Evaluasi vektor A
3.1. Evaluasi vektor A
Sekarang perhatikan persamaan integral tak linier (125a). Persamaan tersebut
() j
kalau dikalikan suatu vektor A ,
2 A ()
jj
S = () 3/2 W 1 W 1 ,
dan diintegrasi atas ruang kecepatan v 1 menghasilkan persamaan berikut,
2 nI i ()
1 = WK 1 i S 3/ 2 W 1 d v 1 .
Dengan mendefinisikan kurung siku fungsi F dan G dari 13 W
1 +−− G 2 G 1 G ( g 2 ) 12 σ () ΩΩ ddd v 2 v 1 ,
maka ruas kiri (159) bisa ditulis dalam notasi kurung siku tersebut,
2 j n A ()
I A d v n ⎡ A i () () 1 , A ⎤ .
Pensubstitusian (157a), dengan memperhatikan hanya pada a 1 sebagai koefisien pertama tak nol dan memperhatikan sifat keortogonalan polinom Sonine,
A ⎤ naS () 1 2 1 2 n ⎡ A , = 1 ⎡ 3/ 2 () W 1 W 1 , S () 3/ 2 () W 1 W 1 . (162)
Hasil berikut diperoleh dari literatur, 12
S () 3/2 W 1 W
Hasil ini kalau disubstitusikan ke ruas kiri persamaan (159) maka persamaan menjadi
WK () 1 2 4 n Ω a 1 = 1 i S 3/ 2 W 1 d ∫ v () 1 .
(164) Dalam hal ini
() Ω 2,2 merupakan elemen integral tumbukan,
() 2,2 ⎛ 4 kt ⎞
2 ey q + Ω 3 = ⎜ ⎟ ( −
1 cos θ ) bdbdy . (165)
Bagi tumbukan dua bola keras, 12
2 2 π kT ⎞ Ω = σ⎛ ⎜
dengan σ adalah diameter molekul.
Substitusi persamaan (125a) ke ruas kanan persamaan (164) menghasilkan persamaan
⎟ ( 1 + () nB ) ⎜ − ∫ W ⎟ f 1 1
− α ) g 12 i ⎢ 3 − ⎜ G g + ⎞ ⎟ ⎥ r f ()
1 () v 1 f 1 () v 2 dd rv 2
∂ r ⎣ kT ⎝
2 kT ∫
1 g () 0 () 0 ⎫ ()
12 i () Ggr i f 1 () v 1 f 1 () v 2 dd rv 2 ⎬ S 3/ 2 W 1 d v 1 .
Lebih lanjut persamaan dievaluasi persuku integral. Berikut adalah hasil evaluasi suku integral pertama,
⎛ 2 2 kT ⎞ ⎛ 5 mV
1 + nB
⎟ f 1 WW 1 i 1 S 3/ 2 W 1 d v 1
⎝ 2 2 kT 1/ 2 ⎠
15 ⎛ 2 kT ⎞ =− n ⎜
⎟ ( 1 + 4 nB ) .
Suku kedua di ruas kanan persamaan (167) dievaluasi dengan menggunakan hubungan fungsi distribusi terkorelasi dengan fungsi distribusi yang menggambarkan keadaan partikel-partikel bebas,
0 f () 0 v f ()
v − e ϕ 12 () 0 0
1 () 1 1 () 2 = f 1 v () () 1 f 1 () v 2 . (169)
Suku kedua tersebut kemudian dapat dipecah menjadi dua suku integral,
1 () v 1 f 1 () v rv () 2 dd 2 S 3/ 2 W d () v 1 } 1
=− W 1 i ⎨
∫ ⎩ 2 kT ∫ ⎣ kT
4 ⎝ ) ⎠ ⎦ ∂ r (170)
⎟ ( ⎢ 1 ⎥ − α g 12 i r
e − ϕ 12 () 0 0 () 1 × 2
f 1 () () v 1 f 1 () v 2 dd rv 2 S 3/ 2 W () 1 d v } 1
2 ∫ ⎢ − kT ⎜
1 () v 2 dd rv 2 S 3/ 2 W d } v () 1 1
e − ϕ 12 () 0 0 1 × 2
f 1 () v 1 f ()
Suku integral pertama ruas kanan persamaan (170) dievaluasi dengan menggunakan definisi koefisien virial kedua (84) dan hubungan-hubungan
berikut, 12,13
2 d r = rdd k r (171)
4 kk k d = π U . (172)
3 Setelah dilakukan pengintegralan terhadap seluruah ruang r , hasil evaluasi adalah sebagai berikut
kT ∫ kT
⎟ 1 − ∫ α 2 4 ⎥ ( ) g 12 i r
e − ϕ 12 f () 0 () 0 () 1 × 2 1 () v 1 f 1 () v 2 dd rv 2 S 3/ 2 W 1 d v 1 } (173) ()
() 1 = 2 Bf
1 () v 1 f 1 ( )( v 2 1 − α ) 3 ⎢ − ⎜ G + g ⎟ Wg ⎥ 1 i 12 S 3/ 2 W () 1 dd v 2 v 1 ∫ .
