Dan untuk suku , ,
t
V p p
π λ λ
α
′
′ ′ digunakan :
2
ˆ , ,
,1 ,
2 , ,
t i
t t
p p d
e V
p z V
p p
π π
λφ π
π λ λ
λ λ λ λ
υ α
φ π
α
′ −
′ ′
′
′ ′
′′ ′
′ ′
==
∫
p
3. 70
Sehingga persamaan 3. 67 untuk , ,
t
T p p
π λ λ
α
′
′ ′ dapat dituliskan sebagai berikut :
1 2
1 2
2 1
2 1
1 1
1 1
, , , ,
,1 2
2 ,
, ,
, , 1
, ,
, , ,
2
t t
t i
t t
i t
T p p
p p d pp
d p p
G E e
T p p
dp p d
p p G
E e T
p p
π π
λ λ λ λ
π λ φ φ
π λ
λ π
λ φ φ π
λ λ
α υ
α α
π υ
α α α
α υ α α
α
∞ ′
′ −
′′ ′ +
− ′
∞ ′′ ′
+ −
′ −
′ ′
′ ′
′′ ′′ ′′
=+ ′ ′′ ′ ′′
′′ ′′
′′ ′′ ′′
′ ′′ ′ ′′ ′′
′′ +
∫ ∫
∫ ∫
1 2
1
1 ,
, ,
, , 4
t i
t
dp p d
p p G
E e T
p p
π λ φ φ
π λ
λ
α υ α α
α
∞ ′′ ′
+ −
′ −
′′ ′′ ′′
′ ′′ ′ ′′ ′′
′′ +
∫ ∫
3. 71
Persamaan 3. 71 di atas merupakan bentuk akhir dari persamaan Lippman- Schwinger untuk hamburan partikel berspin ½ dan 32 pada basis momentum-helisitas.
3.4 Elemen Matriks
M
Elemen matriks hamburan
M
dan elemen matriks T memiliki hubungan seperti ditunjukkan pada persamaan 2. 37. Dalam menghitung matriks
M
ini digunakan sumbu-z sebagai sumbu kuantisasi. Pada sub bab ini akan diturunkan hubungan kedua
elemen matriks ini dalam basis Momentum-Helisitas. Maka diperlukan hubungan antara elemen matriks-T dalam basis Momentum-Helisitas dan elemen matriks-T
berikut :
2
ν ν
≡
p p
3. 72
2
ν merupakan state keadaan spin dengan sumbu kuantisasi adalah sumbu-z. Maka elemen matriks-T pada basis ini adalah :
, T
T
ν ν
ν ν
′
′ ′ ′
≡
p p p
p
3. 73
Universitas Sumatera Utara
Kemudian elemen matriks-T di atas dihubungakan dengan elemen matriks-T dalam basis Momentum-Helisitas dengan terlebih dahulu mengerjakan basis berikut :
1 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ 2
2 2
2 ˆ
z z
R z
D
νλ
λ ν λ
ν
− ∗
= =
p p
p
2 i
e d
νφ νλ
θ
=
3. 74 Persamaan 3. 73 di atas dapat dikerjakan dengan menggunakan persamaan
Completeness Relation 3. 20 sebagai berikut : 1
ˆ ˆ
, ;
2 ; ,
; 2 ;
16 1
ˆ {
1 ;
2 ,
16 ˆ
; 2
1 1
1 16
a a
t t
t t
t t
t
T d
d t
T t
d d
t T t
d d
π π
π ν ν
λ λ πλ λ
π π
λ λ π
πλ λ π
π πλ λ
ν λ
λ ν
ν η
λ λ
η ν
η
′ ′
′ ′
′
′
′ ′′ ′′′ ′ ′ ′′ ′′′ ′
′′ ′′′ ′′′ ′′′
= ′′ ′′′ ′ ′
′′ ′′′ ′ ′′ ′′′
= −
− ′′′ ′′′
× −
− ′′ ′′′
=−
∑ ∫ ∑ ∫
∑ ∫
p p p p
p p p
p p p p
p p p
p p p
p p p p
p p p
2
2
2
ˆ [
; 2
] ˆ
, ;
2 1
ˆ 1
[ ;
2 ]
16 ˆ
, ;
2 1
ˆ 1
{ ;
2 32
t t
t t
