Evaluasi tensor B
3.2. Evaluasi tensor B
Sekarang perhatikan persamaan (125b). Persamaan tersebut kalau dikalikan
dengan suatu tensor j B () ,
2 B () () =
jj
S 5/2 W WW
, B ⎤= WW 1 1 : L S 5/2 W d v . (192) ⎣
2 () j
() j
Substitusi (157b) ke ruas kiri persamaan disertai penggunaan sifat keortogonalan polinom Sonine maka didapatkan
0 ⎡ WWWW 1 1 , 1 1
2 nb
WW 1 1 : L d v 1 .
Dari literatur diperoleh harga sebagai berikut, 12
⎡ WWWW
⎦ ⎥ Persamaan (193) sekarang menjadi
2 4 n () 2,2 Ω
b 0 = WW 1 1 : L d v 1 .
Berdasarkan hal ini maka harga b 0 kemudian dapat ditentukan.
Substitusi (125b) ke tensor L di ruas kanan persamaan (195) menghasilkan persamaan sebagai berikut,
2 4 2,2 n () Ω
= 0 WW
1 1 () vWW 1 1 ∫ 1
( − α ) 12 i Gr − () Gr i U f 1 () v 1 f 1 () v 2 dd rv kT 2 ∫ r ⎢ 3 ⎥
( 1 − α ) g 12 i gr − () gr i U ⎤ f () v f 1 () 1 2 1 kT ∫ r ⎢ 3 ⎥ () () v 2 dd rv 2 ⎬ d v 1
Harga b 0 kemudian bisa ditentukan dengan cara mengevaluasi masing-masing suku integral di ruas kanan persamaan.
Evaluasi suku integral pertama di ruas kanan persamaan (196) adalah
2 f () 1 0 () vWWWWv 1 1 1 : 1 1 d 1 = 5 n .
Evaluasi suku integral kedua di ruas kanan persamaan (196) menggunakan hubungan (169). Persamaan lalu dibagi menjadi dua suku integral,
− α g 12 i Gr − Gr i ∫ U
WW 1 1 : −
⎩ kT ∫ ( ) ∂⎣ r
f () 0 () × 0 1 () v 1 f 1 () v 2 dd rv 2 d v } 1
Gr − ()( Gr i U 1 − ϕ α ) g i
∫ kT kT ∫ ⎢
= WW 1 1 ⎨
⎩ 12 ⎣ 3 ⎦ ∂ r
0 0 e ϕ 1 2 () ()
× () f 1 v 1 f 1 () v 2 dd rv 2 d v 1 } (198)
Gr − Gr i ∫ U ∫ ( ) ⎜
+ WW 1 1 : ⎨ −
− α g 12 i
⎩ kT
∂⎣ r
− ϕ 12 0 × 0 e f ()
1 () v 1 f 1 () () v 2 dd rv 2 d v 1 } .
Evaluasi suku integral pertama persamaan (198) dilakukan dengan menggunakan sifat perkalian tensor,
g 12 i r Gr ⎡
Gr ⋅ U = Gg 12 − Gg i 12 ) U r . (199)
Penggunaan sifat ini menyebabkan suku tersebut dengan mudah dapat dievaluasi dengan hasil berikut diperoleh setelah mengabaikan bentuk-bentuk fungsi ganjilnya,
3 ()( ⎥ ⎣ ) ⎦ ∂ r
⎩ kT kT ∫
WW 1 1 :
Gr − Gr i U 1 − α g 12 i
e f 1 () v 1 f 1 () v 2 dd rv 2 d v } 1
2 kT ∫
=− 12 B ( 1 − α ) WW 1 1 : ⎡ Gg 12 − ( Gg i 12 ) U ⎤
() 0 () × 0 f
1 () v 1 f 1 () v 2 dd v 2 v 1
2 ε * = 12 nB .
kT Suku integral kedua persamaan (198) dievaluasi dengan memperhatikan sifat-sifat perkalian tensor,
g 12 ∂⎡ − () Gr
i U = Gg 12 Gg i 12 U . (201) ∂⎣ r ⎢
Gr
Berdasarkan sifat perkalian tensor ini maka suku kedua persamaan (198) dapat dipecah menjadi dua suku integral,
WW 1 1 : ⎨ −
( 1 − α ) ⎜ g 12 i Gr () Gr ∫ U kT ∫ ⎢ − i r 3 ⎥ ⎟
− ϕ 12 () 0 × 0 e f
1 () v 2 dd rv 2 d v } 1
kT ∫
B − α ) WW 1 1 : Gg 12 − ( Gg i 12 ) U ⎤
() 0 () × 0 f
1 () v 1 f 1 () v 2 dd v 2 v 1
( 1 − α ) WW 1 1 : Gg 12 − Gg ∫ U ⎢ i kT 12
() 0 () × 0 f
1 () v 1 f 1 () v 2 ddd rv 2 v 1 .
