bentuk berikut Φ
x, y, z, t = Ψr exp −iωt
• Subtitusi solusi ini kepersamaan Schroedinger di atas, kemudian membagi kedua sisi dgn
Ψr exp −iωt,maka
kita peroleh Persamaan Schroedinger Time-independen
· −
~
2
∇
2
2 m
+ Ur
¸ Ψr =
EΨr dimana
E = ~ω • Fungsi gelombang time-independent Ψr dan tu-
runannya terhadap posisi harus kontinyu
1.2.7 Sumur Potensial 1 dimensi
• Ψ = A sinkx, dimana k = 2m
e
E
12
~ • Ψ = 0 untuk x = 0 dan x = a memenuhi syarat
sin ka = 0, sehingga
ka = πn dengan demikian
E = E
n
= π
2
~
2
n
2
2 m
e
a
2
dimana n = 1,2,3, ....
→ bilangan kuantum • Konsanta normalisasi A dapat diperoleh dari kondisi
berikut
∞
Z
−∞
|Ψx|
2
dx =
a
Z ¯
¯ ¯A sin
πn a
x ¯
¯ ¯
2
dx = 1
Kondisi ini berarti bhw partikel terlokalisasi di dalam sumu potensial, sedemikian sehingga kemungkinan
untuk mendapatkan partikel di dalam sumur poten- sial sama dengan 1. Sehingga diperoleh
Ψ
n
x = 2
a
12
sin πn
a x
• Catatan: – jumlah titik dimana fungsi gelombang adalah nol =
n − 1. Titik ini biasa disebut NODES.
– Energi partikel dalam sumur potensial hanya da- pat memiliki nilai diskrit Terkuantisasi
→ biasa disebut tingkat-2 energi Energi levels
Tingkat-2 energi dan fungsi-2 gelombang untuk sumur potensial tak terhingga. Tingkat-2 energi ini dihi-
tung untuk
m = 9, 11 × 10
−31
kg dan a = 100 Å
– Contoh: Pandang elektron dalam keadaan energi dasar se-
buah sumur potensial. Cari kebergantungan ke- mungkinan untuk mendapatkan sebuah elektron
antara 0 dan
x sebagai fungsi dari x – Jawab:
Fungsi gelombang keadaan dasar n = 1
Ψ x =
2 a
12
sin π
a x
sehingga rapat kemungkinan dP x
dx =
|Ψx|
2
= 2
a sin
2
π a
x dan kemungkinan,
P , untuk mendapatkan sebuah elektron dalam sumur potensial tak terhingga dalam
keadaan dasar antara 0 sampai x :
P x = 2
a
X
Z sin
2
π a
xdx = X
a −
sin2 πXa
2 π
Untuk X = a, P X = 1 seperti yang diharapkan
elektron disuatu lokasi di dalam sumur potensial
Sumur Kuantum, quantum wire, dan quantum box
1.2.8 Atom Hidrogen
• Inti atom 1800 kali massa elektron • Ukuran inti
≈ 10
−13
cm lebih kecil dari ukuran atom orde 1Å
• Elektron bermuatan negatif ditarik oleh inti yang bermu- atan positif, dan interaksinya digambarkan melalu
hukum Coulomb
• Coulomb Potensial:
– Coulomb potensial membentuk sebuah sumur poten- sial dalam ruang tiga dimensi dan tingkat energi
dari elektron dalam atom hidrogen terkuantisasi
• Keadaan Energi dalam atom Hidrogen:
– E
n
= −
E
B
n
2
dimana n = 1, 2, 3, ....
→ bil. kuantum utama –
E
B
= q
2
8 πε
a
B
disebut energi Bohr
E
B
= 13 , 6 eV dan
– a
B
= 4
πε ~
2
m
e
q
2
disebut jari-jari Bohr a
B
= 0 , 52917 Å
• Potensial Coulomb Keadaan Energi:
– Contoh: Foton dgn energi ~
ω
ik
= E
i
− E
k
diabsorbsi oleh gas hidrogen karena mereka menyebabkan tran-
sisi elektron antara tingkat E
k
dan E
i
. Hitung pan- jang gelombang radiasi yang terabsorbsi akibat transisi-
2 antara keadaan kedua dan ketiga
– Jawab: ~
ω
32
= E
3
− E
2
= E
B
1 2
2
− 13
2
= 1 , 89 eV
ω
32
= 2 , 87 × 10
15
s
−1
λ = 2πcω
32
= 0 , 657 µm
1.2.9 Fungsi Gelombang Bil. Kuantum