t t
t
t t T
d d
T d
d
π π
π λ λ
π π
π πλ λ
π λ λ
π π
π πλ λ
ν λ
λ ν η
ν λ
λ ν η
ν λ η
ν
′ ′
′ ′
′ ′ ′′ ′′′ ′ −
′′ ′′′ ′′′ ′′′
× ′′ ′′′ ′ ′ ′′ ′′′ ′
= −
− ′′ ′′′
′′′ ′′′ ×
′′ ′′′ ′ ′ ′′ ′′′ ′ ′ ′
′′ =
− −
+ −
∑ ∫
∑ ∫
p p p
p p p p
p p p
p p p
p p p p
p p p
p p p
p
2 2
2 2
ˆ ;
2 }
ˆ ˆ
, {
; 2
; 2
} 1
ˆ 1
[ ]
32 ˆ
, [
] 1
1 32
t t
t t
t t
T d
d D
T D
π λ λ
π π
π ν λ
πλ λ π
λ λ π
νλ π
πλ λ
λ λ ν η
λ ν η
δ η δ
δ η δ
η
′ ′
′ ∗
′ ′
′′′ ′ ′′ ′′′
′′′ ′′′ ′′′ ′′′
× +
− ′′ ′′′
′ ′′ ′ ′′
′′ =
− −
− +
+ ′′ ′′′
′′′ ′′′
′′′ ×
− +
+ =
− −
∑ ∫
∑
p p p p
p p p
p p p
p p p
p p
p p
p p p p
p p p
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
ˆ ˆ
ˆ [
, ˆ
ˆ ˆ
, ,
ˆ ˆ
, ]
1 ˆ
ˆ 1
[ ,
32
t t
t t
t t
t
D T
D D
T D
D T
D D
T D
D D
T
π ν λ
λ λ νλ
π ν λ π
π λ λ
νλ π ν λ
λ λ νλ
π ν λ
λ λ νλ
π π
ν λ νλ
λ λ πλ λ
η η
η
∗ ′ ′
′ ′ ′
∗ ∗
′ ′ ′
′ ∗
′ ′ ′
∗ ′ ′
′ ′
′ ′
′ +
− ′
′ ′
× −
+ −
− ′
′ +
− − −
− ′
′ =
− −
∑
p p p
p p
p p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p ,
t
T
π π
λ λ
η
′ −
′ +
−p p
,
, ,
]
t t
T T
π π
π λ λ λ λ
η
′ ′
− − −
′ ′
+ − +
− −
p p
p p
3. 75
Universitas Sumatera Utara
Dengan menggunakan sifat simetri matriks-T yaitu persamaan 3. 48, 3. 49 dan 3.50 maka persamaan 3. 75 di atas dapat diubah menjadi :
2 2
2
1 ˆ
ˆ ,
1 [
, ,
32 ,
, ]
t t
t t
t t
T D
D T
T T
T
π π
ν ν π
ν λ νλ
λ λ π π λ λ
πλ λ π
π π π λ λ
λ λ
η η η
η η
∗ ′
′ ′ ′
′ ′
′ ′
′ ′
′ ′
= −
− +
′ ′
+ +
∑
p p p
p p p
p p p p
p p
2 2
2
1 ˆ
ˆ 1
, 8
t t
t
D D
T
π π
ν λ νλ
λ λ πλ λ
η
∗ ′ ′
′ ′
′ ′
= −
−
∑
p p
p p 3. 76
Kebergantungan ,
T
ν ν′
′
p p pada sudut azimuth adalah sebagai berikut :
Dengan keadaan ˆ ˆ
=
p z maka persamaan 3. 76 di atas dapat diubah menjadi :
2 2
1 ˆ
, 1
, , 8
i t
i t
t
T p
e d
e T
p p
ν φ λφ π
ν ν π
ν λ νλ
λ λ πλ λ
η θ δ
α
′ ′ ′
− ′
′ ′ ′
′
′ ′
′ ′
= −
−
∑
p z
2 2
1 1
, , 8
i t
t t
e d
T p p
ν ν φ π
π ν λ
λ ν πλ λ
η θ
α
′ ′
− −
′ ′ ′
′
′ ′
′ =
− −
∑
3. 77
Dengan memasukkan persamaan 3. 77 ke persamaan 2. 37 maka elemen matriks
M
dapat dituliskan sebagai berikut :
2 2
2
1 ˆ
, 4
1 , ,
8
i t
t t
p e
d T
p p p
z
n n f
p p
n n n l
l n pl l
mp h
q a
¢ ¢
- -
¢ ¢ ¢
¢ ¢
¢ ¢
¢ ¢
= -
- -
å
M
2 2
2
1 1
, , 2
i t
t t
e d
T p p
n n f
p p
n l l n
pl l
mp h
q a
¢ ¢
- -
¢ ¢ ¢
¢
¢ ¢
¢ = -
- -
å
3. 78
Universitas Sumatera Utara
3.5 Hubungan Dengan Elemen Matriks-T