Hubungan Dengan Elemen Matriks-T

3.5 Hubungan Dengan Elemen Matriks-T

Dalam Basis Gelombang Parsial Pada sub-bab ini akan diturunkan hubungan antara basis Momentum-Helisitas dan basis Gelombang Parsial untuk Elemen Matriks-T Hubungan , t T π λ λ ′ ′ p p dan , jm l l T ′ ′ p p . Hal ini dilakukan untuk menguji teknik dengan basis Momentum- Helisitas apakah mendekati hasil yang mirip dengan eksperimen atau jauh berbeda dengan hasil eksperimen. Dimana Teknik Gelombang Parsial sudah lajim digunakan dalam banyak kasus hamburan dan hasil perhitungannya mendekati Hasil eksperimen. Dengan demikian kita tidak perlu lagi membandingkannya dengan data eksperimen yang tidak selalu tersedia. Untuk kasus yang sederhana yaitu dengan p p ′ = . Dan elemen matriks-T dalam basis gelombang parsial didefinisikan sebagai berikut : 2 2 jt l l T p p l jmt T p l jmt ′ ′ ≡ 3. 79 dimana l dan l ′ adalah momentum sudut awal dan momentum sudut akhir dan j adalah momentum sudut total J = L + S . State 2 p l jmt disebut sebagai basis gelombang parsial. Diberikan dalam bentuk sebagai berikut : 2 2 , , 2 p l jmt C l j m pl m t µ µ µ µ µ = − − ∑ 3. 80 Dan sifat ortogonalitasnya adalah : 2 2 l l j j t t p p p l j m t p l jmt p p δ δ δ δ ′ ′ ′ − ′ ′ ′ ′ ′ = ′ 3. 81 Dan hubungan Completeness Relation : 2 2 2 1 jlmt dpp p l jmt p l jmt ∞ = ∑∫ 3. 82 Yang akan diturunkan adalah , , t T p p π λ λ θ ′ dengan suku jt l l T p ′ . Pertama-tama persamaan 3. 82 dimasukkan 2 kali ke dalam persamaan 3. 45 seperti berikut ini : Universitas Sumatera Utara 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ , ; 2 ; ; 2 ; 1 ˆ ˆ ˆ 1 ; 2 ; 2 ; 2 ˆ ˆ ˆ 1 ; 2 ; 2 ; ˆ ˆ 1 ; 2 2 a a t t t t j l m t jlmt T p p t T t t p T t t t p T t t dp p dp p t p p l j m t π π π λ λ π π π π π π π π λ λ η λ λ η λ λ η λ ′ ∞ ∞ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′ = ′ ′ ′ = − − ′ ′ ′ = − − ′′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′′ = − − ∑ ∑ ∫ ∫ p p p p p p p p p p p p p p p p ˆ 2 2 2 ; 2 ; p l j m t T p l jmt p l jmt t t π λ ′′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ × p p 3. 83 Untuk mengerjakan persamaan 3. 83 di atas maka overlap ˆ 2 ; 2 p l jm λ ′ p p terlebih dahulu perlu dikerjakan. Dengan menggunakan persamaan 3. 12 dan 3. 80 bersamaan dengan proyeksi maka : ˆ ˆ l p p p p p l l Y p p p p µ δ δ µ µ ∗ ′ ′ − − ′ == ′ ′ p p p 3. 84 dan ˆ ˆ 2 ; 2 2 ; , 2 2 ˆ 2 ; , l p l jm C l j m p l m p p C l j m Y p p µ µ µ λ µ µ µ µ λ δ µ µ ∗ ′ ′ = − − ′− =− ′ ∑ ∑ p p p p p 2 , i m m e d µ φ µ λ θ − − − × 3. 85 Maka persamaan 3. 83 menjadi : 2 2 ˆ ˆ ˆ , 1 ; 2 2 ˆ 2 2 2 ; 2 ; 1 1 2 2 2 2 ; , t t j l m t jlmt t jml l l T p dp p dp p t p p l j m t p l j m t T p l jmt p l jmt t t p l jmt T p l jmt C l j m Y π λ λ π π π π µ µ η λ λ η µ µ ∞ ∞ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′′ = − − ′′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ × ′ = − −  ′ ′ ′ × −   ∑ ∑ ∫ ∫ ∑ ∑ p p p p p p 2 , 2 , ˆ ˆ 2 ; , i m m i m l m e d C l j m Y e d µ φ µ λ µ φ π µ µ λ µ θ η µ µ θ ′ ′ − ′ ′ − ′ ′ − ′ ′ ′ ′ − ′ ′ ′  ′ ′ ′ ′ ′ + − −   ∑ p p Universitas Sumatera Utara 2 , 2 , ˆ 2 ; , ˆ 2 ; , i m l m i m l m C l j m Y e d C l j m Y e d µ φ µ µ λ µ µ φ π µ µ λ µ µ µ θ η µ µ θ ∗ − − ∗ − −  × −    + − −   ∑ ∑ p p 2 , 1 ˆ , 1 1 1 2 ˆ 2 ; , t t jt l l l l l ljm i m l m T p T p C l j m Y e d π λ λ π π π µ φ µ µ λ µ η η η µ µ θ ′ ′ ′ ′ ′ ′ − ′ ′ ′ ′ − ′ ′ = − − + − + − ′ ′ ′ ′ ′ × − ∑ ∑ p p p 2 , ˆ 2 ; , i m l m C l j m Y e d µ φ µ µ λ µ µ µ θ ∗ − − × − ∑ p 3. 