24
Implikasi
p ⟹ q
akan bernilai salah apabila pernyataan
p
bernilai benar dan
q
bernilai salah. Implikasi yang selalu bernilai benar disebut tautologi. Implikasi yang selalu bernilai salah disebut kontradiksi
2. Biimplikasi
Biimplikasi adalah pernyataan majemuk yang dirangkai dengan kata hubung “jika dan hanya jika”. Biimplikasi merupakan implikasi dua
arah atau ekuivalen dari dua pernyataan dari
p
dan
q
. Biimplikasi dilambangkan dengan p ⟺ q atau p⟹ q ∧q ⇒ p . Biimplikasi
p ⟺ q
bernilai benar jika kedua pernyataan
p
dan
q
mempunyai nilai kebenaran yang sama.
48
Tabel kebenaran biimplikasi
49
p q
p ⟺ q
B B
S S
B S
B S
B S
S B
D. NEGASI ATAU INGKARAN PERNYATAAN MAJEMUK
1. Ingkaran dari konjungsi
p ∧ q
ingkarannya p
∧ q= p ∨ q 2. Ingkaran dari disjungsi
p ∨ q ingkarannya
p ∨ q
= p
∧ q
48 Tim Redaksi, Matematika Untuk Menengah Atas..., hal. 8 49 Sunarndi, et. all., Matematika Kelas..., hal. 141
25
3. Ingkaran dari implikasi p
⟹ q ingkarannya
p ⟹ q
= p
∧ q
4. Ingkaran dari biimplikasi
p ⟺ q
ingkarannya p
⟺q = p ∧ q p ∧ q Dari materi diatas dapat dibuat soal yang termasuk tingkat pemahaman
terjemahan yaitu siswa merubah dari kalimat kedalam kalimatnya sendiri, contoh soalnya seperti:
1. Tentukan negasi dari pernyataan “segitaga adalah bangun datar dan kubus adalah bangun ruang”
Jawab: Negasinya “segitiga bukan bangun datar atau kubus bukan bangun ruang”
Dari materi diatas juga dapat dibuat soal yang termasuk tingkat pemahaman penafsiran, dimana siswa dapat menghubungkan yang telah
diketahui pada tingkat pemahaman terjemahan, contoh soalnya seperti: 1. Buatlah tabel kebenaran dari pernyataan
p ∧ p ∨q
Jawab: Pertama siswa membuat tabel, setelah itu siswa diharapkan mampu
menghubungkan antara p dan q dengan menggunakan relasi, seperti tabel dibawah ini
p q
p p
∨ q p
∧ p ∨q
B B
S S
B S
B S
S S
B B
B S
B B
B S
S S
26
Dari tabel diatas siswa dapat mengetahui nilai kebenarannya yaitu BSSS dengan cara menghubungkan
p dan q
dengan menggunakan relasi
E. KONVERS, INVERS, DAN KONTRADIKSI
Suatu implikasi
p ⟹ q
dapat dibentuk menjadi implikasi-implikasi yang lain:
Konvers :
q ⟹ p
Invers :
p ⟹ q
Kontraposisi :
q ⟹ p
F. PENARIKAN KESIMPULAN ARGUMENTASI YANG SAH
Ada 3 penarikan kesimpulan, yaitu: 1. Modus Ponen
Penarikan kesimpulan yang didasarkan pada modus ponens atau menggunakan prinsip inferensi, dinyatakan sebagai berikut.
Jika
p ⟹ q
benar dan
p
benar, maka dapat disimpulkan
q
juga benar
Bentuk umum : Premis 1
:
p ⟹ q
Premis 2 :
p
___________________________ Konklusi
:
q
Modus ponens nilai kebenarannya ditunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa p
⟹q ∧ p⟹ q adalah suatu tautologi. Tabel Kebenaran Modus Ponens
50
p q p
q p
⟹ q p
⟹ q ∧ q p
⟹ q∧q⟹ p B
B S
S B
S B
S S
S B
B S
B S
B B
S B
B S
S S
B B
B B
B
50 Sunarndi, et. all., Matematika Kelas..., hal. 150
27
2. Modus Tollens Suatu argumentasi yang menggunakan modus tollens dapat dinyatakan
sebagai berikut jika
p ⟹ q
benar dan
q
benar, maka dapat disimpulkan
p
juga benar. Bentuk umum
Premis 1 :
p ⟹ q
Premis 2 :
q
__________________________ Konklusi
:
p
Modus tollens nilai kebenarannya dapat ditunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa p
⟹ q∧q⟹ p dan menunjukkan suatu tautologi.