Suku integral pertama di ruas kanan persamaan ini, m
kT ∫
2 B ( 1 − α ) WW 1 1 : Gg 12 − ( Gg i 12 ) U ⎤
f () 0 () × 0 1 () v 1 f 1 () v 2 d v 2 dv (203) 1
4 2 nB ε * =−
. kT
Sedangkan suku integral kedua diruas kanan persamaan menghasilkan m
kT ∫
1 − α ) WW 1 1 : ⎡ Gg 12 − Gg 12 U i ⎤
f () 0 × 0 1 () v 1 f 1 () () v 2 dd rv 2 dv (204) 1
8 2 3 ε * = n πσ
3 kT Berdasarkan hasil-hasil pada persamaan (200), (203), dan (204) maka sumbangan suku integral kedua persamaan (196) menjadi
( 1 − α g 12 i Gr − Gr i ∫ U
⎩ kT ∫ ) ∂⎣ r
WW 1 1 :
0 () () × 0 f
1 () v 1 f 1 () v 2 dd rv 2 dv (205) } 1
= 8 nB + n πσ
kT 3 kT
Evaluasi terhadap sumbangan suku integral ketiga di ruas kanan persamaan (196) dilakukan pada r = r = σ ; R = σ dengan ϕ 12 = sehingga 0 g = g 12 . Dengan
demikian suku integral ini bisa ditulis ulang,
( 1 − α ) g 12 i gr gr ⎢ − () i ∫ U ⎩ 2 kT ∫
WW 1 1 : ⎨ −
∂⎣ ⎥ r 3
() 0 () × 0 f
1 () v 1 f 1 () v 2 dd rv 2 d v 1
⎧ m WW :
( 1 − α ) g 12 i gr − () gr i U ∫ ⎤ 2 kT ∫ ⎢ ⎥
∂⎣ r
0 × 0 f () ()
v 1 () 1 f 1 () v 2 dd rv 2 d v 1 } .
Seperti bahasan terdahulu maka suku integral ini bisa dipecah menjadi dua suku integral,
⎨ − ( 1 − α ) g 12 i gr ⎢ − () gr i ∫ U ⎥ ⎩ 2 kT ∫
WW 1 1 :
∂⎣ r
f 0 ()
1 () v 1 f 1 () v 2 dd rv 2 d v } 1
( 1 − α ) gr gr U g ⎢ − () i ⎥ 12 ∫ i
= WW 1 1 : ⎨
⎩ kT 2 kT
12 0 × 0 e − ϕ f () ()
1 () v 1 f 1 () v 2 dd rv 2 d v } 1
( 1 − α ) ⎜ g 12 i gr − () gr i ∫ U
+ WW 1 1 : ⎨ −
3 ⎥ ⎝ ⎟ ∂⎣ r ⎦ ⎠
⎩ 2 kT
− ϕ 12 () 0 () × 0 e f
1 () v 1 f 1 () v 2 dd rv 2 d v } 1
Berikut adalah evaluasi terhadap suku pertama (207),
WW 1 1 : ⎨
( 1 − α ) gr − () gr i U g ∫ ⋅ 3 ⎥
1 () v 1 f 1 () () v 2 dd rv 2 d v (208) } 1
2 ε * =− 12 nB
. kT
Adapun evaluasi suku kedua dilakukan dengan cara memecah persamaan menjadi dua bagian, Adapun evaluasi suku kedua dilakukan dengan cara memecah persamaan menjadi dua bagian,
⎟ Bf 1 () v 1 f 1 ( )( v 2 1 − α ) Gg 12 − g dd ⎢ v 12 ⎥ 2 v 1
⎝ 2 kT ⎠
⎝ 2 kT ⎠ ∫
⎟ f 1 () v 1 f 1 ( )( v 2 1 − α ) Gg g ddd rv v ⎢ . 12 − 12 ⎥ 2 1
Dalam hal ini suku pertama menghasilkan ⎛ 2 m ⎞
Bf () 2 0 v f () 0 ⎡ 2
v 2 1 − α ) Gg 12 − g 12 d v dv
1 1 2 1 kT
2 ε * = 4 nB .
kT Sedangkan suku integral kedua persamaan (209) menghasilkan ⎛ 2 m ⎞ ()
2 − α ) Gg 12 − g 12 d rv ⎢ d dv ⎥ 2 ∫ 1
⎟ f 1 () v 1 f 1 ( )( v 1 ⎡
⎝ 2 kT ⎠
8 2 3 ε * =− n πσ
3 kT
Berdasarkan persamaan (208), (210), dan (211) maka sumbangan suku ketiga pada persamaan (196) menjadi
( 1 − α ) g 12 ∂⎡ i gr gr U ∫ ⎤ 2 kT ∫ r ⎢ − () i ⎥
1 () v () 1 f 1 () v 2 dd rv 2 dv (212) } 1
=− 8 n − n πσ
kT 3 kT
Hasil ini bersama hasil evaluasi suku pertama (197) dan hasil evaluasi suku kedua
(205) kalau disubstitusikan ke persamaan (196) maka diperoleh ungkapan bagi b 0 ,
b 0 = 2,2 . (213)
4 n () Ω Tensor B lalu dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut,
B = () 2,2 WW 1 1 4 (214) n Ω
3.3. Evaluasi skalar C Sekarang perhatikan integral tak linear (125c). Persamaan tersebut kalau dikalikan
suatu skalar j C () ,
() j
C 2 = S () 1/ 2 W ,
dan diintegrasi atas ruang kecepatan v 1 menghasilkan
2 () j
C , C MS ⎤= () 1/ 2 W 1 d () v 1 .
