Elemen Matriks Hamburan Partikel Ber-Spin 1/2 Dan 3/2 Dalam Basis Momentum-Helisitas

Dan untuk suku , , t V p p π λ λ α ′ ′ ′ digunakan : 2 ˆ , , ,1 , 2 , , t i t t p p d e V p z V p p π π λφ π π λ λ λ λ λ λ υ α φ π α ′ − ′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ == ∫ p 3. 70 Sehingga persamaan 3. 67 untuk , , t T p p π λ λ α ′ ′ ′ dapat dituliskan sebagai berikut : 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 , , , , ,1 2 2 , , , , , 1 , , , , , 2 t t t i t t i t T p p p p d pp d p p G E e T p p dp p d p p G E e T p p π π λ λ λ λ π λ φ φ π λ λ π λ φ φ π λ λ α υ α α π υ α α α α υ α α α ∞ ′ ′ − ′′ ′ + − ′ ∞ ′′ ′ + − ′ − ′ ′ ′ ′ ′′ ′′ ′′ =+ ′ ′′ ′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′′ ′′ + ∫ ∫ ∫ ∫ 1 2 1 1 , , , , , 4 t i t dp p d p p G E e T p p π λ φ φ π λ λ α υ α α α ∞ ′′ ′ + − ′ − ′′ ′′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′′ ′′ + ∫ ∫ 3. 71 Persamaan 3. 71 di atas merupakan bentuk akhir dari persamaan Lippman- Schwinger untuk hamburan partikel berspin ½ dan 32 pada basis momentum-helisitas.

3.4 Elemen Matriks

M Elemen matriks hamburan M dan elemen matriks T memiliki hubungan seperti ditunjukkan pada persamaan 2. 37. Dalam menghitung matriks M ini digunakan sumbu-z sebagai sumbu kuantisasi. Pada sub bab ini akan diturunkan hubungan kedua elemen matriks ini dalam basis Momentum-Helisitas. Maka diperlukan hubungan antara elemen matriks-T dalam basis Momentum-Helisitas dan elemen matriks-T berikut : 2 ν ν ≡ p p 3. 72 2 ν merupakan state keadaan spin dengan sumbu kuantisasi adalah sumbu-z. Maka elemen matriks-T pada basis ini adalah : , T T ν ν ν ν ′ ′ ′ ′ ≡ p p p p 3. 73 Universitas Sumatera Utara Kemudian elemen matriks-T di atas dihubungakan dengan elemen matriks-T dalam basis Momentum-Helisitas dengan terlebih dahulu mengerjakan basis berikut : 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 2 2 ˆ z z R z D νλ λ ν λ ν − ∗ = = p p p 2 i e d νφ νλ θ = 3. 74 Persamaan 3. 73 di atas dapat dikerjakan dengan menggunakan persamaan Completeness Relation 3. 20 sebagai berikut : 1 ˆ ˆ , ; 2 ; , ; 2 ; 16 1 ˆ { 1 ; 2 , 16 ˆ ; 2 1 1 1 16 a a t t t t t t t T d d t T t d d t T t d d π π π ν ν λ λ πλ λ π π λ λ π πλ λ π π πλ λ ν λ λ ν ν η λ λ η ν η ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′′′ ′ ′ ′′ ′′′ ′ ′′ ′′′ ′′′ ′′′ = ′′ ′′′ ′ ′ ′′ ′′′ ′ ′′ ′′′ = − − ′′′ ′′′ × − − ′′ ′′′ =− ∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫ p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p 2 2 2 ˆ [ ; 2 ] ˆ , ; 2 1 ˆ 1 [ ; 2 ] 16 ˆ , ; 2 1 ˆ 1 { ; 2 32 t t t t t t t t t T d d T d d π π π λ λ π π π πλ λ π λ λ π π π πλ λ ν λ λ ν η ν λ λ ν η ν λ η ν ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′′′ ′ − ′′ ′′′ ′′′ ′′′ × ′′ ′′′ ′ ′ ′′ ′′′ ′ = − − ′′ ′′′ ′′′ ′′′ × ′′ ′′′ ′ ′ ′′ ′′′ ′ ′ ′ ′′ = − − + − ∑ ∫ ∑ ∫ p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p 2 2 2 2 ˆ ; 2 } ˆ ˆ , { ; 2 ; 2 } 1 ˆ 1 [ ] 32 ˆ , [ ] 1 1 32 t t t t t t T d d D T D π λ λ π π π ν λ πλ λ π λ λ π νλ π πλ λ λ λ ν η λ ν η δ η δ δ η δ η ′ ′ ′ ∗ ′ ′ ′′′ ′ ′′ ′′′ ′′′ ′′′ ′′′ ′′′ × + − ′′ ′′′ ′ ′′ ′ ′′ ′′ = − − − + + ′′ ′′′ ′′′ ′′′ ′′′ × − + + = − − ∑ ∫ ∑ p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ [ , ˆ ˆ ˆ , , ˆ ˆ , ] 1 ˆ ˆ 1 [ , 32 t t t t t t t D T D D T D D T D D T D D D T π ν λ λ λ νλ π ν λ π π λ λ νλ π ν λ λ λ νλ π ν λ λ λ νλ π π ν λ νλ λ λ πλ λ η η η ∗ ′ ′ ′ ′ ′ ∗ ∗ ′ ′ ′ ′ ∗ ′ ′ ′ ∗ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ + − ′ ′ ′ × − + − − ′ ′ + − − − − ′ ′ = − − ∑ p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p , t T π π λ λ η ′ − ′ + −p p , , , ] t t T T π π π λ λ λ λ η ′ ′ − − − ′ ′ + − + − − p p p p 3. 75 Universitas Sumatera Utara Dengan menggunakan sifat simetri matriks-T yaitu persamaan 3. 48, 3. 49 dan 3.50 maka persamaan 3. 75 di atas dapat diubah menjadi : 2 2 2 1 ˆ ˆ , 1 [ , , 32 , , ] t t t t t t T D D T T T T π π ν ν π ν λ νλ λ λ π π λ λ πλ λ π π π π λ λ λ λ η η η η η ∗ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ = − − + ′ ′ + + ∑ p p p p p p p p p p p p 2 2 2 1 ˆ ˆ 1 , 8 t t t D D T π π ν λ νλ λ λ πλ λ η ∗ ′ ′ ′ ′ ′ ′ = − − ∑ p p p p 3. 76 Kebergantungan , T ν ν′ ′ p p pada sudut azimuth adalah sebagai berikut : Dengan keadaan ˆ ˆ = p z maka persamaan 3. 76 di atas dapat diubah menjadi : 2 2 1 ˆ , 1 , , 8 i t i t t T p e d e T p p ν φ λφ π ν ν π ν λ νλ λ λ πλ λ η θ δ α ′ ′ ′ − ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ = − − ∑ p z 2 2 1 1 , , 8 i t t t e d T p p ν ν φ π π ν λ λ ν πλ λ η θ α ′ ′ − − ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ = − − ∑ 3. 77 Dengan memasukkan persamaan 3. 77 ke persamaan 2. 37 maka elemen matriks M dapat dituliskan sebagai berikut : 2 2 2 1 ˆ , 4 1 , , 8 i t t t p e d T p p p z n n f p p n n n l l n pl l mp h q a ¢ ¢ - - ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ = - - - å M 2 2 2 1 1 , , 2 i t t t e d T p p n n f p p n l l n pl l mp h q a ¢ ¢ - - ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ = - - - å 3. 78 Universitas Sumatera Utara

3.5 Hubungan Dengan Elemen Matriks-T