() 0 () 0 ⎡ m ⎛ 2 1 2 ⎞ ⎤
⎣ kT ⎝
Dengan menggunakan hukum kekalan energi,
mg = mg 12 + ϕ 12 ,
4 4 definisi W 1 seperti pada ungkapan (115), hubungan kecepatan pusat massa
beserta kecepatan relatif terhadap kecepatan termal,
g 12 = V 2 − V 1 ,
dan definisi S 3/ 2 W
pada ungkapan (128a) maka hasil persamaan (174) dapat
ditulis dalam ungkapan lebih panjang,
− α ) ⎢ 3 − ⎜ G + g ⎟ ⎥ W 1 i g 12 S 3/ 2 () W 1 dd v 2 v ∫ 1
() 0 () 0 ⎡ m 2 1 2 ⎤
1 Bf 2
1 () v 1 f 1 ( )( v
⎣ kT ⎝
2 2 m 3 − mG +
4 1 ⎛ 2 ⎞ − ( g 12 ) / kT
⎟ π Be ( 1 − α ) ⎨ − g 12 + Gg 12 +
⎧ 15 2 7 m 2 2 m 4
g 12
⎝ 2 kT ⎠
⎩ 4 2 kT
2 kT
⎛ Gg m Gg ⎞
4 ⎜ kT ⎟
g 12 +
g 12
⎝ kT
64 ⎝ kT ⎠
4 kT
3 m ϕ 12 2 2 1 m ϕ 12 4
Gg − ⎫ 12 − g 12 ⎬ dd Gg 12
4 kT kT
16 kT kT ⎭
dengan Jacobian perubahan ruang kecepatan sama dengan satu 39 sehingga
dd v 2 v 1 = dd Gg 12 .
Evaluasi persamaan (176) memerlukan pengetahuan tentang kebolehjadian reaksi α 25 . Dalam evaluasi digunakan bentuk α yang dikembangkan R.D. Present bagi
tumbukan bola keras, α =
0 ; bila < * εε
=− 1 ; bila εε > *,
ε dengan ε merupakan energi kinetik awal gerak relatif,
ε = µ g 12 = mg 12 ,
2 4 Dalam persamaan ini, µ merupakan massa tereduksi yang bagi partikel-partikel
sejenis µ = m 2 , ε * merupakan energi pengaktifan atau energi minimum tumbukan agar menghasilkan reaksi kimia. Berdasarkan penggunaan (177) maka
berikut adalah hasil evaluasi persamaan (176),
1 Bf 2
1 () v 1 f 1 ( )( v 2 1 − ∫ α ) ⎢ 3 − ()
kT ⎜ G + g ⎟ ⎥ W
1 i g 12 S 3/ 2 W () 1 d v 2 d v 1
⎛ 2 kT ⎞⎛ 7 1 dB ⎞ 2 ε *
Evaluasi suku integral kedua ruas kanan persamaan (170) dilakukan dengan menggunakan definisi koefisien virial kedua dari persamaan (84). Persamaan tersebut (170) lalu bisa ditulis sebagai berikut,
3 − ⎜ G + g ⎞ 1 − α g 12 ∫ ⎩ 2 ∫
⎢ kT
f 1 () v 1 f 1 () v 2 dd rv 2 S } 3/ 2 () W 1 d v 1
e − ϕ 12 () 0 () 0 () 1 × 2
() 1 =− 2 Bf
() 0 () 0 ⎡ m ⎛ 2 1 2 ⎞ ⎤
v 1 f 1 ( )( v 2 1 − α ) 3 − ⎜ G + g Wg 1 i
⎢ vv 12 S 3/ 2 W 1 dd 2 1
⎣ kT ⎝
1 () 0 () 0 ⎡ m
2 ∫ () ( )( ) ⎢ kT ⎜ 4 ⎟ ⎥
G + g Wg 1 i 12 S 3/ 2 W 1 ddd rvv 2 1 .
