Sumbangan energi potensial pada tensor tekanan

1.2. Sumbangan energi potensial pada tensor tekanan

Sumbangan energi potensial pada tensor tekanan diperoleh dengan cara mengevaluasi persamaan (242) yang juga bisa ditulis dalam bentuk sebagai berikut,

12 P ϕ = dx

2 ∫∫ 0 r r ( ()

2 rr f 2 r 1 +− x 1, rr 1 + x rvv , 1 , 2 ; tddd rvv 2 1 . (251)

Penulisan ini dilakukan untuk memudahkan pengevaluasian f 2 ( rv 1 ,, 2 1 , 2 ; t )

pada satu titik.

Uraian berikut diperlukan dalam evaluasi persamaan (251) untuk melokalisasi fungsi distribusi pada titik , r 1

f 2 r 1 +− () x 1, rr 1 + x rvv ( , 1 , 2 ; t )

∂ f 2 ( rv 1 ,, 1 1 , 2 ; t

= 2 ( 1 1 1 2 )( + −i )

f rv ,, , ; t

Dalam evaluasi juga digunakan bentuk ungkapan berikut bagi fungsi distribusi terkorelasi,

f 2 ( rv 1 ,, 1 1 , 2 ; t ) = f 1 ( rv 1 , 1 ; tf )( 1 rv 1 , 2 ; t ) = f 1 ()() v 1 f 1 v 2 (253)

f () 0 v 1 f () 1 0 () i = 1 () i [] += φ 1 () v i [ 1 + B : ∇+ u C ∇u i ] , (254) f () 0 v 1 f () 1 0 () i = 1 () i [] += φ 1 () v i [ 1 + B : ∇+ u C ∇u i ] , (254)

1 ()() v f v f ()

1 1 2 = 1 () v 1 f 1 ()( v 2 + 2 B : ∇ u ) f 1 () v 1 f 1 () v 2

C ∇ i u ) f 1 () () +2 v () 1 f 1 () v 2 + ...

() 0 () 0 () 0 () ∂ 0 f

()( + 2 B : ∇ u

1 ()() v 1 f 1 v 2 ∂ f 1 () v 1 f 1 v 2 ∂ f 1 v 1 f 1 v 2

∂ f ()

1 () v 1 f 1 () v 2

( C ∇ +2

Berdasarkan kombinasi-kombinasi ini, ungkapan (117a), (117b) dan dengan mengambil hanya pada bentuk-bentuk linier terhadap fungsi gangguan serta mengabaikan bentuk-bentuk fungsi ganjil maka persamaan (251) dapat ditulis ulang,

11 ∂ ϕ 12 ϕ 12 kT () 0

rr e f 1 v 1 f 1 v 2 + 2 B : ∇ u f 1 v 1 f 1 v 2

C ∇ +2 i u ) f ()

1 () v 1 f 1 () v 2 ddd rvv 2 1 } .

Berikut adalah hasil evaluasi terhadap suku integral pertama ruas kanan persamaan (257),

11 ∂ ϕ 12 kT 0 0 2

rr e ϕ 12 f 1 () v () 1 f 1 v 2 ddd rvv 2 1 = n kTB U . (258)

Suku kedua diabaikan karena melibatkan suku-suku tak diagonal yang pada dasarnya merupakan fungsi ganjil. Sedangkan suku ketiga diabaikan berdasarkan sifat keortogonalan polinom Sonine.

Substitusi hasil-hasil pada persamaan (258) ke persamaan (257) menghasilkan ungkapan bagi sumbangan energi potensial pada tensor tekanan,

2 P ϕ = n kTB U . (259)

Tensor tekanan lalu bisa ditulis sebagi berikut

nkT 2 ⎛ 7 dB 2

2 dB 9 3 ε *

⎞∇ U i u (260)

− () 2,2 ⎜ B + T

3 dT 3 dT 2 kT ⎟ ⎠

dengan p merupakan tekanan hidrostatik seperti didefinisikan persamaan (83).

Harga koefisien virial kedua pada model tumbukan bola keras yang ditentukan dengan mengevaluasi persamaan ( 84) atau (85) adalah

B = πσ . (261)

3 Dengan demikian turunan suhu dari koefisien virial kedua bisa diabaikan. Ungkapan tensor tekanan (260) kemudian dapat disederhanakan,

5 1/ 2 ⎛ mkT ⎞ n ⎛ mkT ⎞⎛ 2

8 σ ⎝ π ⎠ ∇ u 4 σ ⎝ π ⎠⎝ 3 2 kT ⎠

() setelah disubstitusi harga 2,2 Ω seperti diperlihatkan pada persamaan (166) bagi model tumbukan bola keras.

Berikut adalah bentuk umum dari tensor tekanan, 16,24 P = p U − 2 η S − κ U ∇i u (263)

dengan S adalah laju tensor geser, η menandai koefisien viskositas geser dan κ menadai koefisien viskositas bulk . Berdasarkan hal ini dan kesesuaian dengan

persamaan (262), dimana S =

∇u , maka harga-harga koefisien viskositas geser

maupun koefisien viskositas bulk dapat ditentukan,

5 1/ 2 ⎛ mkT ⎞ η =

n 1/ 2 ⎛ mkT ⎞

4 kT ⎟⎠

Pengaruh reaksi kimia tidak muncul dalam ungkapan viskositas geser. Viskositas geser dalam sistem gas rapat bereaksi sama seperti viskositas geser dalam gas tidak rapat. Penjelasan tersebut tampak dari rasio koefisien viskositas geser dalam

gas rapat bereaksi, η , terhadap koefisien viskositas geser standar, η 0 , η =. 1

Viskositas geser yang dihasilkan di sini berbeda dari hasil penelitian Snider dan Curtiss dalam gas rapat yang menunjukkan ungkapan viskositas geser

mengandung suku-suku koreksi kerapatan. 13,14 Perbedaan ini terjadi karena efek reaksi dan koreksi-koreksi kerapatan menghilang dalam evaluasi fungsi gangguan

Berdasarkan persamaan (265), viskositas bulk dalam gas tidak rapat sama dengan nol. Hasil ini sesuai dengan literatur dimana viskositas bulk bagi gas tidak rapat monoatomik sama dengan nol, viskositas bulk tak nol terjadi dalam gas rapat atau

pada gas poliatomik. 6,24

Pengaruh reaksi kimia memunculkan ungkapan baru bagi koefisien viskositas bulk . Padahal viskositas bulk yang diperoleh melalui penelitian Snider dan Curtiss terhadap gas rapat dengan menggunakan model tumbukan bola keras sama dengan

nol. 13,14 Viskositas bulk juga tidak muncul pada hasil penelitian Alves dan Kremer yang menggunakan pendekatan kesetimbangan Kimia dalam campuraan dua

komponen gas bereaksi. 43

Pada penelitian ini, reaksi kimia muncul sebagai suku sendiri di samping suku koreksi kerapatan dalam ungkapan viskositas bulk . Sesuai dengan persamaan (265), pengaruh reaksi kimia pada viskositas bulk berhubungan erat dengan kerapatan dan bervariasi terhadap jenis gas penyusun sistem sesuai harga energi pengaktifan, * ε , yang bersifat khas bagi masing-masing pereaksi.