Tabel KebenaranModus Tollens
51
p q p
q p
⟹ q p
⟹ q ∧ q p
⟹ q∧q⟹ p B
B S
S B
S B
S S
S B
B S
B S
B B
S B
B S
S S
B B
B B
B
3. Silogisme Silogisme pada hakikatnya adalah sifat transitif dari suatu implikasi, yaitu
suatu argumentasi yang dapat dinyatakan dalam bentuk berikut. Jika p⟹ q benar dan q ⟹ r benar, maka dapat disimpulkan
p ⟹ r juga benar.
Bentuk umum Premis 1
: p⟹ q B Premis 2
: q ⟹ r B ___________________________
Konklusi : p⟹ r B
51 Ibid..., hal. 151
28
Silogisme nilai kebenarannya dapat ditunjukkan dengan tabel kebenaran
bahwa p ⟹q ∧q ⟹ r ⟹ p ⟹ r ¿
dan menunjukkan suatu tautologi.
Tabel Kebenaran Silogosme
52
p q r p
⟹ q q
⟹ r p⟹ r p
⟹ q ∧q ⟹ r
p ⟹q ∧q ⟹ r⟹ p ⟹ r
¿ B
B B
B
S S
S S
B B
S S
B B
S S
B S
B S
B S
B S
B B
S S
B B
S S
B S
B B
B S
B B
B S
B S
B B
B B
B S
B S
B S
B B
B B
B B
B B
B B
Dari materi logika matematika, penarikan kesimpulan suatu argumen yang kita lihat diatas, kita dapat membuat soal yang berkaitan dengan tingkat
pemahaman ekstrapolasi, yaitu soal sifatnya mengetahui dan tidak hanya mengingat, tetapi mampu mengungkapkan kembali ke dalam bentuk lainnya
yang mudah dimengerti, memberi interpretasi, serta mengaplikasikannya dalam tabel untuk mencari suatu keabsahan suatu argumen, penarikan kesimpulan,
mencari invers, konvers, dan kontraposisinya. Contoh soal yang bisa dikaitkan dalam tingkat pemahama ekstrapolasi
1. Tentukan kontraposisi dari konvers
p ⟹ p ∧ q
Jawab: p
⟹ p ∧ q Konvers
:
p ∧q⟹ p
Kontraposisi : p
∨ q⟹ p
52 Ibid..., hal. 152
29
Dari soal diatas siswa bisa meramalkan jawaban tanpa harus mencari konversnya, tapi jika siswa tidak mencari konversnya terlebih dahulu
mungkin siswa akan merasa kesulitan. 2. Dengan menggunakan tabel kebenaran, kajilah sah tidaknya argumentasi
p ∨ q
p
¿ ¿
¿ ¿
¿
q
Jawab: Siswa bisa meramalkan jawaban diatas sah, tetapi jawaban itu belum pasti
benar karena kita belum membuktikannya, untuk itu kita membuktikan jawaban soal tersebut. Untuk membuktikan jawaban soal diatas siswa bisa
menggunakan tabel:
p q
p p
∨ q p
∨ q ∧ p
p ⟹ q
∧ p ⟹ q
B B
S S
B S
B S
S S
B B
B B
B
S S
S B
S B
B B
B
Jadi pernyataan diatas sah sesuai dengan ramalan siswa. Soal ini tergolong tingkat pemahaman ekstrapolasi karena siswa bisa meramalkan
jawaban tersebut.
BAB III METODE PENELITIAN
A. Pendekatan dan Jenis Penelitian
