Evaluasi vektor A

3.1. Evaluasi vektor A

Sekarang perhatikan persamaan integral tak linier (125a). Persamaan tersebut

() j

kalau dikalikan suatu vektor A ,

2 A ()

jj

S = () 3/2 W 1 W 1 ,

dan diintegrasi atas ruang kecepatan v 1 menghasilkan persamaan berikut,

2 nI i ()

1 = WK 1 i S 3/ 2 W 1 d v 1 .

Dengan mendefinisikan kurung siku fungsi F dan G dari 13 W

1 +−− G 2 G 1 G ( g 2 ) 12 σ () ΩΩ ddd v 2 v 1 ,

maka ruas kiri (159) bisa ditulis dalam notasi kurung siku tersebut,

2 j n A ()

I A d v n ⎡ A i () () 1 , A ⎤ .

Pensubstitusian (157a), dengan memperhatikan hanya pada a 1 sebagai koefisien pertama tak nol dan memperhatikan sifat keortogonalan polinom Sonine,

A ⎤ naS () 1 2 1 2 n ⎡ A , = 1 ⎡ 3/ 2 () W 1 W 1 , S () 3/ 2 () W 1 W 1 . (162)

Hasil berikut diperoleh dari literatur, 12

S () 3/2 W 1 W

Hasil ini kalau disubstitusikan ke ruas kiri persamaan (159) maka persamaan menjadi

WK () 1 2 4 n Ω a 1 = 1 i S 3/ 2 W 1 d ∫ v () 1 .

(164) Dalam hal ini

() Ω 2,2 merupakan elemen integral tumbukan,

() 2,2 ⎛ 4 kt ⎞

2 ey q + Ω 3 = ⎜ ⎟ ( −

1 cos θ ) bdbdy . (165)

Bagi tumbukan dua bola keras, 12

2 2 π kT ⎞ Ω = σ⎛ ⎜

dengan σ adalah diameter molekul.

Substitusi persamaan (125a) ke ruas kanan persamaan (164) menghasilkan persamaan

⎟ ( 1 + () nB ) ⎜ − ∫ W ⎟ f 1 1

− α ) g 12 i ⎢ 3 − ⎜ G g + ⎞ ⎟ ⎥ r f ()

1 () v 1 f 1 () v 2 dd rv 2

∂ r ⎣ kT ⎝

2 kT ∫

1 g () 0 () 0 ⎫ ()

12 i () Ggr i f 1 () v 1 f 1 () v 2 dd rv 2 ⎬ S 3/ 2 W 1 d v 1 .

Lebih lanjut persamaan dievaluasi persuku integral. Berikut adalah hasil evaluasi suku integral pertama,

⎛ 2 2 kT ⎞ ⎛ 5 mV

1 + nB

⎟ f 1 WW 1 i 1 S 3/ 2 W 1 d v 1

⎝ 2 2 kT 1/ 2 ⎠

15 ⎛ 2 kT ⎞ =− n ⎜

⎟ ( 1 + 4 nB ) .

Suku kedua di ruas kanan persamaan (167) dievaluasi dengan menggunakan hubungan fungsi distribusi terkorelasi dengan fungsi distribusi yang menggambarkan keadaan partikel-partikel bebas,

0 f () 0 v f ()

v − e ϕ 12 () 0 0

1 () 1 1 () 2 = f 1 v () () 1 f 1 () v 2 . (169)

Suku kedua tersebut kemudian dapat dipecah menjadi dua suku integral,

1 () v 1 f 1 () v rv () 2 dd 2 S 3/ 2 W d () v 1 } 1

=− W 1 i ⎨

∫ ⎩ 2 kT ∫ ⎣ kT

4 ⎝ ) ⎠ ⎦ ∂ r (170)

⎟ ( ⎢ 1 ⎥ − α g 12 i r

e − ϕ 12 () 0 0 () 1 × 2

f 1 () () v 1 f 1 () v 2 dd rv 2 S 3/ 2 W () 1 d v } 1

2 ∫ ⎢ − kT ⎜

1 () v 2 dd rv 2 S 3/ 2 W d } v () 1 1

e − ϕ 12 () 0 0 1 × 2

f 1 () v 1 f ()

Suku integral pertama ruas kanan persamaan (170) dievaluasi dengan menggunakan definisi koefisien virial kedua (84) dan hubungan-hubungan

berikut, 12,13

2 d r = rdd k r (171)