86 Dengan memasukkan ˆ ˆ = p z dan 2 , , m m d µ λ µ λ δ − − = ke dalam persamaan 3. 86 di atas maka dihasilkan : 2 , , 2 1 4 1 ˆ ˆ , 1 1 1 2 ˆ 2 ; , ˆ 2 ; , 1 1 1 1 2 t t jt l l l l l ljm i m l m l m t jt l l l l l l ljm T p p T p C l j m Y e d C l j m Y T p π λ λ π π π µ φ µ µ λ µ λ π π π π η η η µ µ θ λ λ η η η ′ ′ ′ ′ ′ ′ − ′ ′ ′ ′ − ′ − ′ + ′ ′ ′ = − − + − + − ′ ′ ′ ′ ′ × − × − = − − + − + − ∑ ∑ ∑ p z p z 2 , ˆ 2 ; , 2 ; 0, i l C l j m Y e d C l j λ µ φ µ λ µ λ µ µ µ θ λ ′ ′ − ′ ′ ′ ′ − ′ ′ ′ ′ ′ ′ × − ∑ p 3. 87 Dengan menggunakan hubungan-hubungan berikut ini Fachruddin, Thesis 2003 : ,0 ,0 2 1 2 1 ˆ 0, 4 4 l l l l l Y D D µ µ µ µ φ θ φ θ π π ′ ′ ′ ∗ ′ ′ ′ ′ ′ ′ + + ′ ′ ′ ′ ′ = = − p 3. 88 , j m m j m m m m d d θ θ ′− ′ ′ − − = − 3. 89 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , ; ; j j j m m m m j D D C j j j C j j j m m D µ µ µ µ µ µ + + = ∑ 3. 90 Maka dengan demikian : Universitas Sumatera Utara 2 , 2 ,0 , ,0 , , ˆ 2 1 , , 0 4 2 1 , , 0 , , 0 4 2 1 2 ; , 2 ; 0, 4 i l l i l l j j Y e d l D e d l D D l C l j C l j D λ µ φ µ λ µ λ λ λ µ λ φ µ µ λ λ λ λ µ µ λ λ λ λ λ λ θ φ θ θ π φ θ φ θ π µ µ λ λ φ θ π ′ ′ − ′ ′ ′ − ′ ′ ′ ′ − − − ′ ′ − − − ′ ′ ′ − ′ ′ ′ − − − ′ − ′ − − ′ ′ ′+ ′ ′ ′ = − ′+ ′ ′ ′ ′ = − ′+ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ = − − − − p ∑ 2 1 2 ; , 2 ; 0 4 j j l C l j C l j D λλ µ λ µ λ φ θ π ∗ ′ ′+ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ =− ∑ 3. 91 dimana : 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ; ; , , j j j C j j j m m m C j j j m m m + − = − − − − 3. 92 Dengan demikian : 1 ˆ ˆ , 1 1 1 2 2 1 2 ; , 2 ; , 2 ; 0 4 2 1 0 2 ; 0, 4 1 1 1 1 2 t t jt l l l l l lj j j t jt l l l l l lj T p p T p l C l j C l j C l j l D C l j T p π λ λ π π π µ λλ π π π η η η µ λ µ µ λ µ λ π φ θ λ π η η η ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′∗ ′ ′ ′ ′ ′ = − − + − + − ′+ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ × − − + ′ ′ × = − − + − + − ∑ ∑ ∑ ∑ p z 2 1 2 1 2 ; 0 2 ; 0, 4 4 1 1 1 1 2 j t jt l l l l l lj l l C l j D C l j T p λλ π π π λ φ θ λ π π η η η ∗ ′ ′ ′ ′ ′+ + ′ ′ ′ ′ × = − − + − + − ∑ 2 1 2 1 2 ; 0 2 ; 0, 4 4 j i l l C l j d C l j e λφ λλ λ θ λ π π ′ ′ ′+ + ′ ′ ′ × 3. 93 Terakhir dengan menggunakan persamaan 3. 63 didapatkan : Universitas Sumatera Utara 1 , , 1 1 1 2 2 1 2 1 2 ; 0 2 ; 0 4 4 t t jt l l l l l lj j T p p T p l l C l j d C l j π λ λ π π π λλ α η η η λ α λ π π ′ ′ ′ ′ ′ ′ = − − + − + − ′+ + ′ ′ ′ × ∑ 3. 94 Persamaan 3. 94 di atas merupakan persamaan yang menghubungkan Basis Gelombang Parsial dan Basis Momentum-Helisitas.

3.6 Kinematika Relativistik