

Ks

dengan (7.11)

0 2 = c dan ζ =

Bentuk penulisan penyebut seperti pada (7.11) ini disebut bentuk normal.

ζ disebut rasio redaman dan ω 0 adalah frekuensi alami tanpa redaman atau dengan singkat disebut frekuensi alami. Frekuensi alami adalah frekuensi di mana rasio redaman ζ = 0. Fungsi alih (7.11) dapat kita tuliskan

0 / ω ( 2 s 0 )( + 2 ζ / ω 0 ) s + 1

dan dari sini kita peroleh K

0 − ( ω / ω 0 ) + j ( 2 ζω / ω 0 ) + 1

= o 90 tan − θ 1 + − (

Fungsi gain dalam dB adalah

T ( j ω ) dB = 20 log

2 + 20 log ω ω

− 20 log 1 − ω / ω 2 + 2 ζω / ω ( 2 ( 0 ) ) ( 0 )

Rasio redaman akan mempengaruhi perubahan nilai gain oleh pole seperti ditunjukkan oleh komponen ketiga dari fungsi gain ini. Untuk frekuensi rendah komponen ketiga ini mendekati nilai

( 1 − ( ω / ω 0 ) ) + ( 2 ζω / ω 0 ) ≈ − 20 log 1 + 0 = 0 (7.15)

2 2 − 2 20 log

Untuk frekuensi tinggi komponen ketiga mendekati − 2

20 log ( 1 − ( ω / ω 2 0 ) ) + ( 2 ζω / ω 2 0 )

2 ≈ 2 − 20 log( ω / ω

0 ) ( ω / ω 0 )() + 2 ζ ≈ − 20 log( ω / ω 2 0 )

Pendekatan garis lurus untuk menggambarkan tanggapan gain mengambil garis horizontal 0 dB untuk frekuensi rendah dan garis lurus − 2 20log( ω / ω

0 ) untuk frekuensi tinggi yang memberikan kemiringan − 40 dB per dekade. Kedua garis ini berpotongan di ω = ω 0 yang merupakan titik beloknya. Gb.7.11. memperlihatkan pengaruh nilai rasio redaman pada tanggapan gain ini di sekitar titik belok.

160 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)

ω [rad/s] 10000

Gb.7.11. Pengaruh rasio redamaan pada perubahan gain oleh pole. Fungsi fasa adalah

Untuk frekuensi rendah pengurangan fasa oleh pole mendekati nilai

2 ζω / ω − tan

2 ≈ − tan − 1

1 dan untuk frekuensi tinggi mendekati

− tan − 1 (

2 ≈ − tan

Gb.7.12. memperlihatkan pengaruh rasio redaman terhadap perubahan fasa yang disebabkan oleh pole.

10000 100000 ω [rad/s]

Gb.7.12. Pengaruh rasio redaman pada perubahan fasa oleh pole.

CONTOH-7.5: Gambarkan tanggapan gain dan tanggapan fasa untuk fungsi alih berikut ini dan selidiki pengaruh rasio redaman terhadap tanggapan gain.

Kita tuliskan fungsi alih dengan penyebutnya dalam bentuk normal

menjadi T ( s ) = . Dari sini kita peroleh s 2 + 2 × 0 , 25 × 200 s + 200 2

80000 s

ω 0 = 200, dan ζ = 0,25.

s / 200 2 ) + ( 2 ζ / 200 ) s + 1

2 − ( ω / 200 ) + j 2 ζω / 200 + 1 ⇒

T ( j ω ) dB = 20 log 2 + 20 log ω − 20 log ( 1 − ( ω / 200 ) 2 ) + ( 2 ζω / 200 ) 2

Komponen pertama konstan 20log2 = − 6 dB. Komponen kedua memberikan penambahan gain 20 dB per dekade, mulai frekuensi rendah. Pengurangan gain oleh komponen ketiga −

40 dB per

dekade mulai pada ω = ω 0 .

Fungsi fasa adalah : ϕ ( ω ) = 0 o + 90 o − 90 o / dek 20 | < ω < 2000

E 1 0 0 0 rad/s 0 1 1 rad/s 1 0 0 1 +

162 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)

Soal-Soal

1. Tentukanlah tanggapan frekuensi dan tentukan gain tertinggi dan frekuensi cutoff dari rangkaian di bawah ini.

2. Tentukanlah tanggapan frekuensi dan tentukan gain tertinggi dan frekuensi cutoff dari rangkaian di bawah ini.

+ 10k Ω + v in 1 µ F v o

10k Ω − −

3. Tentukanlah tanggapan frekuensi dan tentukan gain tertinggi dan frek- uensi cutoff dari rangkaian-rangkaian di bawah ini.

100k Ω 10k Ω 1 µ F

+ + v in − v o

4. Tentukanlah tanggapan frekuensi dan tentukan gain tertinggi dan frek- uensi cutoff dari hubungan bertingkat dengan tahap pertama rangkaian ke-dua dan tahap kedua rangkaian pertama.

5. Tentukanlah tanggapan frekuensi dan tentukan gain tertinggi dan frek- uensi cutoff dari hubungan bertingkat dengan tahap pertama rangkaian ke-tiga dan tahap ke-dua rangkaian pertama.

6. Tentukanlah tanggapan frekuensi dari suatu rangkaian jika diketahui tanggapannya terhadap sinyal anak tangga adalah sebagai seperti di bawah ini. Tentukan gain tertinggi dan frekuensi cutoff.

e − 5000 a). t ( ) = − u ( t );

b). g

t ( t ) = 5000

7. Ulangi soal 6 jika diketahui :

a). g ( t ) = e − 1000 t − e − 2000 t ( ) u ( t )

b). g ( t ) = e − 1000 t ( sin 2000 t ) u ( t )

8. Tentukanlah tanggapan frekuensi dari suatu rangkaian jika diketahui tanggapannya terhadap sinyal impuls adalah seperti di bawah ini. Tentukan gain tertinggi dan frekuensi cutoff.

h a). t ( t ) = − 1000 e − 1000 u ( t )

b). h ( t ) = δ ( t ) − 2000 e − 1000 u ( t )