4 kk k d = π U . (172)

3 Setelah dilakukan pengintegralan terhadap seluruah ruang r , hasil evaluasi adalah sebagai berikut

kT ∫ kT

⎟ 1 − ∫ α 2 4 ⎥ ( ) g 12 i r

e − ϕ 12 f () 0 () 0 () 1 × 2 1 () v 1 f 1 () v 2 dd rv 2 S 3/ 2 W 1 d v 1 } (173) ()

() 1 = 2 Bf

1 () v 1 f 1 ( )( v 2 1 − α ) 3 ⎢ − ⎜ G + g ⎟ Wg ⎥ 1 i 12 S 3/ 2 W () 1 dd v 2 v 1 ∫ .

() 0 () 0 ⎡ m ⎛ 2 1 2 ⎞ ⎤

⎣ kT ⎝

Dengan menggunakan hukum kekalan energi,

mg = mg 12 + ϕ 12 ,

4 4 definisi W 1 seperti pada ungkapan (115), hubungan kecepatan pusat massa

beserta kecepatan relatif terhadap kecepatan termal,

g 12 = V 2 − V 1 ,

dan definisi S 3/ 2 W

pada ungkapan (128a) maka hasil persamaan (174) dapat

ditulis dalam ungkapan lebih panjang,

− α ) ⎢ 3 − ⎜ G + g ⎟ ⎥ W 1 i g 12 S 3/ 2 () W 1 dd v 2 v ∫ 1

() 0 () 0 ⎡ m 2 1 2 ⎤

1 Bf 2

1 () v 1 f 1 ( )( v

⎣ kT ⎝

2 2 m 3 − mG +

4 1 ⎛ 2 ⎞ − ( g 12 ) / kT

⎟ π Be ( 1 − α ) ⎨ − g 12 + Gg 12 +

⎧ 15 2 7 m 2 2 m 4

g 12

⎝ 2 kT ⎠

⎩ 4 2 kT

2 kT

⎛ Gg m Gg ⎞

4 ⎜ kT ⎟

g 12 +

g 12

⎝ kT

64 ⎝ kT ⎠

4 kT

3 m ϕ 12 2 2 1 m ϕ 12 4

Gg − ⎫ 12 − g 12 ⎬ dd Gg 12

4 kT kT

16 kT kT ⎭

dengan Jacobian perubahan ruang kecepatan sama dengan satu 39 sehingga

dd v 2 v 1 = dd Gg 12 .

Evaluasi persamaan (176) memerlukan pengetahuan tentang kebolehjadian reaksi α 25 . Dalam evaluasi digunakan bentuk α yang dikembangkan R.D. Present bagi

tumbukan bola keras, α =

0 ; bila < * εε

=− 1 ; bila εε > *,

ε dengan ε merupakan energi kinetik awal gerak relatif,

ε = µ g 12 = mg 12 ,

2 4 Dalam persamaan ini, µ merupakan massa tereduksi yang bagi partikel-partikel

sejenis µ = m 2 , ε * merupakan energi pengaktifan atau energi minimum tumbukan agar menghasilkan reaksi kimia. Berdasarkan penggunaan (177) maka

berikut adalah hasil evaluasi persamaan (176),

1 Bf 2

1 () v 1 f 1 ( )( v 2 1 − ∫ α ) ⎢ 3 − ()

kT ⎜ G + g ⎟ ⎥ W

1 i g 12 S 3/ 2 W () 1 d v 2 d v 1

⎛ 2 kT ⎞⎛ 7 1 dB ⎞ 2 ε *

Evaluasi suku integral kedua ruas kanan persamaan (170) dilakukan dengan menggunakan definisi koefisien virial kedua dari persamaan (84). Persamaan tersebut (170) lalu bisa ditulis sebagai berikut,

3 − ⎜ G + g ⎞ 1 − α g 12 ∫ ⎩ 2 ∫

⎢ kT

f 1 () v 1 f 1 () v 2 dd rv 2 S } 3/ 2 () W 1 d v 1

e − ϕ 12 () 0 () 0 () 1 × 2

() 1 =− 2 Bf

() 0 () 0 ⎡ m ⎛ 2 1 2 ⎞ ⎤

v 1 f 1 ( )( v 2 1 − α ) 3 − ⎜ G + g Wg 1 i

⎢ vv 12 S 3/ 2 W 1 dd 2 1

⎣ kT ⎝

1 () 0 () 0 ⎡ m

2 ∫ () ( )( ) ⎢ kT ⎜ 4 ⎟ ⎥

G + g Wg 1 i 12 S 3/ 2 W 1 ddd rvv 2 1 .