Dengan menggunakan ungkapan (157c) dan memperhatikan sifat keortogonalan polinom Sonine maka dihasilkan dua bentuk persamaan,
ncS 1 ⎡ 1/ 2 W 1 , S 1/ 2 W 1 ⎤= MS () 1/ 2 W 1 d () v () 1 (217)
2 1/ 2 W () 1 S 1/ 2 W 1 ⎤= MS 1/ 2 W d () v () 1 1 . (218)
Penentuan harga c 1 dilakukan dengan mensubstitusikan (125c) ke ruas kanan
dT 3 ⎟ ∫ () ⎜
nB 0 T T f ()
3 kT ∫
1 − α ) g 12 i () Gr i f 1 () v 1 f 1 () v 2 S 1/ 2 W 1 dd rv 2 d v 1
6 kT ∫
1 g gr f () 0 () 0 () 1 − 2 ( − α ) 12 i () i 1 () v 1 f 1 () v 2 S 1/ 2 W 1 ddd rv 2 v 1 .
Hasil ini diperoleh setelah melakukan substitusi () 1 2 () 1 2 () 2,2 ⎡ S
1/ 2 W 1 , S 1/ 2 W
dari hasil literatur 12 ke ruas kiri persamaan (217).
Hasil evaluasi suku integral pertama persamaan (219) adalah
2 2 ⎛ 7 dB 2
f () v ⎛ W ⎞ ()
2 dB ⎞ 0 3 2
3 dT 3 dT ∫ ⎠
2 ⎟ 1 () 1 ⎜ − 1 ⎟ S 1/ 2 W 1 d v 1
nB T
7 dB 2 2 dB ⎞
3 dT 3 dT ⎠
Hasil evaluasi suku integral kedua adalah m
3 kT ∫ ( )
() 0 () 0 () 1 − 2 1 − α g
12 i Gr i f 1 v 1 f 1 v 2 S 1/ 2 W 1 dd rvv 2 d 1
4 2 3 ε * =− n πσ
3 kT Sedangkan hasil evaluasi suku integral ketiga sama dengan nol.
Dari hasil-hasil evaluasi masing-masing suku ini maka ungkapan bagi c 1 dapat
3 dT 3 dT
Sekarang perhatikan persamaan (218). Menggunakan hasil literatur, 12
2 2 2 2 2,2 ⎡ S () W , S () W
dan substitusi M dari persamaan (125c) ke ruas kanan persamaan (218) tersebut diperoleh persamaan sebagai berikut,
3 3 dT 3 ⎝ ∫ dT ⎠
2 ⎟ f 1 () v 1 ⎜ − W 1 ⎟ S () 1/ 2 W 1 d v 1
3 kT ∫
() 0 () 0 () 2 2 − ( 1 − α ) g
12 i () Gr i f 1 () v 1 f 1 v 2 S 1/ 2 W 1 dd rv 2 d v 1
6 kT ∫
0 1 g gr f ()
v f () 0 () 2 − 2 ( − α ) 12 i () i 1 () 1 1 () v 2 S 1/ 2 W 1 ddd rv 2 v 1 .
Suku pertama di ruas kanan persamaan (225) diabaikan berdasarkan sifat keortogonalan polinom Sonine. Suku kedua menghasilkan
3 kT ∫
1 − α ) g ()
12 i () Gr i f 1 () v 1 f 1 () v 2 S 1/ 2 W dd rvv d
2 2 =− 3 n
3 kT Sedangkan suku ketiga menghasilkan
6 kT ∫
() 0 () 0 () 2 − 2 ( 1 − α ) g
12 i () gr i f 1 () v 1 f 1 () v 2 S 1/ 2 W 1 dd rv 2 d v 1
2 2 3 ε * =− n πσ
3 kT Dari hasil-hasil evaluasi masing-masing suku integral di atas kemudian dapat
ditentukan harga bagi c 2 ,
c 2 ε =− () 2,2 πσ
kT
Berdasarkan bentuk c 1 dan c 2 pada persamaan (223) dan (228) maka diperoleh
bentuk ungkapan bagi fungsi skalar C,
1 2 ⎛ 7 dB 2
Ω 1 ⎝ 3 dT 3 dT 3 kT ⎟ ()
ε * S () W
2 dB 4 3 ⎞ 1 2
C=
S 1/ 2 W 1 .
kT