Solusi Persamaan Rangkaian Menggunakan Transformasi Laplace

3.5. Solusi Persamaan Rangkaian Menggunakan Transformasi Laplace

Dengan menggunakan transformasi Laplace kita dapat mencari solusi suatu persamaan rangkaian (yang sering berbentuk persamaan diferensial) dengan lebih mudah. Transformasi akan mengubah persamaan diferensial menjadi persamaan aljabar biasa di kawasan s yang dengan mudah dicari solusinya. Dengan mentransformasi balik solusi di kawasan s tersebut, kita akan memperoleh solusi dari persamaan diferensialnya.

CONTOH-3.13: Gunakan transformasi Laplace untuk mencari solusi persamaan berikut.

Transformasi Laplace persamaan diferensial ini adalah s V ( s ) − v ( 0 + ) + 10 V ( s ) = 0 atau

5 s V ( s ) − 5 + 10 V ( s ) = 0 ⇒ V ( s ) = s + 10

10 = t 5 e − Transformasi Laplace dapat kita manfaatkan untuk mencari solusi dari

Transformasi balik memberikan

persamaan diferensial dalam analisis transien. Langkah-langkah yang harus dilakukan adalah :

1. Menentukan persamaan diferensial rangkaian di kawasan waktu.

2. Mentransformasikan persamaan diferensial yang diperoleh pada langkah 1 ke kawasan s dan mencari solusinya.

3. Transformasi balik solusi yang diperoleh pada langkah 2 untuk memperoleh tanggapan rangkaian.

78 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)

CONTOH-3.14: Saklar S pada rangkaian di samping ini ditutup pada t =

0. Tentukan tegangan kapasitor untuk t > 0 jika sesaat sebelum S di- tutup tegangan kapasitor 2 V.

Solusi :

Langkah pertama

100 Ω + adalah

menentukan 0,02F v C

12 V −

− persamaan

rangkaian untuk t > 0. Aplikasi HTK memberikan

− dv

6 + 100 i + v

C = 0 atau − 6 + 2 + v C = 0 . dt

Langkah kedua adalah mentransformasikan persamaan ini ke kawa- san s, menjadi

2 s V C ( s ) − v C ( 0 ) + V C ( s ) = 0 atau s

s Pemecahan persamaan ini dapat diperoleh dengan mudah.

= 6 dan k 2 =

Langkah terakhir adalah mentransformasi balik V C (s) :

v C ( t ) = 6 − 5 e − 0t , 5 V

CONTOH-3.15: Pada rangkaian di samping ini, saklar S dipindahkan dari posisi 1 ke 2 pada t = 0. Tentukan i(t) untuk t > 0, jika sesaat sebelum saklar dipindah tegangan kapasitor 4 V dan arus induktor 2

2 1H lain

− 6V 1/13 F v C −

Solusi :

Aplikasi HTK pada rangkaian ini setelah saklar ada di posisi 2 ( t > 0 ) memberikan

di

dt C ∫ idt + v

C ( 0 ) = 0 atau

Transformasi Laplace dari persamaan rangkaian ini menghasilkan

− 6 I ( s ) 4 + 6 I ( s ) + s I ( s ) − i ( 0 ) + 13 + = 0 atau

6 I ( s ) + s I ( s ) − 2 + 13 + = 0 s

s Pemecahan persamaan ini adalah :

s 2 + 6 s + 13

( s + 3 − j 2 )( s + 3 + j 2 ) s + 3 − j 2 s + 3 + j 2

80 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)

1 = = 1 + j 1 = 2 e 45 → k ∗ 1 = 2 e − 45

2 j 45 2 e − 45 o

Transformasi balik dari I(s) memberikan )

45 ⇒ o i t j ( = 2 e e − ( 3 − j 2 ) t

j + t 2 e − 45 e − ( 3 + 2 )

= t 2 e − 3 (cos 2 t − sin 2 t ) A

Soal-Soal

1. Carilah pernyataannya di kawasan s sinyal-sinyal berikut ini.

2. Carilah pernyataannya di kawasan s sinyal-sinyal berikut ini.

v 1 ( t ) = 15 [sin( 20 t

− o 30 )] u ( t );

v 2 ( t ) = 15 [cos 20 t − sin 20 t ] u ( t )

v 3 ( t ) = 15 [cos 20 t − cos 10 t ] u ( t ); v 4 ( t ) = 15 [ 1 − 2 sin 10 t ] u ( t )

3. Carilah pernyataannya di kawasan s sinyal-sinyal berikut ini. v t

1 ( ) = 20 [ e − 2 sin( 20 t − 30 o )] u ( t );

v ( t ) = 20 [ e − 2 2 t (cos 20 t − sin 20 t )] u ( t )

= 2 20 [ e (cos 20 t − cos 10 t )] u ( t );

4 ( t ) = 20 [ e − 2 ( 1 − 2 sin 10 t )] u ( t )

4. Carilah pernyataannya di kawasan s sinyal-sinyal berikut ini.

v 1 ( t ) 15 [cos = 2 10 t )] u ( t );

v 2 ( t ) = 15 [(cos 20 t )(sin 20 t )] u ( t )

v ( t ) 20 te − 2 3 t = u ( t );

4 ( t ) = 20 [ e − 2 sin 10 t ] u ( t )

82 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)

5. Berikut ini adalah pernyataan sinyal di kawasan s. Carilah pern- yataannya di kawasan waktu t.

6. Carilah pernyataan di kawasan waktu dari sinyal yang dinyatakan di kawasan s berikut ini.

7. Berikut ini adalah pernyataan sinyal di kawasan s; carilah pern- yataannya di kawasan waktu.

8. Berikut ini adalah pernyataan sinyal di kawasan s; carilah pern- yataannya di kawasan waktu.

9. Carilah pernyataannya di kawasan waktu sinyal-sinyal berikut ini.

10. Carilah pernyataannya di kawasan waktu sinyal-sinyal berikut ini.

84 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (2)