(180) Seperti pada persamaan (179), suku pertama ruas kanan persamaan (180) ini

menghasilkan

1 f 1 ( )( v 2 1 − α ) ⎢ 3 − ⎜ G + g ⎟ ⎥ W 1 i g 12 S 3/ 2 W 1 d v 2 d () v ∫ 1

1 () v

⎛ 2 kT ⎞⎛ 7 1 dB ⎞ 2 ε *

= ⎜ ⎟⎜ B + T

2 dT ⎠⎝ ⎟ 2 ⎠ kT

Sedangkan suku kedua persamaan (180) menghasilkan

f () 0 v f () 0 ⎡

1 () 1 1 ( )( v 2 1 − α ) 3 − ⎛ ⎜ G + g ⎞

⎟ W 1 i g 12 S 3/ 2 W ddd ⎥ v () 1 rv 2 1

Hasil ini diperoleh kalau evaluasi dilakukan pada titik σ = r dimana untuk model

tumbukan bola keras ϕ 12 = 0

Berdasarkan persamaan (179), (181) dan (182) maka hasil evaluasi suku kedua persamaan (167) menjadi

W 1 ⋅ ⎨ ( 1 − α ) g 12 ⋅ 3 − ⎜ G + g ∫ ⎞ ⎟ r ⎩ 2 ∫

⎣ kT ⎝

() 0 () 0 () 1 2 × f

1 () v 1 f 1 () v 2 dd rv 2 S 3/ 2 W d () v 1 1 } (183)

⎛ 1/ 2 2 kT ⎞

kT

Evaluasi suku ketiga di ruas kanan persamaan (167) memerlukan pengetahuan mekanika dari model tumbukan bola keras seperti dibahas oleh R.F. Snider dan

C.F. Curtiss. 13,14 Melalui model tersebut ditunjukkan bahwa r = R κ R + g s 0 .

(184) R merupakan jangkauan antaraksi antarpartikel, κ R merupakan vektor satuan ke arah R , dan s 0 merupakan waktu dari awal lintasan atau konfigurasi awal ke r dan g 12 .

Dalam batas R ≥ σ atau secara aman dipakai R = σ , harga β R sebagai sudut β yang dibentuk oleh partikel datang dan yang dihamburkan pada saat = ς R Dalam batas R ≥ σ atau secara aman dipakai R = σ , harga β R sebagai sudut β yang dibentuk oleh partikel datang dan yang dihamburkan pada saat = ς R

Disini θ mewakili sudut β pada saat = . Dengan demikian dari persamaan ς r (184) maka r dapat dievaluasi pada = , yaitu σ r

r = r . (186)

Pada titik ini kecepatan relatif sesaat sebelum tumbukan g sama dengan kecepatan relatif awal g 12 ,

g = g 12 , (187) karena harga ϕ 12 =. 0

Berdasarkan bahasan mekanika di atas, hasil evaluasi terhadap suku integral ketiga di ruas kanan persamaan (167) dapat ditentukan,

1 () v 1 1 () v 2 dd rv 2 ⎬ S ∫ 3/ 2

2 kT ∫

( 1 − α ) g 12 i () Ggr f ()

f ()

() W 1 d v 1

3 = −⎜ . ⎟ πσ ⎝ m ⎠

kT

Substitusi hasil (168), (183) dan (188) ke ruas kanan persamaan (167)

menghasilkan ungkapan bagi a 1 ,

1 1/ 2 ⎛ 2 kT ⎞⎛ 15 15

a ⎟⎜

B + 5 n πσ

4 n Ω ⎝ m ⎠⎝ 4 4 k T ⎟⎠

Vektor A kemudian bisa ditulis dalam bentuk sebagai berikut,

1 1/ 2 kT

A ⎛ 2 ⎞⎛ 15 15

⎟⎜ + nB + 5 n πσ

S 3/ 2 W 1 W 1 . (190)

4 n Ω ⎝ m ⎠⎝ 4 4 kT