(180) Seperti pada persamaan (179), suku pertama ruas kanan persamaan (180) ini
menghasilkan
1 f 1 ( )( v 2 1 − α ) ⎢ 3 − ⎜ G + g ⎟ ⎥ W 1 i g 12 S 3/ 2 W 1 d v 2 d () v ∫ 1
1 () v
⎛ 2 kT ⎞⎛ 7 1 dB ⎞ 2 ε *
= ⎜ ⎟⎜ B + T
2 dT ⎠⎝ ⎟ 2 ⎠ kT
Sedangkan suku kedua persamaan (180) menghasilkan
f () 0 v f () 0 ⎡
1 () 1 1 ( )( v 2 1 − α ) 3 − ⎛ ⎜ G + g ⎞
⎟ W 1 i g 12 S 3/ 2 W ddd ⎥ v () 1 rv 2 1
Hasil ini diperoleh kalau evaluasi dilakukan pada titik σ = r dimana untuk model
tumbukan bola keras ϕ 12 = 0
Berdasarkan persamaan (179), (181) dan (182) maka hasil evaluasi suku kedua persamaan (167) menjadi
W 1 ⋅ ⎨ ( 1 − α ) g 12 ⋅ 3 − ⎜ G + g ∫ ⎞ ⎟ r ⎩ 2 ∫
⎣ kT ⎝
() 0 () 0 () 1 2 × f
1 () v 1 f 1 () v 2 dd rv 2 S 3/ 2 W d () v 1 1 } (183)
⎛ 1/ 2 2 kT ⎞
kT
Evaluasi suku ketiga di ruas kanan persamaan (167) memerlukan pengetahuan mekanika dari model tumbukan bola keras seperti dibahas oleh R.F. Snider dan
C.F. Curtiss. 13,14 Melalui model tersebut ditunjukkan bahwa r = R κ R + g s 0 .
(184) R merupakan jangkauan antaraksi antarpartikel, κ R merupakan vektor satuan ke arah R , dan s 0 merupakan waktu dari awal lintasan atau konfigurasi awal ke r dan g 12 .
Dalam batas R ≥ σ atau secara aman dipakai R = σ , harga β R sebagai sudut β yang dibentuk oleh partikel datang dan yang dihamburkan pada saat = ς R Dalam batas R ≥ σ atau secara aman dipakai R = σ , harga β R sebagai sudut β yang dibentuk oleh partikel datang dan yang dihamburkan pada saat = ς R
Disini θ mewakili sudut β pada saat = . Dengan demikian dari persamaan ς r (184) maka r dapat dievaluasi pada = , yaitu σ r
r = r . (186)
Pada titik ini kecepatan relatif sesaat sebelum tumbukan g sama dengan kecepatan relatif awal g 12 ,
g = g 12 , (187) karena harga ϕ 12 =. 0
Berdasarkan bahasan mekanika di atas, hasil evaluasi terhadap suku integral ketiga di ruas kanan persamaan (167) dapat ditentukan,
1 () v 1 1 () v 2 dd rv 2 ⎬ S ∫ 3/ 2
2 kT ∫
( 1 − α ) g 12 i () Ggr f ()
f ()
() W 1 d v 1
3 = −⎜ . ⎟ πσ ⎝ m ⎠
kT
Substitusi hasil (168), (183) dan (188) ke ruas kanan persamaan (167)
menghasilkan ungkapan bagi a 1 ,
1 1/ 2 ⎛ 2 kT ⎞⎛ 15 15
a ⎟⎜
B + 5 n πσ
4 n Ω ⎝ m ⎠⎝ 4 4 k T ⎟⎠
Vektor A kemudian bisa ditulis dalam bentuk sebagai berikut,
1 1/ 2 kT
A ⎛ 2 ⎞⎛ 15 15
⎟⎜ + nB + 5 n πσ
S 3/ 2 W 1 W 1 . (190)
4 n Ω ⎝ m ⎠⎝ 4 4 kT